2012高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)階段性測(cè)試題(8):平面解析幾何_第1頁(yè)
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1、階段性測(cè)試題八(平面解析幾何 )本試卷分第卷 (選擇題 )和第卷 (非選擇題 )兩部分。滿分150 分??荚嚂r(shí)間120 分鐘。第卷 (選擇題 共 60 分 )一、選擇題 (本大題共 12 個(gè)小題,每小題 5 分,共 60 分,在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符號(hào)題目要求的。 )1(2011 寧沈陽(yáng)二中階段檢測(cè)遼)“a 2”是“直線 2x ay1 0 與直線 ax 2y 20平行”的 ()A 充要條件B 充分不必要條件C必要不充分條件D 既不充分也不必要條件答案 B解析 2 a 1a 2.故 a2兩直線平行的充要條件是,即兩直線平行的充要條件是a 2 2是直線 2x ay 10 與直線 ax

2、 2y 20 平行的充分不必要條件點(diǎn)評(píng) 如果適合 p 的集合是 A,適合 q 的集合是B,若 A 是 B 的真子集,則 p 是 q 的充分不必要條件,若A B,則 p, q 互為充要條件,若B 是 A 的真子集,則 p 是 q 的必要不充分條件x2y22(2011 福州市期末 )若雙曲線 a2 b2 1 的焦點(diǎn)到其漸近線的距離等于實(shí)軸長(zhǎng),則該雙曲線的離心率為 ()A.5B 5C.2D 2答案 A解析 bbc2 2a,兩邊平方并將22a2焦點(diǎn) F(c,0)到漸近線 y ax 的距離為 d2b ca b22c代入得 c 5a ,e a1,e5,故選 A.3(2011 黃岡期末 )已知直線22y 軸

3、的正半軸l 交橢圓 4x 5y 80 于 M、 N 兩點(diǎn),橢圓與交于 B 點(diǎn),若 BMN 的重心恰好落在橢圓的右焦點(diǎn)上,則直線l 的方程是 ()A 6x 5y 28 0B 6x 5y 280C 5x 6y 28 0D 5x 6y 28 0答案 A22xy解析 由橢圓方程 2016 1 知,點(diǎn) B(0,4),右焦點(diǎn)F(2,0),- 1 -F 為BMN 的重心,直線 BF 與 MN 交點(diǎn) D 為 MN 的中點(diǎn),3BD 2BF (3, 6),又 B(0,4),D (3, 2),將 D 點(diǎn)坐標(biāo)代入選項(xiàng)檢驗(yàn)排除B 、C、 D,選 A.4(2011 西南昌調(diào)研江)直線 l 過(guò)拋物線 y2 2px(p0)的

4、焦點(diǎn) F ,且與拋物線交于A、B 兩點(diǎn),若線段 AB 的長(zhǎng)是 8, AB 的中點(diǎn)到 y 軸的距離是 2,則此拋物線方程是 ()A y2 12xB y2 8xC y2 6xD y24x答案 B解析 設(shè) AB 中點(diǎn)為 M,A、 M、 B 在拋物線準(zhǔn)線上的射影為A1、 M1 、B1,則2|MM 1| |AA1 | |BB1| |AF| |BF | |AB| 8,p|MM 1| 4,又 |MM 1| 2 2,p 4,拋物線方程為 y28x.5(2011 福州市期末 )定義:平面內(nèi)橫坐標(biāo)為整數(shù)的點(diǎn)稱為“左整點(diǎn)”過(guò)函數(shù) y 9 x2圖象上任意兩個(gè)“左整點(diǎn)”作直線,則傾斜角大于45的直線條數(shù)為 ()A10B

5、11C 12D 13答案 B解析 依據(jù) “ 左整點(diǎn) ” 的定義知,函數(shù)y 9x2的圖象上共有七個(gè)左整點(diǎn),如圖過(guò)兩個(gè)左整點(diǎn)作直線,傾斜角大于45 的直線有: AC, AB, BG, CF , CG,DE , DF , DG ,EF,EG, FG 共 11 條,故選 B.- 2 -y2x26(文)(2011 巢湖質(zhì)檢 )設(shè)雙曲線 m2 1的一個(gè)焦點(diǎn)為 (0, 2),則雙曲線的離心率為()A.2B 2C.6D 22答案 A解析 由條件知 m 24,m 2,離心率 e 2 2.222(理 )(2011 山東濰坊一中期末)已知拋物線y2 2px(p0) 與雙曲線 x2 y2 1 有相同的焦點(diǎn)abF,點(diǎn)

