函數(shù)的周期性練習(xí)題兼標(biāo)準(zhǔn)答案

1、 函數(shù)周期性分類解析 一定義：若T為非零常數(shù)，對(duì)于定義域內(nèi)的任一x，使恒成立 )x?f(f(x?T)則f(x)叫做周期函數(shù)，T叫做這個(gè)函數(shù)的一個(gè)周期。 二重要結(jié)論 ?xyf?x?faxf?是以1、為周期的周期函數(shù)； ，則aT?2、 若函數(shù)y=f(x)滿足f(x+a)=-f(x)(a0),則f(x)為周期函數(shù)且2a是它的一個(gè)周期。 ?xf是以，則為周期的周期函數(shù)3、 若函數(shù) a?f?fxx?aa?2T1 (a0),則f(x)=為周期函數(shù)且2a是它的一個(gè)周期。 4、 y=f(x)滿足f(x+a)? xf1(a0),則f(x)為周期函數(shù)且2a是它的一個(gè)周5、若函數(shù)y=f(x)滿足f(x+a)= ?

2、xf期。 1?f(x)?xf是以為周期的周期函數(shù)，則6、. ?a)f(x?a2T? 1?f(x)1?f(x)?xf是以為周期的周期函數(shù).，則 7、f(x?a)?aT?4 )x(1?f)x1?f(8f(x)a0),則為周期函數(shù)且4a是它的、 若函數(shù)y=f(x)滿足f(x+a)= (xR， )f(x1?一個(gè)周期。 9、 若函數(shù)y=f(x)的圖像關(guān)于直線x=a,x=b(ba)都對(duì)稱,則f(x)為周期函數(shù)且2（b-a）是它的一個(gè)周期。 ?b,ya,yaB?bx?RA都對(duì)稱，則、10、函數(shù)的圖象關(guān)于兩點(diǎn))y?f(x00?ab2?為周期的周期函數(shù)；函數(shù)是以 )f(x?b?a,yax?RA都對(duì)稱，則函、函數(shù)

3、11的圖象關(guān)于和直線bx?)y?fx(0?ab4?為周期的周期函數(shù)；是以數(shù) )(fx a是它2對(duì)稱，則y=f(x)的圖像關(guān)于直線x=af(x)為周期函數(shù)且若偶函數(shù)12、 的一個(gè)周期。 a是它的一為周期函數(shù)且4對(duì)稱，若奇函數(shù)13、y=f(x)的圖像關(guān)于直線x=a則f(x)個(gè)周期。 14、若函數(shù)y=f(x)滿足f(x)=f(x-a)+f(x+a)(a0),則f(x)為周期函數(shù),6a是它的一個(gè)周期。 1 / 13 T)=0. f(0),TRxf(x+T)=f(x)y=f(x)15、若奇函數(shù)滿足(，則 22 / 13 函數(shù)的周期性練習(xí)題高一 一選擇題（共15小題） 1定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f（x

4、）=f（x），f（x2）=f（x+2）且x x+，則f（log20）（x=2=（ ） （1，0）時(shí)，f2 1 D CBA1 3，2，且當(dāng)，都有設(shè)偶函數(shù)f（x）對(duì)任意xRf（x+3）=x2 D A10 BC10 （時(shí)，f（x）=4x，則f107.5）=（ ） f時(shí)且當(dāng)3設(shè)偶函數(shù)f（x）對(duì)任意xR都有f（x）=x3，2 CD，則f（119.5）=（ ）A10 B10 （x）=4x4若f（x）是R上周期為5的奇函數(shù)，且滿足f（1）=1，f（2）=3，則f（8）f（4）的值為（ ）A1 B1 C2 D2 x+logx）=2，2時(shí)，f（x）是定義在R上周期為4的奇函數(shù)，當(dāng)x（0，5已知f（x2 C2 2

5、 BD5 f（2015）=（ ）A則 6設(shè)f（x）是定義在R上的周期為3的周期函數(shù)，如圖表示該函數(shù)在區(qū)間（ ） （2015）=（2，1上的圖象，則f（2014）+f 02 C1 DA3 B上的偶函數(shù)，并滿足：Rx）是定義在7已知f（ =）（5.5=x，則fx3，f（x）2，當(dāng)2.5 C2.5 D ）A5.5 B5.5 （ x，則）=3+0，1）時(shí)，f（xxx）滿足f（x+2）=f（），當(dāng)x（8奇函數(shù)f（ 2 2 B CD （ ） A）f（log54=3 ）1f（）=0，且周期是4，若+f上的函數(shù)f（x）滿足f（x）（x9定義在R 3 5 C0 D（ ）A5 B2015=5，則f（） ，則=5，

