實變函數(shù)與泛函分析00

1、lebesgue積分思想簡介,序言,微積分基本定理,若f(x)在a,b上連續(xù)，則,若f (x) 在a,b上連續(xù)，則,微積分發(fā)展的三個階段,創(chuàng)立（17世紀）：newton（力學）leibniz（幾何） (無窮小) 嚴格化（19世紀）: cauchy, riemann, weierstrass (極限理論(-n, -語言)，實數(shù)理論) 外微分形式（20世紀初）：grassmann, poincare, cartan （微積分基本定理如何在高維空間得到體現(xiàn),微積分繼續(xù)發(fā)展的三個方向,外微分形式 (整體微分幾何) （微積分基本定理如何在高維空間得到體現(xiàn)） 復(fù)數(shù)域上的微積分（復(fù)變函數(shù)） 微積分的深化和拓

2、展（實變函數(shù),1.riemann積分回顧,1) riemann積分的定義,積分與分割、介點集的取法無關(guān) 幾何意義（非負函數(shù)）： 函數(shù)圖象下方圖形的面積,其中,2) riemann可積的充要條件,f(x)在a,b上riemann可積,其中,2) riemann可積的充要條件,f(x)在a,b上riemann可積,其中,2) riemann可積的充要條件,f(x)在a,b上riemann可積,注：連續(xù)函數(shù)、只有有限個間斷點的有界函數(shù)和閉區(qū)間上的單調(diào)函數(shù)riemann可積,例：dirichlet函數(shù)不riemann可積,注：d(x)的下方圖形 可看成由0,1中每個 有理點長出的單位線 段組成,上積分

3、,下積分,3)riemann積分的局限性,a.微積分基本定理 定理：若f(x)在 a,b上可微且f (x)在a,b上 riemann 連續(xù),則,注：推薦大家看看龔升寫的 話說微積分， 簡明微積分, 數(shù)學歷史的啟示（數(shù)學教學，2001.1）, 微積分嚴格化后(高等數(shù)學研究,2002,1-3,1881年volterra作出一可微函數(shù)，導(dǎo)函數(shù)有界但不riemann可積,b.積分與極限交換次序（一般要求一致收斂,例：設(shè)rn為0,1中全體有理數(shù)(因為其為可數(shù)集，故可把它排成序列)，作0,1上的函數(shù)列,riemann積分,為使f(x)在a,b上riemann可積， 按riemann積分思想，必須使得 分劃

4、后在多數(shù)小區(qū)間上的振幅 足夠小，這迫使在較多地方振動 的函數(shù)不可積。lebesgue提出， 不從分割定義域入手， 而從分割值域入手,積分與分割、介點集的取法無關(guān),2.lebesgue積分思想簡介,1902年lebesgue在其論文“積分、長度與面積”中提出（參見：lebesgue積分的產(chǎn)生及其影響，數(shù)學進展，2002.1,用 mei 表示 ei 的“長度,lebesgue積分思想,f(x)在 ei上的振幅不會大于,其中 mei 表示 ei 的“長度,即,對此lebesgue自己曾經(jīng)作過一個比喻，他說： 假如我欠人家一筆錢，現(xiàn)在要還，此時按鈔票的面值的大小分類，然后計算每一類的面額總值，再相加，

5、這就是lebesgue積分思想； 如不按面額大小分類，而是按從錢袋取出的先后次序來計算總數(shù)，那就是riemann積分思想 （參見：周性偉，實變函數(shù)教學的點滴體會， 高等理科教學，2000.1,3.lebesgue積分構(gòu)思產(chǎn)生的問題,1) 集合ei 的“長度”如何定義（第三章 測度論）； (2)怎樣的函數(shù)可使 ei 都有“長度”（第四章 可測函數(shù)）； (3)定義lebesgue積分并研究其性質(zhì)（第五章 積分論）； 第一章 集合， 第二章 點集， 第六章 微分與不定積分,4.集合論中的一些例子,1) achilles追龜,問題：時間由時刻組成，每一時刻，甲、乙都在一確定點上由于甲、乙跑完相應(yīng)路程所

6、用時間一樣，故甲、乙所用“時刻數(shù)”一樣，從而跑過的點的“個數(shù)”也一樣,2) hilbert旅館問題,1, 2, 3, 4, 5, 6, a1, a2, a3, a4, a5, a6,問下列情況是否能把新來的人安排下,1 又來了有限個人b1, b2, b3, ，bn,3 每個人帶無限多個親戚（親戚可排個隊,4 又來了0,1個人,2 每個人帶一個親戚b1, b2, b3, , bn,hilbert旅館問題解答,1 b1, b2, b3 , , bn , a1 , a2 , a3 ,1, 2, 3, 4, 5, 6, a1 , a2 , a3 , a4 , a5 , a6 ,4 不能安排進去 （0,

7、1是不可數(shù)集,2 b1, a1 , b2, a2 , b3, a3 ,3 a1 , a2 , a3 , a4 , a11, a12, a13, a14, a21, a22, a23, a24, a31, a32, a33, a34,參考文獻,周民強，實變函數(shù)(論)，北京大學出版社，1995.6(2001) 周性偉，實變函數(shù)，科學出版社，1998.9 胡適耕，實變函數(shù)，高等教育出版社，1999.7 徐森林，實變函數(shù)論，中國科學技術(shù)大學出版社，2002 鄭維行等，實變函數(shù)論與泛函分析概要，高等教育出版社,1987 夏道行等，實變函數(shù)論與泛函分析，高等教育出版社，1983.2 halmos，測度論(measure theory) rudin , 實分析與復(fù)分析(