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1、橢圓測(cè)試題、選擇題：（本大題共12小題，每小題5分，共60分）2 x2y 2 x2y2亠x2y_(A)1(B)1或959559222222xy xyxy(C)1(D)1或3620362020362、動(dòng)點(diǎn)P到兩個(gè)定點(diǎn)F1 (- 4 , 0)、F2 (4 0)的距離之和為1、離心率為-，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為6的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是（）3118，貝U P點(diǎn)的軌跡為（A.橢圓C.直線 F1F2D3、已知橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程A.（.10,0）2 2x y4、已知橢圓59A2 52,E x5、如果一2aA.（ 2,32ya 2)B.線段F1F22y 彳x1,10B.(0,、両則橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為C.(0, 3)1上一點(diǎn)P到橢圓的

2、一焦點(diǎn)的距離為B.2C.31表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，則實(shí)數(shù)B. 2, 12,C.(不能確定D.( 3,0)3，則P到另一焦點(diǎn)的距離是（D.6a的取值范圍為（,1) (2,)D.任意實(shí)數(shù)6、 關(guān)于曲線的對(duì)稱性的論述正確的是（）2y0的曲線關(guān)于X軸對(duì)稱0的曲線關(guān)于Y軸對(duì)稱2y 10的曲線關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱8的曲線關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱7、A.方程2 xxyB.方程3 x3yC.方程2 xxyD.方程3 x3y22xy2ka2kb方程1 (a b 0,k 0且k工1)與方程2y-1 (a b 0)表示的橢圓(bA.有相同的離心率x2已知橢圓C : 2aA、B兩點(diǎn)若B.有共同的焦點(diǎn)2xaC.有等長(zhǎng)的短軸長(zhǎng)軸D.有相同

3、的頂點(diǎn)(A) 12yuLLuAF1(a b 0)的離心率為ULU3FB，則 k ()(B)2丄3，過(guò)右焦點(diǎn)F且斜率為k（k 0）的直線與C相交于2(C)-.3(D) 2A. 45B.-5C.2D.51510、若點(diǎn)0和點(diǎn)F分別為橢圓2 xy21的中心和左焦點(diǎn)，占八、P為橢圓上的任意點(diǎn)，則43值為（）A. 2B.3C.6D.89、若一個(gè)橢圓長(zhǎng)軸的長(zhǎng)度、短軸的長(zhǎng)度和焦距成等差數(shù)列，則該橢圓的離心率是（）uuu uuuOPgFP的最大2 2x y11、橢圓一2- 1 a b0的右焦點(diǎn)為F,其右準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)為 A 在橢圓上存在點(diǎn) P滿足線段a b第16頁(yè)共4頁(yè)AP的垂直平分線過(guò)點(diǎn)F,則橢圓離心率的取

4、值范圍是（）（A）（ 0，（ B） （0, 1（ C） -2 1 , 1）（ D）丄,D2 2 212 若直線y x b與曲線y 34xx2有公共點(diǎn)，則b的取值范圍是（）A. 1 2、.2,1 2 2B. 1、.2,3C.-1,1 2、, 2D. 12,2 ,3二、填空題：（本大題共5小題，共20分.）13若一個(gè)橢圓長(zhǎng)軸的長(zhǎng)度短軸的長(zhǎng)度和焦距成等差數(shù)列，則該橢圓的離心率是 2 2X y14 橢圓1上一點(diǎn)P與橢圓兩焦點(diǎn)F1, F2的連線的夾角為直角，貝U RtA PF1F2的面積為 .492415 已知F是橢圓C的一個(gè)焦點(diǎn)，B是短軸的一個(gè)端點(diǎn)，線段BF的延長(zhǎng)線交C于點(diǎn)D , 且BF 2FD，貝U

5、 C的離心率為2x16已知橢圓c:y22圍為21,則IPF1I+PF2I的取值范1的兩焦點(diǎn)為F1, F2，點(diǎn) P（x0,y0）滿足0 乂 y22三、解答題:（本大題共6小題，共70分解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.17. （10分）已知點(diǎn)2xM在橢圓一251上，m p垂直于橢圓焦點(diǎn)所在的直線，垂足為P,并且M為線段P P的中點(diǎn)，求P點(diǎn)的軌跡方程2 245）的焦點(diǎn)分別是F1和F2，已知橢圓的離心率 eO作直18.(12 分)橢圓 x 1(045 m線與橢圓交于 A, B兩點(diǎn)，O為原點(diǎn)，若VABF2的面積是20,求：（1） m的值（2）直線AB的方程2 2X y19 (12分)設(shè)Fi, F

