解三角形題中的邊與的轉(zhuǎn)化策略

1、解三角形題中的邊與角的轉(zhuǎn)化策略舒云水解答一些解三角形的題目，常常需要運(yùn)用正弦定理、余弦定理及 三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)，將已知條件中的邊的關(guān)系轉(zhuǎn)化為角的三角 函數(shù)關(guān)系式或?qū)⒔堑娜呛瘮?shù)關(guān)系式轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系式， 下面談?wù)劷?三角形題中的邊與角轉(zhuǎn)化的常見策略.將角的正(余)弦關(guān)系式轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系式例1在/ ABC中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c,已知 sin A + si n C = si n B , b=1 , ac= 求 a, c 的值44分析：運(yùn)用正弦定理將三個(gè)角的正弦關(guān)系“sin A+sinC=sinB ”4轉(zhuǎn)化為三條邊的關(guān)系“ a+c = 5b ”，聯(lián)立“ a+c = 5 ”與“a

2、c”，解4方程組即可求出a、c 解：由題設(shè)并利用正弦定理，得5,a +c =-a =1*14，解得cJ，或ac = -44點(diǎn)撥：運(yùn)用正弦定理將角關(guān)系1a = 4 -片1“ sin A+sinC = 5 sin B4轉(zhuǎn)化為邊關(guān)系“ a+c=b ”是解本題的關(guān)鍵.4c分別為內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊，且例 2 在 ABC 中，a、b、2asinA=(2b+c)sin B+(2c+b)sinC .求 A 的大小分析：本題已知條件“ 2asinA=(2b+c)sinB+(2c + b)sinC ”是一個(gè)邊角混合等式，對(duì)于這種等式，一般有兩種轉(zhuǎn)化思路可考慮：一是將邊 轉(zhuǎn)化為角；二是將角轉(zhuǎn)化為邊.本題若將邊轉(zhuǎn)化

3、為角， 即將已知等式 轉(zhuǎn)化為“ 2si n2A = (2s in B+s in C)s in B + (2si nC+s in B)si nC ”，再化簡(jiǎn)求 A比較困難.而將角化成邊“ 2a2 =(2b+c)b + (2c + b)c ”，化簡(jiǎn)得：a2 =b2 +C2 +bc，再利用余弦定理很容易求出A -解：由已知，根據(jù)正弦定理得2&2 = (2b +c)b +(2c +b)c ,即 a2 = b2 + c2 +bc .由余弦定理得：a2 =b2 +c2 -2bccosA -1 故 cosA =-一，A=120 02點(diǎn)撥：運(yùn)用正弦定理，將已知的邊角混合關(guān)系式轉(zhuǎn)化為只含邊的關(guān)系式是解決本題的切

4、入點(diǎn)、突破口.二、將邊的關(guān)系式轉(zhuǎn)化為角的三角函數(shù)關(guān)系式解答有關(guān)解三角形的問題，有時(shí)需要運(yùn)用正(余)弦定理，將已知條件中邊的關(guān)系轉(zhuǎn)化為角的三角函數(shù)關(guān)系式例3設(shè) ABC的內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為a、b、c，且acosB -bcos A.求 tanA 的值.5tan B分析：根據(jù)本題要求的結(jié)論 丑，本題應(yīng)將已知條件的邊角混tan B3合關(guān)系式“ acosB-bcosA= c ”中的邊a、b、c轉(zhuǎn)化為 sin A、sin B、5sin C,再根據(jù)sin C =s in (A + B)，進(jìn)一步化簡(jiǎn)即可求出-tan B3解：根據(jù)acosB -bcosA =-C以及正弦定理，可得533 丄sin Ac

5、osB -sin B cos A =-sin c = -sin( A + B),5533丄3sin AcosB -si n B cos A =si n c = sin AcosB 十一 cos Asi n B -555因此，有 2si lAcoB =8coAsi rB ,55tan A=4 -tan B點(diǎn)撥：運(yùn)用正弦定理將已知的邊角混合關(guān)系式轉(zhuǎn)化為只含角的關(guān)系式是解決本題的關(guān)鍵.例4設(shè) ABC的內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為a、b、c，且acosB =3 , bsin A = 4 .求邊長(zhǎng) a -分析：本題是一道求邊長(zhǎng)的題目，先將兩個(gè)已知等式“ bsin A = 4 ”和“ acosB=3”整

