線性回歸方程教案(二)

1、2、 3、 2 線性回歸方程講義編寫者：數(shù)學教師孟凡洲某小賣部為了了解熱茶銷售量與氣溫之間的關(guān)系,隨機統(tǒng)計并制作了某6 天賣出熱茶的杯數(shù)與當天氣溫的對照表：氣溫 /261813104-1杯數(shù)202434385064如果某天的氣溫是-5 , 你能根據(jù)這些數(shù)據(jù)預測這天小賣部賣出熱茶的杯數(shù)嗎？為解決這個問題我們接著學習兩個變量的線性相關(guān)回歸直線及其方程.一、【學習目標】1、理解相關(guān)關(guān)系，能判斷兩個變量之間是否是相關(guān)關(guān)系；2、會求線性回歸方程，理解其真正含義（估計）.【教學效果】 ：教學目標的給出有利于學生整體把握課堂.二、【自學內(nèi)容和要求及自學過程】閱讀教材86 89 頁內(nèi)容，回答問題（回歸直線方程

2、） 請你說出作散點圖的步驟和方法. 請你說出正、負相關(guān)的概念. 什么是線性相關(guān)？ 看人體的脂肪百分比和年齡的散點圖,當人的年齡增加時,體內(nèi)脂肪含量到底是以什么方式增加的呢？ 什么叫做回歸直線？ 如何求回歸直線的方程？什么是最小二乘法？它有什么樣的思想？結(jié)論 ： 建立相應(yīng)的平面直角坐標系,將各數(shù)據(jù)在平面直角坐標中的對應(yīng)點畫出來, 得到表示兩個變量的一組數(shù)據(jù)的圖形,這樣的圖形叫做散點圖（. a.如果所有的樣本點都落在某一函數(shù)曲線上,就用該函數(shù)來描述變量之間的關(guān)系 ,即變量之間具有函數(shù)關(guān)系b.如果所有的樣本點都落在某一函數(shù)曲線附近 ,變量之間就有相關(guān)關(guān)系.c. 如果所有的樣本點都落在某一直線附近 ,

3、 變量之間就有線性相關(guān)關(guān)系） 如果散點圖中的點散布在從左下角到右上角的區(qū)域內(nèi),稱為正相關(guān) .如果散點圖中的點散布在從左上角到右下角的區(qū)域內(nèi),稱為負相關(guān) . 如果所有的樣本點都落在某一直線附近,變量之間就有線性相關(guān)的關(guān)系 . 大體上來看 , 隨著年齡的增加,人體中脂肪的百分比也在增加,呈正相關(guān)的趨勢 ,我們可以從散點圖上來進一步分析. 如下圖；從散點圖上可以看出 , 這些點大致分布在通過散點圖中心的一條直線附近 .如果散點圖中點的分布從整體上看大致在一條直線附近, 我們就稱這兩個變量之間具有線性相關(guān)關(guān)系 ,這條直線叫做回歸直線(regressionline). 如果能夠求出這條回歸直線的方程(簡

4、稱回歸方程 ), 那么我們就可以比較清楚地了解年齡與體內(nèi)脂肪含量的相關(guān)性.就像平均數(shù)可以作為一個變量的數(shù)據(jù)的代表一樣,這條直線可以作為兩個變量具有線性相關(guān)關(guān)系的代表. 從散點圖上可以發(fā)現(xiàn), 人體的脂肪百分比和年齡的散點圖, 大致分布在通過散點圖中心的一條直線.那么 ,我們應(yīng)當如何具體求出這個回歸方程呢?有的同學可能會想,我可以采用測量的方法,先畫出一條直線,測量出各點與它的距離,然后移動直線 ,到達一個使距離的和最小的位置,測量出此時的斜率和截距,就可得到回歸方程了.但是 ,這樣做可靠嗎?有的同學可能還會想,在圖中選擇這樣的兩點畫直線,使得直線兩側(cè)的點的個數(shù)基本相同.同樣地 ,這樣做能保證各點