6、2分別為橢圓2 1 (a b 0)的左、右焦點(diǎn)，過(guò) F2的直線l與橢圓C相交a b于A, B兩點(diǎn)，直線I的傾斜角為60, F1到直線l的距離為2、3.(I)求橢圓C的焦距；ujununn(n)如果 AF2 2F2B,求橢圓C的方程.20 (12分)設(shè)橢圓C2 X2a2占1(a b 0)的左焦點(diǎn)為F,過(guò)點(diǎn)F的直線與橢圓C相交于A , B兩點(diǎn),uuurmu直線I的傾斜角為60, AF 2FB .(I) 求橢圓C的離心率；15(II) 如果|AB|=，求橢圓C的方程.421 (12分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)B與點(diǎn)A (-1,1 )關(guān)于原點(diǎn)0對(duì)稱，P是動(dòng)點(diǎn)，且直線 AP與BP1的斜率之積等于 .

7、3(I )求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程;(n)設(shè)直線ap和bp分別與直線x=3交于點(diǎn)M,N,問(wèn)：是否存在點(diǎn)P使得 PAB與厶PMN的面積相等？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由。2 2xy22 （12分）已知橢圓2a b1 (ab0)的離心率e=3，連接橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)得到的菱形的2面積為4.(I)求橢圓的方程；(n)設(shè)直線I與橢圓相交于不同的兩點(diǎn) A、B，已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-a, 0)(i)若| AB|=，求直線I的傾斜角；5(ii)若點(diǎn)Q(0, y0)在線段AB的垂直平分線上，且 QA?QB 4 求y0的值.橢圓參考答案B作BE垂直于AA 1與E，由第二定義得,YF =3FB1選擇題:題號(hào)12

8、3456789101112答案BBCCBCABBCDD8【命題意圖】本試題主要考察橢圓的性質(zhì)與第二定義【解析】設(shè)直線I為橢圓的有準(zhǔn)線，e為離心率，過(guò) A，B分別作AA 1，BB1垂直于I, A1, B為垂足，過(guò)-|BF|AB|=4|BFtan *_BA - J5故選B.即k=2Xo42Yq3,解得 y23(1uunuuuuuu因?yàn)镕P(Xq 1,y。），OP（by。），所以O(shè)Puuu uur=OP FPXq(Xq1)3(12 2X。、Xq)-Xo3 ,10【解析】由題意，F(xiàn)（-1， 0），設(shè)點(diǎn)P（x0, y0），則有uuuFPXo(Xo 1)2y。此二次函數(shù)對(duì)應(yīng)的拋物線的對(duì)稱軸為Xo2，因?yàn)閄

9、o2，所以當(dāng)Xouuu2 時(shí)，OPuuuFP取得最大值二 2 36，選Co422華：攻咗軸為2務(wù) 罷軸為！離距為2d Jl 2 + 24 = 2 印。士亡=4(d: -j*)墜邏得” 5c *=0 5P加十加-了二0 n g二或夕二-1潔八選B【命題意圖】本題考查橢圓的方程、幾何性質(zhì)、平面向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算、二次函數(shù)的單調(diào)性與最值 等，考查了同學(xué)們對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的熟練程序以及知識(shí)的綜合應(yīng)用能力、運(yùn)算能力。11 解析：由題意，橢圓上存在點(diǎn)P,使得線段AP的垂直平分線過(guò)點(diǎn) F ,即F點(diǎn)到P點(diǎn)與A點(diǎn)的距離相等2 a 而 | FA =cb2 cc| PF| a c, a+ c于是 a c, a+ cc

10、即 ac c2 w b2 ac+ c22 2 2ac ca c2 2 2a cac c又 e (0, 1)故 e 1,12答案：D12 （2010湖北文數(shù)）9若直線yx b與曲線y 3 . 4x x2有公共點(diǎn)，貝U b的取值范圍是A. 12、2,12 .2 B.1. 2 ,3C.-1,1 2 2D. 1 2 2 ,3【解析】曲進(jìn)芳程可化閒利”2）口。-幼%!勺*開(kāi)表示團(tuán)小為0 3）半徑垢的半國(guó) 依據(jù)數(shù)形結(jié)合，當(dāng)直綻尸丸“與此半悒惻時(shí)須満足顏？ 2 3）到直線距離等干匕辭得bL近趾忑,因?qū)澥荈半XI十2邁（舍）當(dāng)直線過(guò)（U，舗時(shí)解得 y故1-2忑勺三3,所UAD正確存、填空題：（本大題共4小題，

