九年級數(shù)學(xué)下冊 26 二次函數(shù)小結(jié)與復(fù)習(xí) 華東師大版

1、第26章 二次函數(shù),學(xué)練優(yōu)九年級數(shù)學(xué)下（HS） 教學(xué)課件,小結(jié)與復(fù)習(xí),要點(diǎn)梳理,考點(diǎn)講練,課堂小結(jié),課后作業(yè),要點(diǎn)梳理,1.二次函數(shù)的概念,一般地，形如 (a，b，c是常數(shù)， )的函數(shù)，叫做二次函數(shù),yax2bxc,a,注意 (1)等號右邊必須是整式；(2)自變量的最高次數(shù)是2；(3)當(dāng)b0，c0時，yax2是特殊的二次函數(shù),2.二次函數(shù)的圖象,二次函數(shù)的圖象是一條 ，它是 對稱圖形，其對稱軸平行于_軸,注意 二次函數(shù)yax2bxc的圖象的形狀、大小、開口方向只與a有關(guān),拋物線,軸,y,3.二次函數(shù)的解析式,y=ax2+bx+c(a0,1)一般式：_,2)頂點(diǎn)式：_,y=a(x-h)2+k (

2、a0,3)交點(diǎn)式：_,y=a(x-x1)(x-x2) (a0,4.二次函數(shù)的平移,一般地，平移二次函數(shù)yax2的圖象可得到二次函數(shù)ya(xh)2k的圖象,yax2,yax2,注意 抓住頂點(diǎn)坐標(biāo)的變化，熟記平移規(guī)律：左加右減，上加下減,5.二次函數(shù)的yax2bxc的圖象與性質(zhì),a0 開口向上,a 0 開口向下,x=h,h , k,y最小=k,y最大=k,在對稱軸左邊， x y ；在對稱軸右邊， x y,在對稱軸左邊， x y ；在對稱軸右邊， x y,y最小,y最大,6.二次函數(shù)與一元二次方程及一元二次不等式的關(guān)系,0,0,0,x=x1 ; x=x2,沒有實(shí)數(shù)根,xx2,x x1的一切實(shí)數(shù),所有

3、實(shí)數(shù),x1xx2,無解,無解,x,考點(diǎn)講練,例1已知拋物線yax2bxc的開口向下，頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2，3)，那么該拋物線有() A最小值3B最大值3 C最小值2 D最大值2,解析 由拋物線的開口向下，可得a0，所以拋物線有最大值，最大值為3.故選B,B,1.拋物線y=(x-2)2+2的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（ ） A.(-2,2) B. (2,-2) C. (2,2) D. (-2,-2) 2.已知二次函數(shù)y=x2-x+c的頂點(diǎn)在x軸上，則c= . 3.二次函數(shù)y=x2+bx+3 的對稱軸是直線x=2 ，則 b=_,C,4,例2 拋物線y=ax2+bx+c (a0)與x軸的公共點(diǎn)是（-1，0）， （3，0）

4、，則這條拋物線的對稱軸為_,解析 拋物線與x軸的兩個交點(diǎn)是一對對稱點(diǎn).其實(shí)只要拋物線上兩點(diǎn)（x1，y0）、(x2，y0)的縱坐標(biāo)相等，這兩點(diǎn)就是一對關(guān)于拋物線對稱軸對稱的對稱點(diǎn).對稱軸計算公式是直線 ,因此這條拋物線的對稱軸是直線,直線x=1,4.已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c中，函數(shù)y與自變量x的部分對應(yīng)值如下表,則拋物線的對稱軸是 ； 當(dāng)y5時，x的取值范圍是 . 在此拋物線上有兩點(diǎn)A(3，y1)，B(4.5，y2)，試比較y1和y2的大小：y1_y2(填“”“”或“”,直線x=2,0 x4,例3已知二次函數(shù)yax2bxc(a0)的圖象如圖所示，則下列結(jié)論錯誤的有(,ac0；b0；abc