5、與此直線在整體上是最接近的嗎 ?還有的同學會想,在散點圖中多取幾組點,確定出幾條直線的方程,再分別求出各條直線的斜率、截距的平均數(shù) , 將這兩個平均數(shù)當成回歸方程的斜率和截距 .同學們不妨去實踐一下,看看這些方法是不是真的可行?（學生討論：1.選擇能反映直線變化的兩個點.2.在圖中放上一根細繩,使得上面和下面點的個數(shù)相同或基本相同.3. 多取幾組點對,確定幾條直線方程 .再分別算出各個直線方程斜率、截距的算術(shù)平均值,作為所求直線的斜率、截距 .）教師：分別分析各方法的可靠性.如下圖：上面這些方法雖然有一定的道理,但總讓人感到可靠性不強.實際上 ,求回歸方程的關(guān)鍵是如何用數(shù)學的方法來刻畫“從整體

6、上看,各點與此直 的距離最小”.人 期的 踐與研究,已 得出了 算回 方程的斜率與截距的一般公式nn(xi x)( yi y)xi yinx ybi1i 1,(1)nn(xi x ) 2xi2nx 2i 1i 1a ybx.其中， b 是回 方程的斜率， a 是截距 .推 公式的 算比 復 ， 里不作推 .但是 ,我 可以解 一下得出它的原理 .假 我 已 得到兩個具有 性相關(guān)關(guān)系的 量 (x1,y1),(x 2,y 2), ,(xn,yn )，且所求回 方程是y =bx+a, 其中 a、 b 是待定參數(shù) .當 量 x 取 xi(i=1,2, ,n) 可以得到y(tǒng) =bx i+a(i=1,2,

7、,n), 它與 收集到的yi 之 的偏差是yi- y =y i-(bx i+a)(i=1,2, ,n). ，用 n 個偏差的和來刻畫“各點與此直 的整體偏差”是比 合適的.n由于（ yi- y ）可正可 ， 了避免相互抵消，可以考 用| yiy i | 來i 1代 替 ， 但 由 于 它 含 有 絕 對 值 ， 運 算 不 太 方 便 ， 所 以 改 用q=(y 1-bx 1-a) 2+(y 2-bx 2-a) 2+ +(y n -bx n-a) 2來刻畫n 個點與回 直 在整體上的偏差. ， 就 :當 a,b 取什么 q 最小，即 體偏差最小.經(jīng)過數(shù)學上求最小值的運算，a,b 的值由公式給出

8、.通過求式的最小值而得出回歸直線的方法，即求回歸直線， 使得樣本數(shù)據(jù)的點到它的距離的平方和最小，這一方法叫做最小二乘法（ methodofleast square ） .【教學效果】 ：理解線性回歸的真正內(nèi)涵.三、【綜合練習與思考探索】例 1有一個同學家開了一個小賣部，他為了研究氣溫對熱飲銷售的影響，經(jīng)過統(tǒng)計，得到一個賣出的熱飲杯數(shù)與當天氣溫的對比表：溫度 /-504712151923273136熱飲杯數(shù)15615013212813011610489937654（ 1）畫出散點圖；（ 2）從散點圖中發(fā)現(xiàn)氣溫與熱飲銷售杯數(shù)之間關(guān)系的一般規(guī)律；（ 3）求回歸方程；（ 4）如果某天的氣溫是 2 ，預

9、測這天賣出的熱飲杯數(shù) .結(jié)論 ：（ 1）散點圖如下圖所示：（ 2）從上圖看到，各點散布在從左上角到右下角的區(qū)域里，因此，氣溫與熱飲銷售杯數(shù)之間呈負相關(guān)，即氣溫越高， 賣出去的熱飲杯數(shù)越少 .（ 3）從散點圖可以看出，這些點大致分布在一條直線的附近，因此，可 用 公 式 求 出 回 歸 方 程 的 系 數(shù) . 利 用 計 算 器 容 易 求 得 回 歸 方 程y =-2.352x+147.767.(4) 當 x=2 時， y =143.063. 因此，某天的氣溫為2 時，這天大約可以賣出 143 杯熱飲 .思考 ：氣溫為2 時，小賣部一定能夠賣出143 杯左右熱飲嗎？為什么？這里的答案是小賣部不

