201X_201X版高中數(shù)學(xué)第二章證明不等式的基本方法2.2綜合法與分析法新人教A版選修4_5

1、二綜合法與分析法,1.綜合法 一般地,從已知條件出發(fā),利用定義、公理、定理、性質(zhì)等,經(jīng)過一系列的推理、論證而得出命題成立,這種證明方法叫做綜合法,又叫順推證法或由因?qū)Ч?名師點(diǎn)撥用綜合法證明不等式的邏輯關(guān)系:AB1B2BnB,由已知逐步推演不等式成立的必要條件,從而得結(jié)論,做一做1若ab0,則下列不等式中一定成立的是 (,答案：A,2.分析法 證明命題時(shí),從要證的結(jié)論出發(fā),逐步尋求使它成立的充分條件,直至所需條件為已知條件或一個(gè)明顯成立的事實(shí)(定義、公理或已證明的定理、性質(zhì)等),從而得出要證的命題成立,這種證明方法叫做分析法,這是一種執(zhí)果索因的思考和證明方法,名師點(diǎn)撥用分析法證明不等式的邏輯

2、關(guān)系:BB1B2BnA,由結(jié)論步步尋求使不等式成立的充分條件,從而得到已知(或明顯成立的事實(shí),做一做2用分析：法證明:欲使AB,只需CD,這里是的() A.充分條件 B.必要條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件 解析：分析法證明的本質(zhì)是證明結(jié)論的充分條件成立,即,所以是的必要條件. 答案：B,思考辨析 判斷下列說法是否正確,正確的在后面的括號(hào)內(nèi)畫“”,錯(cuò)誤的畫“”. (1)用綜合法證明時(shí),其實(shí)質(zhì)是由已知逐步推演不等式成立的充分條件,從而得到結(jié)論. () (2)用分析法證明時(shí),其實(shí)質(zhì)是由結(jié)論步步尋求使不等式成立的充要條件,從而到已知. () (3)綜合法是直接證明, 分析法是間接證明.

3、() (4)有些問題的證明,可以將綜合法與分析法結(jié)合起來使用. (,探究一,探究二,規(guī)范解答,利用綜合法證明不等式 分析：欲證不等式的結(jié)構(gòu)與基本不等式有關(guān),可考慮利用基本不等式進(jìn)行證明,探究一,探究二,規(guī)范解答,探究一,探究二,規(guī)范解答,反思感悟1.綜合法證明不等式,揭示出條件和結(jié)論之間的因果聯(lián)系,要注重分析已知與求證之間、不等式的左右兩端之間的差異與聯(lián)系,合理進(jìn)行轉(zhuǎn)換,恰當(dāng)選擇已知不等式,這是證明的關(guān)鍵. 2.綜合法證明不等式時(shí)常用的已知不等式主要有如下幾個(gè): (1)a20(aR); (2)(a-b)20(a,bR,4)a3+b3+c33abc(a,b,c0); (5)|a|-|b|ab|a

4、|+|b,探究一,探究二,規(guī)范解答,變式訓(xùn)練1已知a0,b0,c0,求證a3+b3+c3 (a2+b2+c2)(a+b+c). 證明：因?yàn)閍2+b22ab,a0,b0,所以(a2+b2)(a+b)2ab(a+b), 即a3+b3+a2b+ab22a2b+2ab2. 所以a3+b3a2b+ab2(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí),等號(hào)成立). 同理可得b3+c3b2c+bc2(當(dāng)且僅當(dāng)b=c時(shí),等號(hào)成立),a3+c3a2c+ac2(當(dāng)且僅當(dāng)a=c時(shí),等號(hào)成立), 將以上三式兩邊分別相加,得2(a3+b3+c3)a2b+ab2+b2c+bc2+a2c+ac2, 所以3(a3+b3+c3)(a3+a2b+a2c)+