5、0； abc0；2ab0. A1個 B2個 C3個 D4個,解析：由拋物線的開口向下，可知a0，由對稱軸在y軸的右側(cè)可知a、b異號，即b0.由拋物線與y軸交于正半軸，可知c0，所以ac0.由對稱軸x=1可知，2a+b=0.當(dāng)x=1時，abc0，當(dāng)x=-1時，abc0，所以錯誤的結(jié)論有，共3個，故選C,C,方法歸納,向上,向下,y,左,右,正,負(fù),二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與a、b、c的關(guān)系,5.二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a0)的圖象如圖所示，給出以下結(jié)論： abc0 ； b2-4ac0. 其中所有正確結(jié)論的序號是（ ） A. B. C. D.,解析：由拋物線的開口向下，可知a0，由

6、對稱軸在y軸的右側(cè)可知a、b異號，即b0.由拋物線與y軸交于正半軸，可知c0，所以abc0.又拋物線與x軸有兩個交點(diǎn)，所以=b2-4ac0；因?qū)ΨQ軸小于x1，可得b+2a0. 故正確答案為A,A,例4在同一直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)yaxb和二次函數(shù)yax2bx的圖象可能為(,解析：由yax2bx可知，拋物線經(jīng)過原點(diǎn)，故可排除B、C選項.又yaxb經(jīng)過一三象限時，a0，此時拋物線yax2bx的開口向上，故選A,A,方法歸納,此類問題通常從比較簡單的圖象（直線或雙曲線）出發(fā)，獲得與拋物線有關(guān)的字母的取值情況，然后由字母的取值情況來判斷拋物線的大致位置.如果一致則有可能共存于統(tǒng)一坐標(biāo)系中，如不一致，則

7、說明不可能共存于統(tǒng)一坐標(biāo)系中,6.函數(shù) 與 ,（k0）在同一坐標(biāo)系上的圖象正確的是（,解析：由y=k(x-k)可得y=kx-k2,因k20，即一次函數(shù)y=k(x-k)交于y軸的負(fù)半軸，只有答案C符合要求，故選C,C,例5 你能求出圖中拋物線的解析式嗎,解析 圖象中提供了我們解題的很多信息，如可知道拋物線與x軸的兩個交點(diǎn)坐標(biāo)是 （-1，0）和（3，0），還可以知道對稱軸是直線x=2及頂點(diǎn)坐標(biāo)是(1,4,你有幾種方法可以求這條拋物線的解析式，你最喜歡哪一種,方法一：設(shè)拋物線的解析式為y=a(x-h)2+k.由圖象可知拋物線的對稱軸為直線x=1，與x軸相交于點(diǎn)（-1,0），（3,0），頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1

8、,4），有y=a(x-1)2+4，代入（-1,0）. a(-1-1)2+4=0，a=-1，拋物線的解析式為y=-(x-1)2+4,解,方法二：設(shè)拋物線的解析式為y=a(x-x1)(x-x2).由圖象可知拋物線與x軸相交于點(diǎn)（-1,0），（3,0），頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1,4），有y=a(x+1)(x-3)，代入（1,4）.4=a(1+1)(1-3)， a=-1，拋物線的解析式為y=-(x+1)(x-3,方法歸納,知道頂點(diǎn)坐標(biāo)，通常設(shè)頂點(diǎn)式y(tǒng)=a(x-h)2+k;知道拋物線與x軸的兩個交點(diǎn)坐標(biāo)，通常設(shè)交點(diǎn)式y(tǒng)=a(x-x1)(x-x2);知道拋物線上的三點(diǎn)坐標(biāo)，可選用一般式y(tǒng)=ax2+bx+c,三種情況

9、都可以時選用最熟悉的方法,7.已知二次函數(shù)當(dāng)x=1時，有最大值6，且其圖象過點(diǎn)(2，8)，則二次函數(shù)的解析式是,y=-2(x-1)2-6,解：設(shè)拋物線的解析式為y=a(x-x1)(x-x2).由圖象可知拋物線與x軸相交于點(diǎn)（-6,0），（2,0），與y軸的交點(diǎn)為（0,3），有y=a(x+1)(x-3)，代入（0,3）.3=a(0+6)(0-2)，a=-0.25，拋物線的解析式為y=-0.25(x+6)(x-2,例6 結(jié)合二次函數(shù)y=ax2+bx+c圖象，解答下列問題： 寫出方程ax2+bx+c=0的根； 寫出不等式ax2+bx+c0的解集； 寫出y隨x的增大而減小的自變量x的取值范圍； 若方程

