201X_202x學(xué)年高中數(shù)學(xué)第3章三角恒等變換3.2.1兩角差的余弦函數(shù)3.2.2兩角和與差的正弦、余弦函數(shù)北師大版必修4

1、2兩角和與差的三角函數(shù),1,2.1兩角差的余弦函數(shù)2.2兩角和與差的正弦、余弦函數(shù),2,3,一,二,一、兩角差的余弦公式 cos(-)=cos cos +sin sin ,簡記為C-. 名師點撥1.公式的結(jié)構(gòu)特征:公式右端是兩角,的余弦值之積與正弦值之積的和,即“同名相乘,加號連接”. 2.公式的適用范圍:公式適用于任意角,可以是單獨一個角,也可以是幾個角的組合. 3.注意公式的逆用、變形應(yīng)用是靈活使用公式的前提,如cos cos +sin sin =cos(-),(cos +cos )2+(sin +sin )2=2+2cos(-)等,4,一,二,做一做1】 cos(-15)的值為(,解析:

2、cos(-15)=cos(30-45)=cos 30cos 45+sin 30sin 45,答案:B,做一做2】 求值:cos 79cos 19+sin 79sin 19,5,一,二,二、兩角和與差的正弦、余弦公式 cos(+)=cos cos -sin sin ,簡記為C+; sin(+)=sin cos +cos sin ,簡記為S+; sin(-)=sin cos -cos sin ,簡記為S-. 名師點撥1.公式的記憶技巧,2.上述公式不僅要能夠正用,還要善于逆用、變形用,6,一,二,7,一,二,答案:A,做一做4】 sin 69cos 99-cos 69sin 99,8,一,二,思考

3、辨析 判斷下列說法是否正確,正確的在后面的括號內(nèi)畫“”,錯誤的畫“”. (1)存在這樣的和的值,使得cos(+)=cos cos +sin sin . () (2)不存在無窮多個和的值,使得cos(+)=cos cos +sin sin . () (3)對于任意的和,有cos(+)=cos cos -sin sin . () (4)不存在這樣的和的值,使得sin(-)sin cos -cos sin . () (5)存在這樣的和的值,使sin(+)=sin cos -cos sin . () 答案:(1)(2)(3)(4)(5,9,探究一,探究二,探究三,探究四,給角化簡求值問題 【例1】 化

4、簡或求值: (1)sin 43cos 13-sin 13sin 47; (2)cos(-35)cos(25+)+sin(-35)sin(25,思路分析:(1)式子中出現(xiàn)了三個角,但注意到43與47可以用誘導(dǎo)公式轉(zhuǎn)換,從而可以選擇公式求值.(2)式子中出現(xiàn)的角是“整體”的形式,要把“-35”看作角“”,把“25+”看作角“”,再逆用兩角差的余弦公式.(3)直接利用兩角和與差的余弦公式展開即可化簡.(4)將sin 47改寫為sin(17+30),再用公式展開化簡,10,探究一,探究二,探究三,探究四,解:(1)方法一:sin 43cos 13-sin 13sin 47 =sin 43cos 13-

5、sin 13cos 43 =sin(43-13)=sin 30= . 方法二:sin 43cos 13-sin 13sin 47 =cos 47cos 13-sin 13sin 47 =cos(47+13,11,探究一,探究二,探究三,探究四,反思感悟1.給角化簡求值問題,是指給出一個三角函數(shù)式,其中的角度已知,通過公式的運用,對三角函數(shù)式進行化簡求值. 2.對于給角求值問題,一般所給的角都不是特殊角,無法直接運算,這時通常是觀察非特殊角與特殊角間的關(guān)系,通過合理地運用兩角和與差的三角函數(shù)公式,將非特殊角轉(zhuǎn)化為特殊角,或使含有非特殊角的式子出現(xiàn)“正負抵消”或“分子分母約分”的情況,從而消除非特

6、殊角,進而求得式子的值,12,探究一,探究二,探究三,探究四,變式訓(xùn)練1化簡下列各式,13,探究一,探究二,探究三,探究四,答案:(1)B(2)-1,14,探究一,探究二,探究三,探究四,給值求值問題,2)若將cos(+)展開,利用平方關(guān)系求cos ,則運算量大,而利用角的變換=(+)-,兩邊取余弦即可,15,探究一,探究二,探究三,探究四,16,探究一,探究二,探究三,探究四,17,探究一,探究二,探究三,探究四,反思感悟1.給值求值型問題,一般思路是:先看公式中的量,哪些是已知的,哪些是待求的,再利用已知條件結(jié)合同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出待求值,注意根據(jù)角的終邊所在的象限確定符號. 2.對

7、于例2(2)的解法顯然要比將cos(+)展開再結(jié)合平方關(guān)系解方程組的方法簡單得多,所以在給值求值問題中,認真分析已知角與未知角的關(guān)系,將未知角用已知角巧妙地表示是至關(guān)重要的,18,探究一,探究二,探究三,探究四,19,探究一,探究二,探究三,探究四,20,探究一,探究二,探究三,探究四,21,探究一,探究二,探究三,探究四,給值求角問題,思路分析:因為,均為銳角,所以+(0,),而余弦函數(shù)在(0,)上是減少的,因此先求+的余弦值,進而求出+的值,22,探究一,探究二,探究三,探究四,23,探究一,探究二,探究三,探究四,反思感悟 給值求角問題的步驟 給值求角問題,步驟是:(1)先求該角的某一三

8、角函數(shù)值;(2)確定該角的范圍;(3)依據(jù)角的范圍寫出所求的角.在求該角的某一三角函,24,探究一,探究二,探究三,探究四,25,探究一,探究二,探究三,探究四,輔助角公式的應(yīng)用,1)求f(x)的最小正周期; (2)求f(x)在區(qū)間-,0上的最小值,思路分析:利用輔助角公式將f(x)轉(zhuǎn)化為正弦型函數(shù),再研究函數(shù)的周期和最值,26,探究一,探究二,探究三,探究四,27,探究一,探究二,探究三,探究四,反思感悟 輔助角公式的應(yīng)用,2.研究三角函數(shù)的性質(zhì)時,通常要將函數(shù)解析式化為Asin(x+)的形式,如果不具備這種形式,通常就需要運用輔助角公式,將其轉(zhuǎn)化為這一形式,再研究相應(yīng)的性質(zhì),28,探究一,

9、探究二,探究三,探究四,29,探究一,探究二,探究三,探究四,答案:(1)B(2)B,30,1,2,3,4,5,6,1.cos 45cos 15+sin 15sin 45的值為(,答案:B,31,1,2,3,4,5,6,2.在ABC中,若sin Asin B0, 即cos(A+B)0,A+B為銳角,則C為鈍角. 答案:D,32,1,2,3,4,5,6,答案:A,33,1,2,3,4,5,6,34,1,2,3,4,5,6,5.計算或化簡下列各式: (1)cos 15cos 105-cos 15sin 15; (2)sin(-30)+sin(+30); (3)sin(2+)-2cos(+)sin . 解:(1)原式=-cos 15cos 75-sin 75sin 15 =-(cos 75cos 15+sin 75sin 15,2)原式=sin cos 30-co