5、(b3+ab2+b2c)+(c3+bc2+ac2) =(a+b+c)(a2+b2+c2), 所以a3+b3+c3 (a2+b2+c2)(a+b+c)(當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí),等號(hào)成立,探究一,探究二,規(guī)范解答,利用分析法證明不等式 【例2】 已知函數(shù)f(x)=3x-2x,求證:對(duì)于任意的x1,x2R,均有 分析：用分析法證明,從要證明的不等式出發(fā),將要證明的不等式逐步簡化,直至得出明顯成立的不等式,探究一,探究二,規(guī)范解答,探究一,探究二,規(guī)范解答,反思感悟分析法證明不等式應(yīng)注意的問題 1.分析法證明不等式的依據(jù)是不等式的基本性質(zhì)、已知的重要不等式和邏輯推理的基本理論. 2.分析法證明不等式的思

6、維是從要證不等式出發(fā),逐步尋求使它成立的充分條件,最后得到的充分條件是已知(或已證)的不等式. 3.用分析法證明數(shù)學(xué)命題時(shí),一定要恰當(dāng)?shù)赜煤梅赐品?hào)“”或“要證”“只需證”“即證”等詞語,探究一,探究二,規(guī)范解答,探究一,探究二,規(guī)范解答,利用綜合法與分析法證明不等式 典例已知函數(shù)f(x)=ln(x+2),a,b,c是兩兩不相等的正實(shí)數(shù),且a,b,c成等比數(shù)列,試判斷f(a)+f(c)與2f(b)的大小關(guān)系,并證明你的結(jié)論. 【審題策略】可先利用基本不等式得到a,b,c中間的不等關(guān)系,然后再借助對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性得到結(jié)論,探究一,探究二,規(guī)范解答,規(guī)范展示】f(a)+f(c)2f(b). 證明:

7、因?yàn)閍,b,c是兩兩不相等的正實(shí)數(shù), 所以由基本不等式可得a+c2 . 又a,b,c成等比數(shù)列,所以b2=ac. 于是a+c2 =2b. 而f(a)+f(c)=ln(a+2)(c+2)=ln ac+2(a+c)+4, 2f(b)=2ln(b+2)=ln(b2+4b+4), 因?yàn)閍c+2(a+c)+4=b2+2(a+c)+4b2+4b+4, 且函數(shù)f(x)=ln(x+2)是單調(diào)遞增函數(shù), 所以ln ac+2(a+c)+4ln(b2+4b+4), 故f(a)+f(c)2f(b,探究一,探究二,規(guī)范解答,答題模板】 第1步:給出結(jié)論 第2步:利用基本不等式和已知條件得到a,b,c之間的不等關(guān)系 第3

8、步:代入求得函數(shù)值 第4步:根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性得到結(jié)論,探究一,探究二,規(guī)范解答,失誤警示通過閱卷統(tǒng)計(jì)分析,造成失分的主要原因是: (1)解答的開始沒有給出結(jié)論,一開始就進(jìn)行證明.對(duì)于這類問題,應(yīng)該先回答問題的結(jié)論,然后再進(jìn)行證明; (2)忽視了基本不等式等號(hào)成立的條件而直接得到a+c2 ; (3)對(duì)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)不熟練導(dǎo)致變形出現(xiàn)錯(cuò)誤,從而無法繼續(xù)證明; (4)不能從函數(shù)的單調(diào)性出發(fā)聯(lián)系要證明的結(jié)論,導(dǎo)致證明無法繼續(xù),探究一,探究二,規(guī)范解答,變式訓(xùn)練已知a,b是兩個(gè)不相等的正實(shí)數(shù),且a+b=2,求證 證明：因?yàn)閍,b都是正實(shí)數(shù),所以原不等式等價(jià)于a2(b+1)+b2(a+1)(a+1)(b+1). 展開得a2b+a2+b2a+b2ab+a+b+1, 即a2+b2+ab(a+b)ab+a+b+1. 將a+b=2代入式,只需證a2+b2+2abab+3, 即(a+b)2ab+3. 將a+b=2代入式,整理,得ab2 可得ab1成立, 故原不等式成立,1 2 3 4,A.分析法 B.綜合法 C.綜合法、分析法綜合使用 D.間接證明法 解析：證明過程是由左到右,順推證明,是綜合法. 答案：B,1 2 3 4,2.用分析法證明不等式時(shí)的推理過程一定是() A.正向、逆向均可進(jìn)行正確的推理 B.只需能進(jìn)行逆向推理 C.只需能進(jìn)行正向推理 D.有時(shí)能