10、ax2+bx+c=k有兩個不相等的實(shí)數(shù)根， 求k的取值范圍,解析：本題結(jié)合圖象從中發(fā)現(xiàn)信息進(jìn)行解題,解：（1）由圖象可知，函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸相交于（-1,0），（3,0）兩點(diǎn).方程的根為x1=-1，x2=3,2）由圖象可知當(dāng)-1x3時，函數(shù)的圖象位于x軸的上方，所以不等式的解集為-1x3,3）由圖象可知，在x軸的右側(cè)，y隨著x的增大而減小，y隨著x的增大而減小的x的取值范圍為x1,4)要使得有ax2+bx+c=k兩個不相等的實(shí)數(shù)根，即直線x=k與二次函數(shù)圖象有兩個交點(diǎn)，k的取值范圍為k5,方法歸納,根據(jù)二次函數(shù)的圖象求一元二次方程的近似解或不等式的解集，要注意觀察圖象與x軸的

11、交點(diǎn).一元二次方程的根就是函數(shù)圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的值；不等式的解集就是當(dāng)函數(shù)值大于0或小于0時自變量的取值范圍,9.已知拋物線y=ax2+bx+c的圖象如圖所示，則關(guān)于x的方程 ax2+bx+c-8=0的根的情況是（ ） A.有兩個不相等的正實(shí)數(shù)根 B.有兩個異號實(shí)數(shù)根 C.有兩個相等的實(shí)數(shù)根 D.沒有實(shí)數(shù)根,C,解析：y=ax2+bx+c-8相當(dāng)于將y=ax2+bx+c向下平移8個單位，此時y=ax2+bx+c-8與x軸只有一個交點(diǎn)，即ax2+bx+c-8=0有兩個相等的實(shí)數(shù)根.故選C,x11，x23,1x3,k4,10.二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a0)的圖象如圖所示，根據(jù)圖象解答下

12、列問題： (1)方程ax2+bx+c0的兩個根是_ (2)不等式ax2+bx+c0的解集是_ (3)若方程ax2+bx+ck沒有實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是_,例7某商場試銷一種成本為每件60元的服裝，規(guī)定試銷期間銷售單價不低于成本單價，且獲利不得高于45%，經(jīng)試銷發(fā)現(xiàn)，銷售量y(件)與銷售單價x(元)符合一次函數(shù)ykxb，且x65時，y55；x75時，y45. (1)求一次函數(shù)的表達(dá)式； (2)若該商場獲得利潤為W元，試寫出利潤W與銷售單價x之間的關(guān)系式；銷售單價定為多少元時，商場可獲得最大利潤，最大利潤是多少元？ (3)若該商場獲得利潤不低于500元，試確定銷售單價x的范圍,解析 (1)將x6

13、5，y55和x75，y45代入ykxb中解方程組即可 (2)根據(jù)利潤等于每件利潤乘以銷售量得到利潤W與銷售單價x之間的關(guān)系式綜合頂點(diǎn)式和自變量的取值范圍可求得最大利潤 (3)令利潤W500，將二次函數(shù)轉(zhuǎn)化為一元二次不等式，然后求解集并作出判斷,2） W=(x-60)(-x+120)=-x2+180 x-7200=-(x-90)2+900,拋物線的開口向下， 當(dāng)x90時，W隨x的增大而增大，而60 x60（1+45%），即60 x87,當(dāng)x=87時，W有最大值，此時W=-(87-90)2+900=891,3）由W500，得500-x2+180 x-7200.解得 70 x110. 60 x87，

14、故銷售單價的范圍為70 x87,方法歸納,求解與二次函數(shù)有關(guān)的最優(yōu)化問題時，關(guān)鍵是要通過分析題意，運(yùn)用二次函數(shù)及其性質(zhì)建立數(shù)學(xué)模型，然后再利用配方法或公式法求得最大值.一定要注意：頂點(diǎn)橫坐標(biāo)在自變量的取值范圍內(nèi)時，二次函數(shù)在頂點(diǎn)處取得最值；定點(diǎn)橫坐標(biāo)不在自變量取值范圍時，要根據(jù)題目條件，具體分析，才能求出符合題意的最值,11.一家電腦公司推出一款新型電腦，投放市場以來3個月的利潤情況如圖所示，該圖可以近似看作為拋物線的一部分，請結(jié)合圖象，解答以下問題,1)求該拋物線對應(yīng)的二次函數(shù)解析式；(2)該公司在經(jīng)營此款電腦過程中，第幾月的利潤最大？最大利潤是多少？ (3)若照此經(jīng)營下去，請你結(jié)合所學(xué)的知

