201X_201X版高中數(shù)學第二章證明不等式的基本方法2.2綜合法與分析法新人教A版選修4_5

1、二綜合法與分析法,1.綜合法 一般地,從已知條件出發(fā),利用定義、公理、定理、性質等,經過一系列的推理、論證而得出命題成立,這種證明方法叫做綜合法,又叫順推證法或由因導果法,名師點撥用綜合法證明不等式的邏輯關系:AB1B2BnB,由已知逐步推演不等式成立的必要條件,從而得結論,做一做1若ab0,則下列不等式中一定成立的是 (,答案：A,2.分析法 證明命題時,從要證的結論出發(fā),逐步尋求使它成立的充分條件,直至所需條件為已知條件或一個明顯成立的事實(定義、公理或已證明的定理、性質等),從而得出要證的命題成立,這種證明方法叫做分析法,這是一種執(zhí)果索因的思考和證明方法,名師點撥用分析法證明不等式的邏輯

2、關系:BB1B2BnA,由結論步步尋求使不等式成立的充分條件,從而得到已知(或明顯成立的事實,做一做2用分析：法證明:欲使AB,只需CD,這里是的() A.充分條件 B.必要條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件 解析：分析法證明的本質是證明結論的充分條件成立,即,所以是的必要條件. 答案：B,思考辨析 判斷下列說法是否正確,正確的在后面的括號內畫“”,錯誤的畫“”. (1)用綜合法證明時,其實質是由已知逐步推演不等式成立的充分條件,從而得到結論. () (2)用分析法證明時,其實質是由結論步步尋求使不等式成立的充要條件,從而到已知. () (3)綜合法是直接證明, 分析法是間接證明.

3、() (4)有些問題的證明,可以將綜合法與分析法結合起來使用. (,探究一,探究二,規(guī)范解答,利用綜合法證明不等式 分析：欲證不等式的結構與基本不等式有關,可考慮利用基本不等式進行證明,探究一,探究二,規(guī)范解答,探究一,探究二,規(guī)范解答,反思感悟1.綜合法證明不等式,揭示出條件和結論之間的因果聯(lián)系,要注重分析已知與求證之間、不等式的左右兩端之間的差異與聯(lián)系,合理進行轉換,恰當選擇已知不等式,這是證明的關鍵. 2.綜合法證明不等式時常用的已知不等式主要有如下幾個: (1)a20(aR); (2)(a-b)20(a,bR,4)a3+b3+c33abc(a,b,c0); (5)|a|-|b|ab|a

4、|+|b,探究一,探究二,規(guī)范解答,變式訓練1已知a0,b0,c0,求證a3+b3+c3 (a2+b2+c2)(a+b+c). 證明：因為a2+b22ab,a0,b0,所以(a2+b2)(a+b)2ab(a+b), 即a3+b3+a2b+ab22a2b+2ab2. 所以a3+b3a2b+ab2(當且僅當a=b時,等號成立). 同理可得b3+c3b2c+bc2(當且僅當b=c時,等號成立),a3+c3a2c+ac2(當且僅當a=c時,等號成立), 將以上三式兩邊分別相加,得2(a3+b3+c3)a2b+ab2+b2c+bc2+a2c+ac2, 所以3(a3+b3+c3)(a3+a2b+a2c)+

5、(b3+ab2+b2c)+(c3+bc2+ac2) =(a+b+c)(a2+b2+c2), 所以a3+b3+c3 (a2+b2+c2)(a+b+c)(當且僅當a=b=c時,等號成立,探究一,探究二,規(guī)范解答,利用分析法證明不等式 【例2】 已知函數(shù)f(x)=3x-2x,求證:對于任意的x1,x2R,均有 分析：用分析法證明,從要證明的不等式出發(fā),將要證明的不等式逐步簡化,直至得出明顯成立的不等式,探究一,探究二,規(guī)范解答,探究一,探究二,規(guī)范解答,反思感悟分析法證明不等式應注意的問題 1.分析法證明不等式的依據(jù)是不等式的基本性質、已知的重要不等式和邏輯推理的基本理論. 2.分析法證明不等式的思

6、維是從要證不等式出發(fā),逐步尋求使它成立的充分條件,最后得到的充分條件是已知(或已證)的不等式. 3.用分析法證明數(shù)學命題時,一定要恰當?shù)赜煤梅赐品枴啊被颉耙C”“只需證”“即證”等詞語,探究一,探究二,規(guī)范解答,探究一,探究二,規(guī)范解答,利用綜合法與分析法證明不等式 典例已知函數(shù)f(x)=ln(x+2),a,b,c是兩兩不相等的正實數(shù),且a,b,c成等比數(shù)列,試判斷f(a)+f(c)與2f(b)的大小關系,并證明你的結論. 【審題策略】可先利用基本不等式得到a,b,c中間的不等關系,然后再借助對數(shù)函數(shù)的單調性得到結論,探究一,探究二,規(guī)范解答,規(guī)范展示】f(a)+f(c)2f(b). 證明:

7、因為a,b,c是兩兩不相等的正實數(shù), 所以由基本不等式可得a+c2 . 又a,b,c成等比數(shù)列,所以b2=ac. 于是a+c2 =2b. 而f(a)+f(c)=ln(a+2)(c+2)=ln ac+2(a+c)+4, 2f(b)=2ln(b+2)=ln(b2+4b+4), 因為ac+2(a+c)+4=b2+2(a+c)+4b2+4b+4, 且函數(shù)f(x)=ln(x+2)是單調遞增函數(shù), 所以ln ac+2(a+c)+4ln(b2+4b+4), 故f(a)+f(c)2f(b,探究一,探究二,規(guī)范解答,答題模板】 第1步:給出結論 第2步:利用基本不等式和已知條件得到a,b,c之間的不等關系 第3

8、步:代入求得函數(shù)值 第4步:根據(jù)對數(shù)函數(shù)單調性得到結論,探究一,探究二,規(guī)范解答,失誤警示通過閱卷統(tǒng)計分析,造成失分的主要原因是: (1)解答的開始沒有給出結論,一開始就進行證明.對于這類問題,應該先回答問題的結論,然后再進行證明; (2)忽視了基本不等式等號成立的條件而直接得到a+c2 ; (3)對對數(shù)的運算性質不熟練導致變形出現(xiàn)錯誤,從而無法繼續(xù)證明; (4)不能從函數(shù)的單調性出發(fā)聯(lián)系要證明的結論,導致證明無法繼續(xù),探究一,探究二,規(guī)范解答,變式訓練已知a,b是兩個不相等的正實數(shù),且a+b=2,求證 證明：因為a,b都是正實數(shù),所以原不等式等價于a2(b+1)+b2(a+1)(a+1)(b+1). 展開得a2b+a2+b2a+b2ab+a+b+1, 即a2+b2+ab(a+b)ab+a+b+1. 將a+b=2代入式,只需證a2+b2+2abab+3, 即(a+b)2ab+3. 將a+b=2代入式,整理,得ab2 可得ab1成立, 故原不等式成立,1 2 3 4,A.分析法 B.綜合法 C.綜合法、分析法綜合使用 D.間接證明法 解析：證明過程是由左到右,順推證明,是綜合法. 答案：B,1 2 3 4,2.用分析法證明不等式時的推理過程一定是() A.正向、逆向均可進行正確的推理 B.只需能進行逆向推理 C.只需能進行正向推理 D.有時能