10、一定能夠賣出143 杯左右熱飲，原因如下：1.線性回歸方程中的截距和斜率都是通過樣本估計出來的，存在隨機誤差，這種誤差可以導致預測結(jié)果的偏差.2.即使截距和斜率的估計沒有誤差，也不可能百分之百地保證對應(yīng)于x 的預報值，能夠與實際值y 很接近 .我們不能保證點（x,y ）落在回歸直線上，甚 至 不 能 百 分 之 百 地 保 證 它 落 在 回 歸 直 線 的 附 近 ， 事 實 上 ，y=bx+a+e=y +e.這里 e 是隨機變量， 預報值 y 與實際值y 的接近程度由隨機變量e 的標準差所決定.一些學生可能會提出問題：既然不一定能夠賣出143 杯左右熱飲，那么為什么我們還以“這天大約可以賣

11、出143 杯熱飲”作為結(jié)論呢？這是因為這個結(jié)論出現(xiàn)的可能性最大.具體地說， 假如我們規(guī)定可以選擇連續(xù)的3 個非負整數(shù)作為可能的預測結(jié)果，則我們選擇142 ， 143 和 144 能夠保證預測成功（即實際賣出的杯數(shù)是這3 個數(shù)之一）的概率最大 .例 2下表為某地近幾年機動車輛數(shù)與交通事故數(shù)的統(tǒng)計資料.機動車輛數(shù)95110112120129135150180x千臺交通事故數(shù)6.27.57.78.58.79.810.213y千件(1) 請判斷機動車輛數(shù)與交通事故數(shù)之間是否有線性相關(guān)關(guān)系,如果不具有線性相關(guān)關(guān)系 ,說明理由；(2) 如果具有線性相關(guān)關(guān)系 ,求出線性回歸方程 .結(jié)論 ：（ 1）在直角坐標

12、系中畫出數(shù)據(jù)的散點圖,如下圖 .直觀判斷散點在一條直線附近, 故具有線性相關(guān)關(guān)系(2) 計算相應(yīng)的數(shù)據(jù)之和：8888xi=1 031，yi=71.6,xi2=137 835，xi yi=9 611.7.i 1i1i 1i1將它們代入公式計算得b 0.077 4,a=-1.024 1,所以 ,所求線性回歸方程為=0.077 4x-1.024 1.【教學效果】 ：通過練習鞏固新知.四、【作業(yè)】1、必做題 ：習題 2.3a 組 3、 4,b2、選做題 ：完成課后練習.組1、2；五、【小結(jié)】本節(jié)課主要學習了兩個內(nèi)容1o 求線性回歸方程的步驟： （ 1）計算平均數(shù) x, y ； (2)計算 x與 y 的

13、積，求 x22，iiiyi; (3)計算 xi, yinn( xix)( yi y)xi yinx ybi1i 1,nn(4) 將上述有關(guān)結(jié)果代入公式( xi x ) 2xi2nx 2i 1i 1a ybx求 b,a,寫出回歸直線方程2o 經(jīng)歷用不同估算方法描述兩個變量線性相關(guān)的過程. 知道最小二乘法的思想 , 能根據(jù)給出的線性回歸方程系數(shù)公式建立線性回歸方程.六、【教學反思】因材施教說起來很容易，事實上很難. 教師要認識自己的學生，真正的認識自己的學生，才能使你的學生進步.七、【課后練習】1、下列兩個變量之間的關(guān)系哪個不是函數(shù)關(guān)系（）a. 角度和它的余弦值b.正方形邊長和面積c. 正邊形的邊

