2021中考數(shù)學第一輪復習第4章 三角形

1、第一節(jié)角、相交線、平行線,目錄（安徽中考,考點,考點1 直線與線段 考點2 角的相關概念及性質(zhì) 考點3 相交線 考點4 平行線 考點5 命題,方法,命題角度1 平行線的判定 命題角度2 利用平行線的性質(zhì)求角度 命題角度3 命題,考點,考點1,直線與線段,1.點、線、面 (1)點動成,線動成 ,面動成. (2)幾何體中面與面相交形成線,線與線相交形成點. 2.直線、線段、射線 (1)直線、線段、射線,線,體,面,考點1,直線與線段,2)兩個基本事實 直線的基本事實:經(jīng)過兩點一條直線. 線段的基本事實:兩點之間,最短. (3)線段的中點及性質(zhì) 定義 把線段分成相等的兩條線段的點,叫做線段的中點,如

2、圖,若AC=CB,則點C是線段AB的中點. 常用結(jié)論 如上圖,AC=BC,AC= AB或BC= AB,AB=2AC或AB=2BC. (4)線段的和差運算 如圖,點B是線段AC上一點,則有AB=AC-BC,BC=AC-AB,AC=AB+BC,有且只有,線段,考點2,角的相關概念及性質(zhì),1.角的概念有公共端點的兩條射線組成的圖形叫做角.這個公共端點稱為角的頂點,這兩條射線是角的兩邊. 2.角的表示 角有以下幾種表示形式,考點2,角的相關概念及性質(zhì),用角的頂點字母表示角,只適用于頂點處只有一個角的情況,如圖所示的AOB不能表示成O,溫馨提示,考點2,角的相關概念及性質(zhì),3.角的分類,考點2,角的相關

3、概念及性質(zhì),4.度、分、秒的換算1周角=360,1平角=180,1=,1=,度、分、秒之間是進制.5.余角與補角,60,60,60,考點2,角的相關概念及性質(zhì),6.角平分線的概念及其定理(1)概念 在角的內(nèi)部,從角的頂點引出的一條射線,把這個角分成兩個相等的角,這條射線叫做這個角的平分線.如圖,OC是從AOB的頂點O引出的一條射線,AOB被OC分成兩個角,若AOC=BOC,則OC叫做AOB的平分線. (2)常用結(jié)論 AOC=BOC= AOB,AOB=2AOC=2BOC,考點2,角的相關概念及性質(zhì),3)定理,考點3,相交線,2.對頂角 (1)對頂角:1與3,2與4,5與7,6與8. (2)性質(zhì):

4、對頂角相等. 3.鄰補角 (1)鄰補角:1與2,2與3,3與4,4與1等. (2)性質(zhì):互為鄰補角的兩個角的和為180,1.三線八角,考點3,相交線,4.垂線及其性質(zhì)(1)垂線 如圖,在兩條直線AB和CD相交所成的四個角中,如果有一個角 是90,我們就說這兩條直線互相垂直,記作“ABCD”.其中一 條直線叫做另一條直線的,它們的交點O叫做 . (2)垂線段 過直線外一點作已知直線的垂線,該點與垂足之間的線段叫做點到直線的垂線段. (3)點到直線的距離 直線外一點到這條直線的垂線段的長度叫做點到直線的距離,垂線,垂足,考點3,相交線,4.垂線及其性質(zhì)(4)垂線的基本性質(zhì) 在同一平面內(nèi),過一點有且

5、只有一條直線與已知直線垂直; 連接直線外一點與直線上各點的所有線段中, 最短. (5)線段垂直平分線的性質(zhì)定理及其逆定理 性質(zhì)定理:線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等. 逆定理:到一條線段兩端點距離相等的點在這條線段的垂直平分線上,垂線段,考點4,平行線,1.相關概念,垂線段,考點4,平行線,2.平行線的判定和性質(zhì),在同一平面內(nèi),垂直于同一條直線的兩條直線平行,溫馨提示,考點5,命題,1.定義,對某一事件作出正確或不正確判斷的語句叫做命題. 命題由條件和結(jié)論兩部分組成,舉反例是判定一個命題為假命題的常用方法. 在同一平面內(nèi),垂直于同一條直線的兩條直線平行,命題,成立,不一定成立,考點5

6、,命題,2.互逆命題,如果一個命題的條件和結(jié)論分別是另一個命題的結(jié)論和條件,那么這兩個命題稱為互逆命題,其中一個叫做 ,另一個就叫做原命題的,原命題,逆命題,方法,命題角度1,平行線的判定,例1 2020湖南郴州如圖,直線a,b被直線c,d所截.下列條件能判定ab的是() A.1=3B.2+4=180 C.4=5D.1=2 【思路分析】結(jié)合平行線的判定定理進行判斷即可,D,命題角度2,利用平行線的性質(zhì)求角度,例22020湖北鄂州如圖,ab,一塊含45的直角三角板的一個頂點落在其中一條直線上.若1=65,則2的度數(shù)為() A.25B.35C.55D.65 【思路分析】本題無法直接得到2與1的關系