6、若x+2）=f（1）對(duì)于任意實(shí)數(shù)10f（xx滿足條件f（ C DB ）=（f（f5）（ A5 5 ）xf（時(shí)，且0x55=fff11已知定義在R上的函數(shù)（x）滿足（x+5）（x）2 D0 B （）（，則=4xf1003= ） A1 C1 3 / 13 2x=x，時(shí)f（x）是R上最小正周期為2的周期函數(shù)，當(dāng)0x212函數(shù)f（x則函數(shù)y=f（x）的圖象在區(qū)間0，6上與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為（ ） A6 B7 C8 D9 13已知函數(shù)f（x）是定義在（，+）上的奇函數(shù)，若對(duì)于任意的實(shí)數(shù)x0，都有f（x+2）=f（x），且當(dāng)x0，2）時(shí)，f（x）=log（x+1），則f（2014）+f2（2015）+f（2

7、016）的值為（ ）A1 B2 C2 D1 2=|2xx）3）時(shí)，f（上且周期為3的函數(shù)，當(dāng) x0，14已知f（x）是定義在R =在3，4解的個(gè)數(shù)（ ）A4x+1|，則方程 f（x）4B8C9 D10 2，）=xf（x1，1上的解析式是215已知最小正周期為的函數(shù)f（x）在區(qū)間則函數(shù)f（x）在實(shí)數(shù)集R上的圖象與函數(shù)y=g（x）=|logx|的圖象的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)5是（ ）A3 B4 C5 D6 二填空題（共10小題） =，且對(duì)任意的x都有 ），滿足f（1）（16已知定義在R上的函數(shù)fx =，則f（2014）= f（x+3） 17若y=f（x）是定義在R上周期為2的周期函數(shù)，且f（x）是偶函數(shù)，當(dāng)x

8、0，x1，則函數(shù)g（x）=f（x）log|x|的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為 ）1時(shí)，f（x=2 5 =，則x）x）滿足f（f18定義在R上的函數(shù)（ f（2013）的值為 =x）0）對(duì)稱，且滿足f （定義在R上的函數(shù)f （x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（，19 ）（2010+f （2）+f （3）1）=1，f （0）=2，則f （）+f f （f x+），（1 的值為= ）時(shí)，4（0x，）滿足：，當(dāng)x（20定義在R上的函數(shù)f21，則f（2011）= ）f（x=x 21定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f（x+6）=f（x）當(dāng)3x1時(shí)，f（x）=2，當(dāng)1x3時(shí)，）f（x）=x則 （x+2 f（1）+f（2）+f（3）+f（2012）

9、= 22若函數(shù)f（x）是周期為5的奇函數(shù)，且滿足f（1）=1，f（2）=2，則f（8）f（14）= 23設(shè)f（x）是定義在R上的以3為周期的奇函數(shù)，若f（2）1，f（2014） =，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 4 / 13 24設(shè)f（x）是周期為2的奇函數(shù)，當(dāng)0x1時(shí)，f（x）=2x（1x），則 = +2）?（f14）=（f 若25（fx+2） =，則 三解答題（共5小題） 26設(shè)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒有f（x+2）=f（x），2（1）求證：f（x）是周期函數(shù)；（時(shí)，fx）=2xx 當(dāng)x0，2（2）當(dāng)x2，4時(shí)，求f（x）的解析式； （3）計(jì)算：f（0）+f（1）+f（2）+

10、f（2004） x1=3 時(shí)，f（x）27函數(shù)f（x）是以2為周期的偶函數(shù)，且當(dāng)x0，1（1）求f（x）在1，0上的解析式； ）求的值（2 28已知定義域?yàn)镽的函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，且滿足f（x+4）=f（x）， x當(dāng)x0，1時(shí)，f（x）=21 （1）求f（x）在1，0）上的解析式； （2）求f（24）的值 29已知函數(shù)f（x）既是奇函數(shù)又是周期函數(shù)，周期為3，且x0，1時(shí)，f（x）2x+2，求f=x（2014）的值 30定義在R上的奇函數(shù)f（x）有最小正周期2， xx+2（fx）=2 ，x 且當(dāng)（01）時(shí)，（1）求f（x）在1，0）上的解析式； （2）判斷f（x）在（2，1）上的單調(diào)性，并給

11、予證明 5 / 13 函數(shù)的周期性練習(xí)題高一參考答案與試題解析 一選擇題（共15小題） 1【解答】解：定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f（x）=f（x）， 函數(shù)f（x）為奇函數(shù) 又f（x2）=f（x+2） 函數(shù)f（x）為周期為4是周期函數(shù) 又log32log20log16 2224log205 2 ）log ff（log（）=f20）（log204）=f（log=）=f（log22222 x+，）=2 ，0）時(shí)，f（xx又（1 ）=1 故f（log20）=1 f（log故選C 22 =f=故有（fx+6）【解答】解：因?yàn)椋╢x+3）=，2（x）函數(shù)f（x）是以6為周期的函數(shù) =5.5）=f（107