14、數(shù)和它的內(nèi)角和d.人的年齡和身高答案： 2、三點 (3,10),(7,20),(11,24)的線性回歸方程是（）a. y =5.75-1.75xb.y=1.75+5.75xc. y =1.75-5.75xd. y =5.75+1.75x答案： 3、已知關(guān)于某設(shè)備的使用年限x 與所支出的維修費用y（萬元） , 有如下統(tǒng)計資料：使用年限23456x維修費用223 85 56 57 0y設(shè) y 對 x 呈線性相關(guān)關(guān)系試求：（ 1）線性回歸方程y =bx+a 的回歸系數(shù) a,b ；（ 2）估計使用年限為 10 年時 , 維修費用是多少？答案：（ 1）b=1.23,a=0.08 ；（2） 12.38.4

15、、我們考慮兩個表示變量x 與 y 之間的關(guān)系的模型 , 為誤差項 , 模型如下：模型 1： y=6+4x；模型 2：y=6+4x+e （ 1）如果 x=3,e=1, 分別求兩個模型中 y 的值；（ 2）分別說明以上兩個模型是確定性模型還是隨機模型解：（ 1）模型 1：y=6+4x=6+43=18；模型 2： y=6+4x+e=6+43+1=19.（ 2）模型 1 中相同的 x 值一定得到相同的y 值 , 所以是確定性模型；模型2 中相同的 x 值 , 因 的不同 , 所得 y 值不一定相同 , 且 為誤差項是隨機的 , 所以模型2 是隨機性模型5、以下是收集到的新房屋銷售價格y 與房屋大小x

16、的數(shù)據(jù)：房屋大小x80105110115135（ m2）銷售價格 （y 萬18.422元）21.624.829.2（ 1）畫出數(shù)據(jù)的散點圖；（ 2）用最小二乘法估計求線性回歸方程.解：（ 1）散點圖如下圖.55（ 2） n=5,xi =545, x =109,yi =116, y =23.2,i1i155xi2 =60 952,xi yi =12 952,i 1i 1b= 5 12952545 116 0.199,a=23.2 - 0.199 1091.509,5609525452所以 , 線性回歸方程為 y=0.199x+1.509 6、下列關(guān)系中，是帶有隨機性相關(guān)關(guān)系的是正方形的邊長面積之

17、間的關(guān)系；水稻產(chǎn)量與施肥量之間的關(guān)系人的身高與年齡之間的關(guān)系降雪量與交通事故的發(fā)生率之間的關(guān)系.答案：兩變量之間的關(guān)系有兩種：函數(shù)關(guān)系與帶有機性的相關(guān)關(guān)系. 正方形的邊長與面積之間的關(guān)系是函數(shù)關(guān)系. 水稻產(chǎn)量與施肥量之間的關(guān)系不是嚴格的函數(shù)關(guān)系， 但是具有相關(guān)性， 因而是相關(guān)關(guān)系 . 人的身高與年齡之間的關(guān)系既不是函數(shù)關(guān)系，也不是相關(guān)關(guān)系，因為人的年齡達到一定時期身高就不發(fā)生明顯變化了，因而他們不具備相關(guān)關(guān)系. 降雪量與交通事故的發(fā)生率之間具有相關(guān)關(guān)系，因此填、.7、現(xiàn)隨機抽取某校10 名學生在入學考中的數(shù)學成績x 與入學后的第一次數(shù)學考試成績 y，數(shù)據(jù)如下：學號12345678910x12010911710410311010410599108y84648468696869465771問這 10 名同學的兩次數(shù)學考試成績是否具有相關(guān)關(guān)系？答案 ：應(yīng)用散點圖分析， （圖略）這 10名同學的兩次數(shù)學考試成績具有相關(guān)關(guān)系 .8、在下列各圖中，每個圖的兩個變量具有相關(guān)關(guān)系的圖是（）a、（ 1）（ 2）b 、（1）（ 3）c 、（ 2）（4）d、（ 2）（ 3）9、線性回歸方程ybxa 必過 a、（ 0， 0）點b、（x ， 0）點c、（ 0，y ）點心d 、（x, y ）點10、設(shè)有一個直線回歸方程為y=2 1.5x,則變量 x 增加一個單位時a、 y 平均增加1.5 個單位于b、