15、識，對公司在此款電腦的經(jīng)營狀況(是否虧損？何時虧損？)作預(yù)測分析,2) y=-x2+14x=-(x-7)2+49.即當(dāng)x=7時，利潤最大，y=49(萬元,3) 沒有利潤，即y=-x2+14x=0.解得x1=0(舍去）或x2=14,而這時利潤為滑坡狀態(tài)，所以第15個月，公司虧損,例8如圖，梯形ABCD中，ABDC，ABC90，A45，AB30，BCx，其中15x30.作DEAB于點(diǎn)E，將ADE沿直線DE折疊，點(diǎn)A落在F處，DF交BC于點(diǎn)G. (1)用含有x的代數(shù)式表示BF的長； (2)設(shè)四邊形DEBG的面積為S，求S與x的函數(shù)關(guān)系式； (3)當(dāng)x為何值時，S有最大值？并求出這個最大值,解析 (1

16、)由ABC90，A45，可知AEDEx，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)得到EFAEx，所以可求BF的長 (2)利用梯形的面積公式就可以確定S與x的函數(shù)關(guān)系式 (3)將二次函數(shù)化為頂點(diǎn)式，然后確定最值,解：（1）由題意，得EF=AE=DE=BC=x,AB=30. BF=2x-30,2）F=A=45，CBF-=ABC=90， BGF=F=45，BG=BF=2x-30. 所以SDEF-SGBF= DE2- BF2= x2- (2x-30)2= x2+60 x-450,3）S= x2+60 x-450= (x-20)2+150. a= 0,152030， 當(dāng)x=20時，S有最大值，最大值為150,方法歸納,與面積有

17、關(guān)的二次函數(shù)問題，一般以圖形中某一動線段的長為未知數(shù)，利用三角形、四邊形的有關(guān)性質(zhì)以及圖形之間的相互關(guān)系，可以構(gòu)建圖形面積和相關(guān)線段長或線段長與線段長之間的二次函數(shù)關(guān)系.處理這類問題，關(guān)鍵是根據(jù)題意和幾何圖形的特點(diǎn)求出其面積的二次函數(shù)表達(dá)式，再通過配方成頂點(diǎn)式或利用最值公式求解,解：（1）由題意，得羊圈的長為25m,寬為(40-25)2=7.5(m). 故羊圈的面積為257.5=187.5(m2,2）設(shè)羊圈與墻垂直的一邊為xm,則與墻相對的一邊長為(40-2x)m,羊圈的面積S=x(40-2x)=-2x2+40 x=-2(x-10)2+200,(0 x20). 因為01020，所以當(dāng)x=10時

18、，S有最大值，此時S=200. 故張大伯的設(shè)計不合理.羊圈與墻垂直的兩邊長為10m,而與墻相對的一邊長為(40-2x)m=20m,例9 如圖，四邊形ABCD為菱形，點(diǎn)D的坐標(biāo)是 ，以點(diǎn)C為定點(diǎn)的拋物線y=ax2+bx+c 恰好經(jīng)過x軸上A、B兩點(diǎn),1)求A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)； (2)求經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)的拋物線解析式,解析 利用菱形的四條邊相等及對邊平行結(jié)合直角坐標(biāo)系可求出A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)三點(diǎn)的坐標(biāo)可以通過設(shè)一般式y(tǒng)=ax2+bx+c來求拋物線的解析式，因為點(diǎn)C是拋物線的頂點(diǎn)，所以也可以通過設(shè)頂點(diǎn)式y(tǒng)a(xh)2k來求拋物線的解析式,解：（1）過點(diǎn)C作CMx軸，垂足為M,M,由拋物線的對稱性可知，AM=BM,在RtAOD和RtBMC中， OD=MC，AD=BC， RtAODRtBMC. OA=MB=MA,設(shè)菱形的邊長為2m,在RtAOD 中，有 解得 m=1,DC=2，OA=