12、.5）=f（617+5.5）（f B 故選= =x）R都有f（x3， 【解答】解：函數(shù)f（）對(duì)任意x ，= f（x+3）則f（x+6）=f（x）， 即函數(shù)f（x）的周期為6， ，= 0.5）=f（0.5）（f（119.5）=f206 ，（又偶函數(shù)fx） ，時(shí)，有f（x）=4x當(dāng)x3，2 =故選：f（119.5）=C=4【解答】解：f（x）是R上周期為5的奇函數(shù)，f（x）=f（x）， f（1）=f（1），可得f（1）=f（1）=1， 因?yàn)閒（2）=f（2），可得f（2）=f（2）=3， f（8）=f（85）=f（3）=f（35）=f（2）=3， f（4）=f（45）=f（1）=1， f（8）f（

13、4）=3（1）=2，故選C； 5【解答】解：f（x）的周期為4，2015=45041， f（2015）=f（1）， 6 / 13 又f（x）是定義在R上的奇函數(shù)， 1log1=22，故選：A =所以f（2015）=f（1）26【解答】解：由圖象知f（1）=1，f（1）=2， f（x）是定義在R上的周期為3的周期函數(shù)， f（2014）+f（2015）=f（1）+f（1）=1+2=3， 故選：A =f【解答】解：，7（x） f（x+4）=f（x），即函數(shù)f（x）的一個(gè)周期為4 f（5.5）=f（1.5+4）=f（1.5） f（x）是定義在R上的偶函數(shù) f（5.5）=f（1.5）=f（1.5）=f（

14、1.5+4）=f（2.5） 當(dāng)2x3，f（x）=x f（2.5）=2.5 f（5.5）=2.5 故選D 8【解答】解：f（x+2）+2=f（x+2）=f（x）， f（x）是以4為周期的奇函數(shù)， 又 ， ， f（log54）=2，故選：A 39【解答】解：在R上的函數(shù)f（x）滿足f（x）+f（x）=0 則：f（x）=f（x） 所以函數(shù)是奇函數(shù) 由于函數(shù)周期是4， 所以f（2015）=f（50441）=f（1）=f（1）=5 故選：B = x+2）【解答】解：f（10 x）=f（f（x+2+2f（x）是以4為周期的函數(shù) f（5）=f（1+4）=f（1）=5 f（f（5）=f（5）=f（5+4）=f

15、（1） =1f又（）= 7 / 13 ）=f（f（5 B 故選f解：11【解答】 ，5）x+5）=f（x（，）=f（xf（x+10） 的周期函數(shù)，）是周期為10（則函數(shù)fx 故選：C， （1000+3）=f（3）=43=1則f（1003）=f2 ，或x=1x=0解得2時(shí)，f（x）=xx=012【解答】解：當(dāng)0x 的周期函數(shù)，上最小正周期為2（x）是R因?yàn)閒 6，0，6）上解的個(gè)數(shù)為故f（x）=0在區(qū)間 7，6上解的個(gè)數(shù)為0f（x）=0在區(qū)間，f又因?yàn)椋?）=f（0）=0，故 B軸的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)為7，故選：）的圖象在區(qū)間0，6上與x即函數(shù)y=f（x ，）=log1=0（2016）=f（0）（x+2

16、=f（x），f（2014）=f13【解答】解：f2 1f（1）=2015（）=f（2015）=f（x）為R上的奇函數(shù)，f A1+0=1故選=0（2015）+f（2016）+ff（2014） 3的函數(shù)，x）是定義在R上且周期為14【解答】解：由題意知，f（2 ，4x+1|）3）時(shí)，f（x=|2x當(dāng)x0， ）與的圖象如下圖：y=在同一坐標(biāo)系中畫出函數(shù)f（x ，10上有個(gè)交點(diǎn)（互不相同）3，4由圖象可知：函數(shù)y=f（x）與在區(qū)間y= 10個(gè)，故選：D4在3，） 所以方程f（x解的個(gè)數(shù)是= 2）的最小正周期為，【解答】解：函數(shù)f（x15 ，（x）=ff（x+2）2x| ）=|logxy=g）（fx=x