7、,需要先過直角頂點作直線a,b的平行線,使1和2建立聯(lián)系,再進行解答,A,提分技法,在平行線中求角度,利用平行線的性質(zhì)求角的度數(shù),先觀察要求的角與已知角的位置關系,再選擇合適的角進行等量代換,因此需要熟練掌握平行線的性質(zhì):兩直線平行,同位角相等;兩直線平行,內(nèi)錯角相等;兩直線平行,同旁內(nèi)角互補.另外在解題過程中,要注意平角、直角、三角形內(nèi)角和定理及其推論等知識的綜合運用,命題角度3,命題,例32020合肥瑤海區(qū)二模命題“如果|a|=|b|,那么a=b”的逆命題是命題(填“真”或“假”). 【思路分析】一個命題的條件和結(jié)論互換后即可得到原命題的逆命題,真,第二節(jié)三角形及其性質(zhì)(含特殊三角形,目錄

8、（安徽中考,考點,考點1 三角形的性質(zhì) 考點2 三角形中的重要線段 考點3 特殊三角形的性質(zhì)與判定,方法,命題角度1 三角形的三邊關系 命題角度2 三角形內(nèi)角和定理及其推論 命題角度3 三角形中的重要線段 命題角度4 等腰三角形 命題角度5 直角三角形,考點,考點1,三角形的性質(zhì),1.概念 由不在同一條直線上的三條線段首尾順次相接所組成的封閉圖形叫做 .三角形具有穩(wěn)定性. 2.分類,三角形,考點1,三角形的性質(zhì),3.三邊關系三角形中任何兩邊的和第三邊,任何兩邊的差第三邊. 4.內(nèi)角和定理 三角形的內(nèi)角和等于. 5.內(nèi)角和定理的推論 推論1:直角三角形的兩銳角. 推論2:有兩個角的三角形是直角三

9、角形. 推論3:三角形的外角與它不相鄰的兩個內(nèi)角的. 如圖,有ACD=A+B. 推論4:三角形的外角與它不相鄰的任何一個內(nèi)角.如圖,有ACDA,ACDB,大于,大于,和,等于,互余,互余,80,小于,考點2,三角形中的重要線段,考點2,三角形中的重要線段,考點3,特殊三角形的性質(zhì)與判定,1.等腰三角形和等邊三角形的性質(zhì)與判定,考點3,特殊三角形的性質(zhì)與判定,2.直角三角形的性質(zhì)與判定,方法,命題角度1,三角形的三邊關系,例1 2020山東濟寧已知三角形的兩邊長分別為3和6,則這個三角形的第三邊長可以是 (寫出一個即可). 【思路分析】根據(jù)三角形任意兩邊之和大于第三邊,任意兩邊之差小于第三邊解答

10、即可,4(答案不唯一,正確即可,命題角度2,三角形內(nèi)角和定理及其推論,例22019浙江紹興如圖,墻上釘著三根木條a,b,c,量得1=70,2=100,那么木條a,b所在直線所夾的銳角是() A.5B.10 C.30D.70,B,思路分析】設木條a,b所在直線交于點P,構(gòu)造一個三角形,由三角形的內(nèi)角和定理可知所夾銳角的度數(shù),命題角度3,三角形中的重要線段,例32019合肥蜀山區(qū)一模如圖,在ABC中,B+C=100,AD平分BAC,交BC于點D,DEAB,交AC于點E,則ADE的大小是() A.30B.40C.50D.60,思路分析】 結(jié)合平行線的性質(zhì)和角平分線的定義進行計算即可,B,命題角度4,

11、等腰三角形,例4 2019黑龍江齊齊哈爾等腰三角形ABC中,BDAC,垂足為點D,且BD= AC,則等腰三角形ABC底角的度數(shù)為 . 【思路分析】分點B是頂角頂點、底角頂點兩種情況進行討論.當點B為底角頂點時,再分BD在ABC外部和ABC內(nèi)部兩種情況進行計算,15,45或75,在解決與等腰三角形的邊、角有關的問題時,如果不知道已知的邊是腰還是底邊或不知道已知的角是頂角還是底角,就需要分類討論. 1.已知等腰三角形的兩邊長分別為a,b(ab),求周長C時,分兩種情況: (1)若腰長為a且2ab,則周長C=2a+b; (2)若腰長為b且2ba,則周長C=2b+a. 2.已知等腰三角形的一個角為,求