6、A 是兩曲線的交點(diǎn),且AF x 軸,則雙曲線的離心率為()A.5 1B.3 12C.2 1D.22 12答案 C由 AF x 軸知點(diǎn) A 坐標(biāo)為 p, p ,代入雙曲線方程中得,22解析 p2p21,雙曲線24ab22與拋物線焦點(diǎn)相同, c p,即 p 2c,又 b2 c2 a2,4c24c 1,24ac2 a2c42由 e a代入整數(shù)得,e 6e1 0,e1 ,e2 3 2 2,e2 1.2x y21 共焦點(diǎn)且過(guò)點(diǎn)P(2,1)的雙曲線方程是 ()7(2011 煙臺(tái)調(diào)研 )與橢圓 4A.x22B.x22 y 12 y 14C.x2y22y2 1D x 1332答案 B- 3 -解析 橢圓的焦點(diǎn)

7、F1( 3, 0), F2( 3, 0),由雙曲線定義知2a |PF1| |PF2| 23 212 3 2184 38 4322,a2,b2 c2a21,2雙曲線方程為 x2 y2 1.8( 文)(2011 遼寧沈陽(yáng)二中檢測(cè) )橢圓x22 4 y 1的焦點(diǎn)為 F 1,F(xiàn) 2,點(diǎn) M 在橢圓上, MF 1MF 2 0,則 M 到 y 軸的距離為 ()2326A.3B.33C. 3D.3答案 B分析 在以線段 F 1F 2 為直徑的圓上,點(diǎn)M 又在橢圓上,條件 MF 1MF 2 0,說(shuō)明點(diǎn) M通過(guò)方程組可求得點(diǎn)M 的坐標(biāo),即可求出點(diǎn)M 到 y 軸的距離解析 橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)是( 3,0) ,點(diǎn) M

8、在以線段 F 1F 2 為直徑的圓上,該圓的方程是2222x22282 6,此即點(diǎn) M 到 yx y 3,即 y 3 x ,代入橢圓得43 x 1,解得x ,即 |x|33軸的距離點(diǎn)評(píng) )的動(dòng)點(diǎn) M 的軌跡是以線段滿足 MF MB0( 其中 A, B 是平面上兩個(gè)不同的定點(diǎn)AB 為直徑的圓(理 )(2011 山東實(shí)驗(yàn)中學(xué)期末) 已知雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1(10,0),F(xiàn)2( 10,0),M 是此雙曲線上的一點(diǎn),且2| 2,則該雙曲線的方程是()MF1MF 2 0, |MF 1| |MFA.x222 y2 y 1B x 1992222C.x y 1D.x y 13773答案 A解析 22210)

9、240,由條件知, MF 1 MF 2,|MF1| |MF2 | |F1 F2| (2222(|MF 1| |MF2|) |MF1| |MF2| 2|MF 1| |MF 2| 40 2|MF 1| |MF 2| 36,- 4 -|MF 1| |MF 2| 6 2a,a 3,222x22又 c10,b c a 1,雙曲線方程為9 y 1.x2y29(2011 寧波市期末 )設(shè)雙曲線C:a2b2 1(a0,b0) 的右焦點(diǎn)為 F ,O 為坐標(biāo)原點(diǎn) 若以 F 為圓心, FO 為半徑的圓與雙曲線C 的一條漸近線交于點(diǎn)A(不同于 O 點(diǎn) ),則 OAF 的面積為()A abB bca2bC acD. c

10、答案 Ab解析 由條件知, |FA| |FO | c,即OAF 為等腰三角形, F(c,0)到漸近線 y ax 的距離為 b,OA2a,SOAF 12 2a b ab.10(2011 北京朝陽(yáng)區(qū)期末)已知圓的方程為x2 y22x 6y 8 0,那么下列直線中經(jīng)過(guò)圓心的直線方程為 ()A 2x y 1 0B 2x y 1 0C 2x y1 0D 2x y 10答案 B解析 將圓心 (1, 3) 坐標(biāo)代入直線方程檢驗(yàn)知選B.2211 (文 )(2011 江西南昌調(diào)研 )設(shè)圓 C 的圓心在雙曲線x2y1(a0)的右焦點(diǎn)上,且與此a2雙曲線的漸近線相切,若圓C 被直線 l: x3y 0 截得的弦長(zhǎng)等于

