固體物理電子教案：1.5晶體的對稱性

1、第五節(jié) 晶體的對稱性,本節(jié)主要內(nèi)容,1.5.1 對稱性與對稱操作,1.5.2 晶系和布拉維原胞,1.5.1 對稱性與對稱操作,對稱操作所依賴的幾何要素,1.對稱操作與線性變換,經(jīng)過某一對稱操作，把晶體中任一點 變?yōu)?可以用線性變換來表示,1.5 晶體的對稱性,對稱性,經(jīng)過某種動作后，晶體能夠自身重合的特性,對稱操作,使晶體自身重合的動作,對稱素,操作前后，兩點間的距離保持不變,O點和X點間距與O點和 點間距相等,I為單位矩陣，即,或者說A為正交矩陣，其矩陣行列式,2.簡單對稱操作(旋轉(zhuǎn)對稱、中心反映、鏡象、旋轉(zhuǎn)反演對稱,1)旋轉(zhuǎn)對稱(Cn,對稱素為線,若晶體繞某一固定軸轉(zhuǎn) 以后自身重合，則此軸

2、稱為n次(度)旋轉(zhuǎn)對稱軸,下面我們計算與轉(zhuǎn)動對應(yīng)的變換矩陣,當OX繞Ox1轉(zhuǎn)動角度時，圖中,若OX在Ox2x3平面上投影的長度為R，則,晶體中允許有幾度旋轉(zhuǎn)對稱軸呢,設(shè)B1ABA1是晶體中某一晶面上的一個晶列，AB為這一晶列上相鄰的兩個格點,若晶體繞通過格點A并垂直于紙面的u軸順時針轉(zhuǎn)角后能自身重合，則由于晶體的周期性，通過格點B也有一轉(zhuǎn)軸u,是 的整數(shù)倍,相反若逆時針轉(zhuǎn) 角后能自身重合，則,是 的整數(shù)倍,晶體中允許的旋轉(zhuǎn)對稱軸只能是1，2，3，4，6度軸,綜合上述證明得,正五邊形沿豎直軸每旋轉(zhuǎn)720恢復(fù)原狀，但它不能重復(fù)排列充滿一個平面而不出現(xiàn)空隙。因此晶體的旋轉(zhuǎn)對稱軸中不存在五次軸，只有1

3、，2，3，4，6度旋轉(zhuǎn)對稱軸,2)中心反映(i，對稱素為點,取中心為原點，經(jīng)過中心反映后，圖形中任一點,變?yōu)?3)鏡象(m，對稱素為面,如以x3=0面作為對稱面，鏡象是將圖形的任何一點,變?yōu)?4)旋轉(zhuǎn)-反演對稱,若晶體繞某一固定軸轉(zhuǎn) 以后，再經(jīng)過中心反演,晶體自身重合，則此軸稱為n次(度)旋轉(zhuǎn)-反演對稱軸,旋轉(zhuǎn)-反演對稱軸只能有1，2，3，4，6度軸,旋轉(zhuǎn)-反演對稱軸用 表示,旋轉(zhuǎn)-反演對稱軸并不都是獨立的基本對稱素。如,正四面體既無四度軸也無對稱心,1，2，3，4，6 度旋轉(zhuǎn)對稱操作,1，2，3，4，6度旋轉(zhuǎn)反演對稱操作,3)中心反映：i,4)鏡象反映：m,C1，C2，C3，C4，C6 （用

4、熊夫利符號表示,S1，S2，S3，S4，S6（用熊夫利符號表示,點對稱操作,2)旋轉(zhuǎn)反演對稱操作,1)旋轉(zhuǎn)對稱操作,獨立的對稱操作有8種,即1，2，3，4，6，i，m， 。 或C1，C2，C3，C4，C6 ，Ci，Cs，S4,立方體對稱性,1)立方軸C4,3個立方軸,4個3度軸,2)體對角線C3,3)面對角線C2,6個2度軸,與4度軸正交的對稱面,與2度軸正交的對稱面,所有點對稱操作都可由這8種操作或它們的組合來完成。一個晶體的全部對稱操作構(gòu)成一個群，每個操作都是群的一個元素。對稱性不同的晶體屬于不同的群。由旋轉(zhuǎn)、中心反演、鏡象和旋轉(zhuǎn)-反演點對稱操作構(gòu)成的群，稱作點群,理論證明，所有晶體只有3

5、2種點群，即只有32種不同的點對稱操作類型。這種對稱性在宏觀上表現(xiàn)為晶體外形的對稱及物理性質(zhì)在不同方向上的對稱性。所以又稱宏觀對稱性,如果考慮平移，還有兩種情況，即螺旋軸和滑移反映面,5）n度螺旋軸：若繞軸旋轉(zhuǎn)2/n角以后，再沿軸方向平移l(T/n)，晶體能自身重合，則稱此軸為n度螺旋軸。其中T是軸方向的周期， l是小于n的整數(shù)。 n只能取1、2、3、4、6,6）滑移反映面：若經(jīng)過某面進行鏡象操作后，再沿平行于該面的某個方向平移T/n后，晶體能自身重合，則稱此面為滑移反映面。 T是平行方向的周期， n可取2或4,點對稱操作加上平移操作構(gòu)成空間群。全部晶體構(gòu)有230種空間群，即有230種對稱類型,1.5.2 晶系和布拉維原胞,根據(jù)不同的點對稱性，將晶體分為7大晶系，14種布拉維晶格,7大晶系的特征及布拉維晶格如下所述,1.三斜晶系,2.單斜晶系,3.三角晶系,簡單三斜(1,簡單單斜(2,底心單斜(3,三角(4,4.正交晶系,簡單正交(5)，底心正交(6)體心正交(7)，面心正交(8,5.四角系： (正方晶系,簡單四角(9)，體心四角(10,6.六角晶系,六角(11,7.立方晶系,簡立方(12)，體心立方(13)，面心立方(14,簡單三斜(1,簡單單斜(2,底心單斜(3,1.三斜晶系,2.單斜晶系,3.三角晶系,三角(4,4.正交晶系,簡單正交