12、頂角或底角的度數(shù)時,有三種情況: (1)若為鈍角,則為頂角,底角的度數(shù)為(180-). (2)若為直角,則為頂角,且該三角形為等腰直角三角形,底角為45. (3)若為銳角,則應分兩種情況討論:當為頂角時,底角的度數(shù)為(180-);當為底角時,頂角的度數(shù)為180-2. 特別注意:無論哪種情況,都要注意三角形的三邊必須滿足“任意兩邊之和大于第三邊”,三個角必須滿足“三角形的內(nèi)角和等于180,等腰三角形,命題角度4,提分技法,等腰三角形中的分類討論,命題角度5,直角三角形,D,思路分析】方法一,方法二:過點D作DFBC于點F,第三節(jié)全等三角形,目錄（安徽中考,考點,考點1 全等三角形的定義與性質(zhì) 考

13、點2 全等三角形的判定,方法,命題角度 全等三角形的判定與性質(zhì),考點,考點1,全等三角形的定義與性質(zhì),1.定義:能夠完全重合的兩個三角形叫做全等三角形.把兩個全等三角形重合到一起,重合的頂點叫做對應頂點,重合的邊叫做對應邊,重合的角叫做對應角. 2.性質(zhì) (1)全等三角形的對應邊、對應角. (2)全等三角形的周長、面積. (3)全等三角形對應的高、中線、角平分線分別,相等,相等,相等,相等,相等,考點2,全等三角形的判定,1.全等三角形的判定方法,三條邊,它們的夾邊,斜邊,SAS,考點2,全等三角形的判定,兩邊分別相等且其中一組等邊的對角相等的兩個三角形不一定全等,也就是說“SSA”不是判定三

14、角形全等的方法.例如:如圖,在ABC和ABD中,AB=AB,B=B,AC=AD,但ABC與ABD不全等,溫馨提示,考點2,全等三角形的判定,2.全等三角形的常見模型,考點2,全等三角形的判定,3.證明三角形全等的思路,方法,命題角度,全等三角形的判定與性質(zhì),例1 2020湖北仙桃如圖,已知ABC和ADE都是等腰三角形,BAC=DAE=90, BD,CE交于點F,連接AF.下列結(jié)論:BD=CE;BFCF; AF平分CAD; AFE=45. 其中正確結(jié)論的個數(shù)有() A.1個B.2個C.3個D.4個 【思路分析】過點A分別作BD,CE的垂線,垂足分別為點M,N,C,命題角度,全等三角形的判定與性質(zhì)

15、,例2 2020浙江臺州如圖,已知AB=AC,AD=AE,BD和CE相交于點O. (1)求證:ABDACE; (2)判斷BOC的形狀,并說明理由. 【思路分析】(1)利用“SAS”即可求證,1)證明:AB=AC,A=A,AD=AE, ABDACE. (2)BOC是等腰三角形. 理由:ABDACE, ABD=ACE,AB=AC, ABC=ACB, ABC-ABD=ACB-ACE, OBC=OCB, BO=CO,命題角度,全等三角形的判定與性質(zhì),兩條線段的關系要從數(shù)量關系和位置關系兩個方面考慮. 1.數(shù)量關系一般是相等,可通過證明三角形全等得到;位置關系一般是平行或垂直,從圖中可直接看出. 2.證

16、線段平行時,通常轉(zhuǎn)化為證明同位角相等、內(nèi)錯角相等或同旁內(nèi)角互補,這些角的關系一般根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到;證明線段垂直的方法通常是證明線段所在直線所夾的角是90,提分技法,利用三角形全等判斷線段的關系的方法,規(guī)范性答題,全等三角形的證明,第四節(jié)相似三角形,目錄（安徽中考,考點,考點1 比例線段及比例的性質(zhì) 考點2 平行線分線段成比例 考點3 相似三角形的性質(zhì) 考點4 相似三角形的判定 考點5 相似多邊形,方法,命題角度 相似三角形的判定與性質(zhì),考點,考點1,比例線段及比例的性質(zhì),考點1,比例線段及比例的性質(zhì),圖(1) 圖(2,考點2,平行線分線段成比例,考點2,平行線分線段成比例,考點3,相似

17、三角形的性質(zhì),1.相似三角形對應角,對應邊成比例,相等,相等比,相等比的平方,考點4,相似三角形的判定,1.判定方法,兩角,考點4,相似三角形的判定,夾角,對應成比例,考點4,相似三角形的判定,判定三角形相似的思路,提分技法,考點4,相似三角形的判定,2.常見的相似模型 (1)平行線型,若DEBC,則ADEABC. (2)斜交型,若1=2,則ADEABC,此種情況下,ADEABC. (3)一線三等角型,若B=ACE=D,則ABCCDE,考點5,相似多邊形,1.定義:兩個邊數(shù)相同的多邊形,如果它們的對應角相等,邊對應成比例,那么這兩個多邊形叫做相似多邊形,相似多邊形對應邊的比叫做相似比. 2.性