11、2,則 a ()A.14B. 6C.2D 2答案 C- 5 -222 a2 2解析 由條件知, 圓心 C( a 2,0),C 到漸近線y a x 的距離為 d2 a2 2為 C 的半徑,又截得弦長(zhǎng)為2,圓心 C 到直線 l :x3y 0 的距離a2 2 1,a2 2,2a0,a 2.(理 )(2011 遼寧沈陽(yáng)二中階段檢測(cè))直線 ykx 3 與圓 ( x3)2 (y 2)2 4 相交于 M,N 兩點(diǎn),若 |MN| 2 3,則 k 的取值范圍是 ()A. 3, 0B. ,3 0, )44C. 3, 3D. 2, 0333答案 A|3k2 3|解析 由條件知,圓心(3,2)到直線ykx 3 的距離

12、不大于1, 1,解之得21 k 3 k0.412 (2011 遼寧沈陽(yáng)二中檢測(cè) )已知曲線C:y 2x2 ,點(diǎn) A(0, 2)及點(diǎn) B(3,a),從點(diǎn) A 觀察點(diǎn) B,要使視線不被曲線C 擋住,則實(shí)數(shù)a 的取值范圍是 ()A (4, )B (, 4C (10, )D (, 10答案 D解析 過(guò)點(diǎn) A(0, 2)作曲線 C: y 2x2 的切線,設(shè)方程為y kx 2,代入 y 2x2 得,2x2 kx2 0,令 k2 16 0 得 k 4,當(dāng) k 4 時(shí),切線為l,B 點(diǎn)在直線 x 3 上運(yùn)動(dòng),直線 y4x 2 與 x 3 的交點(diǎn)為 M(3,10) ,當(dāng)點(diǎn) B(3 ,a)滿足 a 10時(shí),視線不

13、被曲線C 擋住,故選D.- 6 -第卷 (非選擇題共 90分)二、填空題 (本大題共 4 個(gè)小題,每小題 4 分,共16 分,把正確答案填在題中橫線上)x2 y2 1 表示焦點(diǎn)在 x 軸上的橢圓,則13 (2011 廣東高州市長(zhǎng)坡中學(xué)期末 )若方程 4 k6 kk 的取值范圍是 _答案 (6, 1)解析 由題意知, 4 k6 k0,6 k0,過(guò) P 作 PM x 軸,垂足為 M,設(shè)F1PM62tan tany y443 ,F(xiàn)2PM ,則 ,tan tan( )6 2123 ,1 tantan1 yy2 12y y 30 .15(文 )(2011 黑龍江哈六中期末)設(shè)拋物線 y2 8x 的焦點(diǎn)為

14、 F ,過(guò)點(diǎn) F 作直線交拋物線于A、 B 兩點(diǎn),若線段 AB 的中點(diǎn) E 到 y 軸的距離為 3,則 AB 的長(zhǎng)為 _答案 10p解析 2p 8,22,E 到拋物線準(zhǔn)線的距離為5,|AB| |AF| |BF| 25 10.(理 )(2011 遼寧大連聯(lián)考 )已知拋物線“ y2 4x 的焦點(diǎn)為 F ,準(zhǔn)線與 x 軸的交點(diǎn)為 M, N 為拋物線上的一點(diǎn),且滿足 |NF| 32 |MN |”,則 NMF _.答案 6解析 設(shè) N 在準(zhǔn)線上射影為 A,由拋物線的定義與條件知, |NA|3 |NF | 2 |MN|,AMN 3,從而 NMF 6.x2216(文 )(2011 湖南長(zhǎng)沙一中月考)直線 l

15、 :x y0 與橢圓2 y 1 相交 A、B 兩點(diǎn),點(diǎn) C是橢圓上的動(dòng)點(diǎn),則 ABC 面積的最大值為 _答案 2解析 設(shè)與 l 平行的直線方程為x y a0,當(dāng)此直線與橢圓的切點(diǎn)為C 時(shí),ABC 的x222222面積最大,將y x a 代入 2 y 0 中整理得, 3x 4ax2(a 1) 0,由 16a 24(a6x22 1) 0 得, a 3,兩平行直線 x y 0 與 x y3 0 的距離 d 2 ,將 y x 代入 2 y6 6 1 中得, x1 3 , x2 3 ,|AB|1 1|6 (64333 )|3,SABC1|AB | d1436 2.2232- 8 -x2 y21 上的任意