11、共16分.）13若一個(gè)橢圓長(zhǎng)軸的長(zhǎng)度短軸的長(zhǎng)度和焦距成等差數(shù)列，則該橢圓的離心率是 2 2X y14 橢圓1上一點(diǎn)P與橢圓兩焦點(diǎn)F1, F2的連線的夾角為直角，貝U RtA PF1F2的面積為 492415 （2010全國(guó)卷1文數(shù)）（16）已知F是橢圓C的一個(gè)焦點(diǎn)，B是短軸的一個(gè)端點(diǎn)，線段BF的延長(zhǎng)線交Cuiruur于點(diǎn)D ,且BF 2FD，則C的離心率為【命題意圖】本小題主要考查橢圓的方程與幾何性質(zhì)、第二定義、平面向量知識(shí)，考查了數(shù)形結(jié)合思想、方程思想，本題凸顯解析幾何的特點(diǎn)：“數(shù)研究形，形助數(shù)”，利用幾何性質(zhì)可尋求到簡(jiǎn)化問(wèn)題的捷徑.【解析1】如圖，IBF I b2 c2 a,作DD1uir

12、y軸于點(diǎn)D1,則由BFuir2FD，得|OF |DDi |IBF IIBDI2，所以IDD133c即Xd,由橢圓的第二定義得2|FD|e叵 3C)c 2又由 |BF | 2|FD |,得 a 2a3c22X【解析2】設(shè)橢圓方程為第一標(biāo)準(zhǔn)形式飛a2b2Xc0 2x2X2332xc 2c； ycb 2y2y294 a24 b216 （2010湖北文數(shù)）15.已知橢圓2Xc: 一2IPF1I+PF2I的取值范圍為【答案】2,2 2,0【解析】依題意知，點(diǎn)P在橢圓內(nèi)部畫(huà)出圖形,當(dāng)P在橢圓頂點(diǎn)處時(shí)，取到（I PF1 II PF2 I) max 為（ 1）（2 1）=2 2，故范圍為3c22a3yc b2

13、X2,y23 0b2,F分BD所成的比為1的兩焦點(diǎn)為F1 ,F2,點(diǎn)P（Xo, yo）滿足0由數(shù)形結(jié)合可得，當(dāng)P在原點(diǎn)處時(shí)(I PF1 |22 $ 因?yàn)椋╞y。）在橢圓21的內(nèi)部,則直線上的點(diǎn)（x, y）均在橢圓外，故此直線與橢圓不可能有交點(diǎn)，故交點(diǎn)數(shù)為二填空題:13314 24155162,2 2,0三.解答題:2X02Y0I PF2 I)maxX X0T yy01x xoy 2 yo17.解：設(shè)p點(diǎn)的坐標(biāo)為p(x, y), m點(diǎn)的坐標(biāo)為(Xo,y)，由題意可知Xo x2 2y y 因?yàn)辄c(diǎn)m在橢圓-y 1上，所以有yo 22592 2xo yo 1259把代入得2 x25236 1，所以P點(diǎn)

14、的軌跡是焦點(diǎn)在y軸上，標(biāo)準(zhǔn)方程為2 21的橢圓253618.解：(1)由已知c . 5 ea453.5，得 c 5 ,a3所以mb222a c45 2520(2)根據(jù)題意 S/abif S/f)F2B20,設(shè) B(x, y)，則 Svf1f2b fgFly，丨 F1F2 2c 10,所2 2以y 4，把y 4代入橢圓的方程45盤(pán)1，得x 3，所以B點(diǎn)的坐標(biāo)為(3 4)，所以直線ab的方程為y19( 2010遼寧文數(shù))(20)(本小題滿分12 分)2 2設(shè)F1，F(xiàn)2分別為橢圓C :仔 1 (a b 0)的左、右焦點(diǎn)，過(guò)F2的直線l與橢圓C相交于A, Ba b兩點(diǎn)，直線I的傾斜角為60，F(xiàn)1到直線

15、l的距離為2.3.(I)求橢圓C的焦距；ujununn(n)如果 AF2 2F2B,求橢圓C的方程解：(I)設(shè)焦距為2c,由已知可得F1到直線I的距離.3c 2.3,故c 2.所以橢圓C的焦距為4.(n)設(shè) A(X1,yJ B(X2,y2),由題意知 0, y? 0,直線 I 的方程為 y -,3(x 2).y .3(x 2),_聯(lián)立 x2y2得(3a2 b2)y2 4 - 3b2 y 3b4 0. 1a b、3b2(2 2a)T-2 2，y23a b,3b2(22a)223a buuur因?yàn)锳F2uuur2F2B,所以 y12y2.即聞2c 2. 23a2a) b,3b2(2 2a)2 _3

