高等數學D1習題課黑白

1、1,二、 連續(xù)與間斷,一、 函數,三、 極限,習題課,函數與極限,第一章,2,一、 函數,1. 概念,定義:,定義域,值域,圖形:,( 一般為曲線 ),設,函數為特殊的映射:,其中,3,2. 特性,有界性 ,單調性 ,奇偶性 ,周期性,3. 反函數,設函數,為單射,反函數為其逆映射,4. 復合函數,給定函數鏈,則復合函數為,5. 初等函數,有限個常數及基本初等函數,經有限次四則運算與,復合而成的一個表達式的函數.,4,思考與練習,1. 下列各組函數是否相同 ? 為什么?,相同,相同,相同,5,2. 下列各種關系式表示的 y 是否為 x 的函數? 為什么?,不是,是,不是,提示: (2),6,3

2、. 下列函數是否為初等函數 ? 為什么 ?,以上各函數都是初等函數 .,7,4. 設,求,及其定義域 .,5. 已知, 求,6. 設,求,由,得,4. 解:,8,5. 已知, 求,解:,6. 設,求,解:,9,二、 連續(xù)與間斷,1. 函數連續(xù)的等價形式,有,2. 函數間斷點,第一類間斷點,第二類間斷點,可去間斷點,跳躍間斷點,無窮間斷點,振蕩間斷點,10,有界定理 ;,最值定理 ;,零點定理 ;,介值定理 .,3. 閉區(qū)間上連續(xù)函數的性質,例1. 設函數,在 x = 0 連續(xù) , 則 a = , b = .,提示:,11,有無窮間斷點,及可去間斷點,解:,為無窮間斷點,所以,為可去間斷點 ,極

3、限存在,例2. 設函數,試確定常數 a 及 b .,12,例3. 設 f (x) 定義在區(qū)間,上 , 若 f (x) 在,連續(xù),提示:,閱讀與練習,且對任意實數,證明 f (x) 對一切 x 都連續(xù) .,P65 題 1 , 3(2) ; P74 題 *6,13,證:,P74 題*6. 證明: 若,令,則給定,當,時,有,又,根據有界性定理, 使,取,則,在,內連續(xù),存在, 則,必在,內有界.,14,上連續(xù) , 且恒為正 ,例4. 設,在,對任意的,必存在一點,證:,使,令, 則,使,故由零點定理知 , 存在,即,證明:,即,15,上連續(xù), 且 a c d b ,例5. 設,在,必有一點,證:,

4、使,即,由介值定理,證明:,故,即,16,三、 極限,1. 極限定義的等價形式,有,2. 極限存在準則及極限運算法則,17,3. 無窮小,無窮小的性質 ;,無窮小的比較 ;,常用等價無窮小:,4. 兩個重要極限,6. 判斷極限不存在的方法（函數極限與數列極限關系）,5. 求極限的基本方法 ( 極限運算法則，變形為重要極限）,或,18,例6. 求下列極限：,提示:,19,令,20,則有,復習: 若,21,例7. 確定常數 a , b , 使,解: 原式可變形為,故,于是,而,22,例9. 當,時,是,的幾階無窮小?,解: 設其為 x 的 k 階無窮小,則,因,故,23,閱讀與練習,1. 求,的間斷點, 并判別其類型.,解:,x = 1 為第一類可去間斷點,x = 1 為第二類無窮間斷點,x = 0 為第一類跳躍間斷點,24,2. 求,解:,原式 = 1,(2000考研),注意此項含絕對值,25,作業(yè) P75 4 (1) , (4)