16、一點(diǎn), F 為橢圓 C 的右焦(理 )(2011 湖北荊門調(diào)研 )已知 P 為橢圓 C: 2516點(diǎn), M 的坐標(biāo)為 (1,3),則 |PM| |PF|的最小值為 _答案 5解析 如圖,連結(jié) F 1M,設(shè)直線 F 1M 與 C 交于 P, P是 C 上任一點(diǎn),則有|PF1| |PF| |P F1| |PF|,即|PM | |MF 1| |PF | |P F1| |P F|,|P F1| |P M| |MF 1|,|PM | |PF| |P M | |P F|,故 P 點(diǎn)是使 |PM | |PF|取最小值的點(diǎn),又 M (1,3) ,F(xiàn)1(3,0),|MF 1| 5,|PM | |PF| |PF

17、1| |PF| |MF1 | 25 5 5.三、解答題 (本大題共6 個(gè)小題,共74 分,解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明,證明過(guò)程或演算步驟)17(本小題滿分 12 分 )(2011 山東濰坊一中期末x2y2)已知橢圓 2 2 1(ab0)的兩個(gè)焦點(diǎn)為abF1, F2,橢圓上一點(diǎn) M 26,3 滿足MF1MF 2 0.33(1)求橢圓的方程;(2)若直線 L :y kx 2與橢圓恒有不同交點(diǎn) A、 B,且 OAOB1(O 為坐標(biāo)原點(diǎn) ),求 k 的取值范圍解析 (1) 設(shè) F1(c,0) , F2(c,0),2 632 63MF 1 c 3 , 3,MF 2 c 3 , 3 , 22 6 23 2MF1

18、MF 20,c33 0,c2 3,a2 b2 381又點(diǎn) M 在橢圓上, 3a2 3b2 1- 9 -8 1代入得 3a23 a2 3 1,整理得, a4 6a28 0,a2 2 或 a2 4,a23,a24, b2 1,2橢圓方程為 x4 y2 1.2x2(2)由4 y 1,y kx 2122消去 y 解得4kx22kx 1 0,設(shè) A(x1, y1 ), B(x2,y2), 2)(kx2 2)則OA OB x1x2 y1y2 x1x2 (kx12 (1 k2)x1x2 2k( x1 x2) 26 4k21,1 4k252121k 0 得 k 4,12510,1 1,10 . k ,k 48

19、422418(本小題滿分 12 分 )(2010湖北文 )已知一條曲線 C 在 y 軸右邊, C 上每一點(diǎn)到點(diǎn) F(1,0)的距離減去它到 y 軸距離的差都是1.(1)求曲線 C 的方程;(2)是否存在正數(shù) m,對(duì)于過(guò)點(diǎn) M(m,0)且與曲線 C 有兩個(gè)交點(diǎn) A,B 的任一直線,都有 FAFB0)化簡(jiǎn)得 y2 4x(x0)(2)設(shè)過(guò)點(diǎn) M(m,0)(m0)的直線 l 與曲線 C 的交點(diǎn)為A(x1 ,y1 ), B(x2, y2)設(shè) l 的方程為x ty m,xtym由得 y2 4ty4m0,y2 4x此時(shí) 16(t2 m)0.-10-y1 y2 4t于是y1y2 4m又FA (x1 1,y1)

20、, FB (x2 1, y2) FAFB0? (x1 1)(x2 1) y1y2 x1x2 (x1 x2) 1y1y20又 x y2,于是不等式等價(jià)于42222y1 y2y1y2) 104 y1y2 (444? y1y221216y1y2 4(y1 y2) 2y1y2 10 由式,不等式等價(jià)于m26m 14t2對(duì)任意實(shí)數(shù) t,4t2 的最小值為 0,所以不等式對(duì)于一切t 成立等價(jià)于 m2 6m 10,即 3 2 2 m3 2 2由此可知,存在正數(shù)m,對(duì)于過(guò)點(diǎn)M(m,0)且與曲線 C 有兩個(gè)交點(diǎn) A,B 的任意一直線, 都有 FA的取值范圍是 (3 22,3 2 2)FBb0) 的離心率為2 ,

21、過(guò)原點(diǎn) O 斜率為 1 的直線與橢圓C 相交于 M, N 兩點(diǎn),橢圓右焦點(diǎn) F 到直線 l 的距離為2.(1)求橢圓 C 的方程;(2)設(shè) P 是橢圓上異于M, N 外的一點(diǎn),當(dāng)直線 PM, PN 的斜率存在且不為零時(shí),記直線PM 的斜率為 k1,直線 PN 的斜率為 k2,試探究 k1k2 是否為定值?若是,求出定值;若不是,說(shuō)明理由解析 (1) 設(shè)橢圓的焦距為2c(c0),焦點(diǎn) F(c,0),直線 l: xy 0,F(xiàn) 到 l 的距離為|c|2,解得 c 2,2又e c2,a 2 2,b2.a2x2y2橢圓 C 的方程為 8 41.x2y2(2)由 8 41,解得 xy 236,或 xy 2