17、，（5 作圖如下：8 / 13 函數(shù)f（x）在實(shí)數(shù)集R上的圖象與函數(shù)y=g（x）=|logx|的圖象的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)5為5，故選：C 二填空題（共10小題） =，x+3） 【解答】解：對(duì)任意的x都有f（16 x），=f（f（x+6函數(shù)f（x）為周期函數(shù)，且周期T=6， f（2014）=f（3356+4）=f（4） =5 =f（1+3） 故答案為：5 x1，函數(shù)y=f（=2x）的周期為2， ）017【解答】解：當(dāng)x，1時(shí)，f（xx1，可作出函數(shù)的圖象；圖象關(guān)于）=2y軸對(duì)稱的偶函數(shù)xx1，0時(shí)，f（y=log|x|函數(shù)y=g（x）的零點(diǎn)，即為函數(shù)圖象交點(diǎn)橫坐標(biāo)， 5當(dāng)x5時(shí)，y=log|x|1，此時(shí)

18、函數(shù)圖象無交點(diǎn)， 5如圖： 又兩函數(shù)在x0上有4個(gè)交點(diǎn)，由對(duì)稱性知它們?cè)趚0上也有4個(gè)交點(diǎn)，且它們關(guān)于直線y軸對(duì)稱， 可得函數(shù)g（x）=f（x）log|x|的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為8； 5故答案為8； 9 / 13 18【解答】解：由分段函數(shù)可知，當(dāng)x0時(shí)，f（x）=f（x1）f（x2）， f（x+1）=f（x）f（x1）=f（x1）f（x2）f（x1）， f（x+1）=f（x2）， 即f（x+3）=f（x）， f（x+6）=f（x），即當(dāng)x0時(shí)，函數(shù)的周期是6 f（2013）=f（3356+3）=f（3）=f（0）=log（80）=log=3， 282故答案為：3 x+）f （+x+3f （）=f（=x

19、+）19【解答】解：由f （x）=f （x+）得=f （x）.所以可得f （x）是最小正周期T=3的周期函數(shù)； ）的對(duì)稱點(diǎn)是（xx，y（由f x，）的圖象關(guān)于點(diǎn)（，0）對(duì)稱，知（ （x） f （x），或y=）y即若y=f （x），則必y=f x+），=f （f （x（而已知f （x）=f ）x+），故 x+，得f （x）=f （x），故知今以x代f （x）又是R上的偶函數(shù) 于是有：f （1）=f （1）=1；f （2）=f （23）=f （1）=1；f （3）=f （0+3）=f （0）=2； f （1）+f （2）+f （3）=0，以下每連續(xù)3項(xiàng)之和為0 而2010=3670，于是f （20

20、10）=0； 故答案為0 ，）有 x解：由題意知，定義在R上的函數(shù)f（20【解答】 =f（x=），代入得，則令x=x+2f（x+4） 函數(shù)f（x）是周期函數(shù)且T=4， f（2011）=f（4502+3）=f（3）， 21，f（3）=8即=xxf40當(dāng)x（，）時(shí)，（）f（2011）=8故答案為：8 10 / 13 2， （x+2）f（x）=21【解答】解：當(dāng)3x1時(shí)，f（3）=1，f（2）=0， 當(dāng)1x3時(shí)，f（x）=x， f（1）=1，f（0）=0，f（1）=1，f（2）=2， 又f（x+6）=f（x） 故f（3）=1，f（4）=0，f（5）=1，f（6）=0， 又2012=3356+2， 故

21、f（1）+f（2）+f（3）+f（2 012）=335f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）+f（6）+f（1）+f（2）=335+1+2=338，故答案為：338 22【解答】解：由題意可得，f（8）=f（810）=f（2）=f（2）=2， f（14）=f（1415）=f（1）=f（1）=1， 故有f（8）f（14）=2（1）=1，故答案為1 23【解答】解：解：由f（x）是定義在R上的以3為周期的奇函數(shù)， 則f（x+3）=f（x），f（x）=f（x）， f（2014）=f（36722）=f（2）=f（2）， 又f（2）1， f（2014）1， ，即為0， 即1 ，故答案為：aa+

22、1）0，解得，1 即有（3a2）（24【解答】解：f（x）是周期為2的奇函數(shù)，當(dāng)0x1時(shí)，f（x）=2x（1x）， ，故答案為： ）2= （1 =f（ ）=f（）= （解：由題意可得f=sin 25+2）【解答】 sin）=sin， （6=同理可得f（14）=f（16+2）=log16=4， 2 ，故答案為：4=?f（14）=f （+2）三解答題（共5小題） 26【解答】（1）證明：f（x+2）=f（x）， f（x+4）=f（x+2）=f（x）， f（x）是周期為4的周期函數(shù)； （2）解：當(dāng)x2，0時(shí)，x0，2， 22，x =2xxx）=2（）（x）由已知得f（又f（x）是奇函數(shù)， 2， 2xxf（x）=f（x）2+2x，）=x f（x又當(dāng)x2，4時(shí)，x42，0， 2+2（x4）x4）， （f（x4）=又f（x）是周期為4的周期函數(shù)， 226x+8=x4x）（）（）（fx=fx4=x4+2（）， 11 / 13 26x