16、a2b22得a3.而ab24,所以b , 5.故橢圓C的方程為2y- 1.520 (2010遼寧理數(shù))(20)(本小題滿分12 分)設(shè)橢圓2y21(a b 0)的左焦點(diǎn)為F,b過(guò)點(diǎn)F的直線與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，直線I的傾斜角為uur60, AFuuu2FB .解:(III)(IV)求橢圓C的離心率；15如果|AB|= ，求橢圓C的方程.4設(shè) A(Xi,yJ, B(X2,y2)，由題意知 yi0.(1)直線l的方程為y . 3(x c)，其中cb2 .聯(lián)立y2X2a.3( x c), y2 得(3a21b2 )y22.3b2cy3b4解得y1因?yàn)閡uurAFb23b2(c 2a)3a2b2,

17、y2、3b2(c 2a)3a2b2uur2FB ,所以y12 y2 .即-3b2(c 2a)2, 23a b2?，3b2(c 2a)2, 23a b得離心率e -a23.(n)因?yàn)?ABy y1，所以2 3ab23 3a2 b2154由c22得ba所以%15 /曰，得a=3, b.5.a334422橢圓C的方程為xy1.- 12 分9521 (2O1O北京理數(shù)）(19)（本小J、題共14分）關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱，P是動(dòng)點(diǎn)，且直線 AP與BP的斜率之積在平面直角坐標(biāo)糸 xOy中，點(diǎn)B與點(diǎn)A (-1,11 等于丄.3（I ）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程；（II ）設(shè)直線AP和BP分別與直線x=3交于點(diǎn)M,N,問(wèn)：

18、是否存在點(diǎn)P使得 PAB與厶PMN的面積相等？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由。（I）解：因?yàn)辄c(diǎn)B與A（ 1,1）關(guān)于原點(diǎn)0對(duì)稱，所以點(diǎn)B得坐標(biāo)為（1, 1）.設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x, y）由題意得化簡(jiǎn)得4(x1).故動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為x2 3y24（x1）（II）解法設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（xo,y。），點(diǎn)M , N得坐標(biāo)分別為（3,yM）,（3,yN）.則直線AP的方程為yoXo11（x 1），直線BP的方程為yy0 11 h 1)Xo2yo xo 3xo1于是VPMN得面積S/PMN| yMy 1(3X。）又直線AB的方程為xy o,|AB|點(diǎn)P到直線AB的距離d 1 xo yo 丨 d2

19、 .于是VPAB的面積yN令x 3得yM 如一Xo2|x。y|(3 xo)Ixo2 1|Svpab 1|AB|gd |X0y。I當(dāng) SVPABSVPMN 時(shí),得 I x。yo |2| xy0 | (3 怡)|x02 1|5第18頁(yè)共4頁(yè)又 I x。yo | 0 ,所以（32 2X0) =|X01|，解得|X。因?yàn)閄23y024,所以yo339故存在點(diǎn)5P使得VPAB與VPMN的面積相等，此時(shí)點(diǎn) P的坐標(biāo)為（，3解法二：若存在點(diǎn) P使得VPAB與VPMN的面積相等，設(shè)點(diǎn) P的坐標(biāo)為（x0,y0）則 1|PA|g|PB|sin APB 11 PM |c|PN |sin MPN .因?yàn)? - 2 s

20、in APB sin MPN ,所以|PA|PM |PN |PB|所以|x 1| |3 x|3 x|x 1|2即（3 X0）2| X01|，解得Xo2因?yàn)閤 3y204，所以yv).故存在點(diǎn)PS使得VPAB與VPMN的面積相等，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為&22（ 2010天津文數(shù)）（21）（本小題滿分14 分）2234.已知橢圓 務(wù) 篤 1 （ ab0）的離心率e=-，連接橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)得到的菱形的面積為a2b22（I）求橢圓的方程；（H）設(shè)直線I與橢圓相交于不同的兩點(diǎn) A、B，已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-a, 0）.4伍（i ）若| AB|=，求直線I的傾斜角;umr umr（ii）若點(diǎn)Q（ 0, y）在線段AB的垂直平分線上，且 QAgQB=4 .求y的值.【解析】本小題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)、直線的方程、兩點(diǎn)間的距離公式、直線的傾斜 角、平面向量等基礎(chǔ)知識(shí)，考查用代數(shù)方法研究圓錐曲線的性質(zhì)及數(shù)形結(jié)合的思想，考查綜合分析與 運(yùn)算能力滿分14分.c(i)解：由 e= a手，得4C2.再