22、36,y x,-11-不妨設(shè)M236, 236,N236, 236, P(x, y),262628kPM PN y 3y 3 y3,k268622x 3x 3x3x2y2221由 8 4 1,即 x 82y,代入化簡(jiǎn)得k1k2 kPMkPN 2為定值20 ( 本小題滿分12 分 )(2011廈門期末質(zhì)檢 )已知拋物線 C: y2 4x,直線 l: y 1xb 與2C 交于 A、B 兩點(diǎn), O 為坐標(biāo)原點(diǎn)(1)當(dāng)直線 l 過(guò)拋物線 C 的焦點(diǎn) F 時(shí),求 |AB|;(2)是否存在直線l 使得直線 OA、 OB 傾斜角之和為 135 ,若存在,求出直線l 的方程;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由211解析 (

23、1) 拋物線C:y4x的焦點(diǎn)為F(1,0),代入直線y2x b 可得 b 2,11l: y 2x2,設(shè) A(x1, y1), B(x2, y2),2y 4x,消去 y 得 x2 18x 1 0,聯(lián)立11y2x2x1 x2 18, x1x2 1,(方法一 )|AB |1 k2|x1 x2 |51 x22 4x1 2 20.4 xx(方法二 )|AB | x1 x2 p18 2 20.1(2)假設(shè)存在滿足要求的直線l : y2x b,設(shè) A(x1, y1 ), B(x2,y2),-12-y2 4x,消去 x 得 y2 8y 8b 0,聯(lián)立1y2xby1 y2 8, y1y2 8b,設(shè)直線 OA、

24、OB 的傾斜角分別為、,斜率分別為k1、 k2,則 135 , tan()tan135 ?k1 k2 1,1 k1k2其中 k1 y1 4 , k2 y2 4 ,代入上式整理得y1y2 16 4(y1 y2x1 y1x2 y2) 0,8b 16 32 0,即 b 2,代入 64 32b 1280,滿足要求1綜上,存在直線l : y 2x2 使得直線 OA、 OB 的傾斜角之和為135 .21 ( 本小題滿分12 分 )(2011 黑龍江哈六中期末)已知菱形 ABCD 的頂點(diǎn) A,C 在橢圓 x2 3y2 4 上,對(duì)角線BD 所在直線的斜率為 1.(1)當(dāng)直線 BD 過(guò)點(diǎn) (0,1)時(shí),求直線A

25、C 的方程;(2)當(dāng) ABC 60時(shí),求菱形ABCD 面積的最大值解析 (1) 由題意得直線BD 的方程為 y x 1.因?yàn)樗倪呅蜛BCD 為菱形,所以AC BD .于是可設(shè)直線AC 的方程為y xn.x2 3y2 4,由得 4x2 6nx 3n2 4 0.y x n因?yàn)?A,C 在橢圓上,所以 12n2640,4343解得3 n 3 .設(shè) A, C 兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為(x1, y1), (x2, y2 ),則-13-3n3n2 4x1 x22 , x1x24,y1 x1n, y2 x2 n.n3nn所以 y1 y22,所以 AC 的中點(diǎn)坐標(biāo)為4 ,4 .由四邊形 ABCD 為菱形可知,點(diǎn)3n n

26、在直線 y x 1 上,所以n3n 1,解得 n4 , 4442.所以直線AC 的方程為y x 2,即 x y 2 0.(2)因?yàn)樗倪呅蜛BCD 為菱形,且 ABC 60,所以 |AB| |BC| |CA|.32所以菱形 ABCD 的面積 S 2 |AC| .由(1) 可得 |AC |2 (x1 x2)2 (y1 y2)2 3n2 16,2324343所以 S 4 ( 3n 16)3 n1) 構(gòu)成的“眼形”結(jié)構(gòu)中,已知橢圓的離心率為3 ,直線 l 與圓 O 相切于點(diǎn) M,與橢圓 C 相交于兩點(diǎn)A,B.(1)求橢圓 C 的方程;(2)是否存在直線 12,若存在,求此時(shí)直線l 的方程;若不存在,請(qǐng)說(shuō)l,使得 OAOB OM2明理由-14-c6222a2 1解析 (1) e a3 ,ca 1,3 a2,2x22解得: a 3,所以所求橢圓C 的方程為3 y 1. 1 2(2)假設(shè)存在直線 l,使得 OAOB 2OM易得當(dāng)直線 l 垂直于 x 軸時(shí),不符合題意,故設(shè)直線l 方

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