6、合，即將兩個(gè)等式左、右兩邊分別相除，再用正弦定理將a轉(zhuǎn)化為鸞，化簡(jiǎn)求出tanB，再進(jìn)一步求出cosB、a -解：將 acosB=3、bsi nA =4兩式相除，有4 bsin A sin Bsi nA_-=ta n B ,3 a cosB si nA cosB又通過 acosB =3知: cosB A0 ,則 cosB=5，a=5 .點(diǎn)撥：解本題有兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)：1.將兩個(gè)已知條件等式整合，相除;2運(yùn)用正弦定理將-轉(zhuǎn)化 聲a sin A前面分別談了將角轉(zhuǎn)化為邊與將邊轉(zhuǎn)化為角兩種思路.事實(shí)上,一些題目用兩種轉(zhuǎn)化方法都可以求解，有時(shí)還要綜合運(yùn)用上面兩種轉(zhuǎn)化方法，下面舉一例說明.例5在 ABC中，內(nèi)角A

7、、B、C的對(duì)邊分別為cosA2cosC 2c-a- sinC 砧居L，求的值.bsin A將邊轉(zhuǎn)化為角.運(yùn)用正弦定理將轉(zhuǎn)化為ba、b、c,已知cosB思路12sin C -sin A sin B 解法1:在 ABC，由cosA-ZcosC =2c-a及正弦定理可得cosBbcos A-2cos C _ 2sin C si nA-sin B ，cosB系式：3sin AcosA =sinCcosB+sin BcosC =sin(B+C)，再根據(jù)三角形內(nèi)角貝J cosAsin B +sin AcosB =2sinCcosB +2cosCsin B ,sin(A+B)=2sin(C+B)，而 A+B

8、+C=;i ,貝 J si nC =2si nA ，即 sin C =2 . sin A思路2:將角轉(zhuǎn)化為邊.直接運(yùn)用余弦定理將cosA、cosB、cosC轉(zhuǎn)化為邊，得到邊的關(guān)系式c=2a，再運(yùn)用正弦定理將邊的關(guān)系轉(zhuǎn)化 為角的關(guān)系，即可求出 泄的值.sin AcosA-2cosC 2c-ar/i=t可得解法2：在ABC，由cosBbcos2bcoC =2ccoBacos3 .由余弦定理可得2 2 2 2 2 2 2,2 .2 b + c -a a +b -c a +c -ba2 + c2 -b22c2c整理可得C =2a，由正弦定理可得 啞 = = 2 .sin A a三、三角形三個(gè)內(nèi)角之間的

9、轉(zhuǎn)化根據(jù)三角形內(nèi)角和定理及已知條件， 用已知角來(lái)表示待求角，也是解三角形問題中常用的轉(zhuǎn)化策略.例6在人ABC中，A、B、C的對(duì)邊分別是c,已知3a cos A =ccosB + bcosC(1)求cos A的值;若 cosB+cosC =23，求 sin C 的值.3分析：題目所給已知條件關(guān)系式是邊、角混合式，（1）小題若運(yùn)用余弦定理化角為邊，求解較難.適宜運(yùn)用正弦定理化邊為角，得到關(guān)和定理sin (B+C)將轉(zhuǎn)化為sin A,便可容易求出cos A . ( 1)小題已求出cos A, A為已知角，C為待求角，關(guān)鍵是要運(yùn)用三角形內(nèi)角和定理將B 轉(zhuǎn)化為(兀-A-C), 化簡(jiǎn) c o sAC) +

10、 c CcosC +72sinC = J，再根據(jù)平方關(guān)系 sin2C+ cos2C=1，便可求出 sinC .解：(1)由3acosA = ccosB +bcosC及正弦定理得3sin AcosA =sin C cosB +sin B cosC =sin( B + C)3si n A cos A = si nA， 所以 cos A =1 .3Q f O由 cosB +cosC = Y 得3cos(兀- A -C) +cosC 二2，展開易得3cosC + J2sinC =.又sin2 C + cos2 C =1 ,所以(73-J2sinC)2 +sin2C =1 .化簡(jiǎn)整理得(/3si C - J2)2 = 0 ,V3sinC-血=0 ,sine 衛(wèi)3點(diǎn)撥：注意角之間的轉(zhuǎn)化，將sin(B+C)轉(zhuǎn)化為sin A , cosB轉(zhuǎn)化為cos(兀-A -C)是成功解答本題的關(guān)鍵.a、b、c .