18、質(zhì) (1)相似多邊形的對應角相等,對應邊成比例; (2)相似多邊形的周長比等于相似比,面積比等于相似比的平方,方法,命題角度,相似三角形的判定與性質(zhì),例 2020四川眉山中考改編如圖,正方形ABCD中,點F是BC邊上一點,連接AF,以AF為對角線作正方形AEFG,邊FG與正方形ABCD的對角線AC相交于點H,連接DG.下列結(jié)論中錯誤的是() A.EAB=GADB.AFCAGD C.AE2=AHAC D.DGAC,C,思路分析】延長DG交AC于點N,命題角度,相似三角形的判定與性質(zhì),根據(jù)比例的基本性質(zhì),可以把比例式與等積式互化.一個比例式只可化成一個等積式,而一個等積式可以轉(zhuǎn)化為多個比例式.如b

19、c=ad(abcd0),除了可化為ab=cd,還可化為ac=bd,ba=dc,ca=db.上述轉(zhuǎn)化的關鍵是a,d同為比例外項或比例內(nèi)項,b,c同為比例內(nèi)項或比例外項,等積式巧化比例式,提分技法,1.利用成比例線段的定義. 2.利用平行線分線段成比例的基本事實. 3.利用相似三角形的性質(zhì). 4.利用中間比等量代換. 5.利用面積關系,證明四條線段成比例的常用方法,第五節(jié)解直角三角形,目錄（安徽中考,考點,考點1 銳角三角函數(shù) 考點2 特殊角的三角函數(shù)值 考點3 解直角三角形的常用關系 考點4 解直角三角形的實際應用,方法,命題角度 解直角三角形的實際應用,考點,考點1,銳角三角函數(shù),考點2,特殊

20、角的三角函數(shù)值,1.圖表記憶,2.規(guī)律記憶,30,45,60角的正弦值的分母都是2,分子依次為1， ；30,45,60角的余弦值分別是60,45,30角的正弦值,1,考點3,解直角三角形的常用關系,1.常見關系,a2+b2=c2,考點3,解直角三角形的常用關系,2.常見解法,考點4,解直角三角形的實際應用,1.仰(俯)角、坡度(角)、方向角,考點4,解直角三角形的實際應用,2.測量物體高度的常見三角函數(shù)模型,1)利用水平距離測量物體的高度(h,考點4,解直角三角形的實際應用,2)測量底部可以到達的物體的高度(h,考點4,解直角三角形的實際應用,3)測量底部不可到達的物體的高度(h,考點4,解直

21、角三角形的實際應用,方法,命題角度,解直角三角形的實際應用,例 2020合肥包河區(qū)一模如圖,一架無人機在600米高空的P點,測得地面A點和建筑物BC的頂端B點的俯角分別為60和70(點A,B,C,P在同一平面內(nèi)).已知A點到建筑物BC的底端C點的距離為286 米,求建筑物BC的高.(結(jié)果精確到1米.參考數(shù)據(jù): 1.73, sin 700.94,cos 700.34,tan 702.75,思路分析】本題是“背靠背模型”與矩形結(jié)合的解直角三角形的實際應用.過點P作PDAC于點D,過點B作BEPD于點E,先在RtAPD中得到AD的長,然后利用矩形對邊相等得到BE=AC-AD,再在RtPBE中得到PE

22、的長,進一步求解得到BC的長,命題角度,解直角三角形的實際應用,命題角度,解直角三角形的實際應用,1.審題:畫出正確的平面圖或截面示意圖,并通過圖形弄清楚已知量和未知量. 2.構(gòu)造直角三角形:“化斜為直”是解決此類問題的關鍵.添加適當?shù)妮o助線,將斜三角形轉(zhuǎn)化為兩個直角三角形. 3.列關系式:根據(jù)直角三角形(或通過作垂線構(gòu)造的直角三角形)元素(邊、角)之間的關系解有關直角三角形. 4.檢驗:解題完畢后,可能會存在一些較為特殊的數(shù)據(jù),如含有復雜的小數(shù)等,因此要特別注意所求數(shù)據(jù)是否符合實際意義,同時還要注意題目中對結(jié)果的精確度有無要求,解直角三角形的實際應用題的解題步驟,提分技法,微專項,目錄（安徽

23、中考,微專項,微專項1 中點模型 微專項2 截長補短法 微專項3 “一線三等角”模型 微專項4 旋轉(zhuǎn)模型,微專項1,中點模型,1.模型說明 中點模型,即與中點相關的模型,一般涉及三角形各邊的中點、中線及中位線的有關性質(zhì)的應用.當題目中已知中點時,可根據(jù)圖形抽象出中點模型解決問題.有時需添加輔助線構(gòu)造中點模型解題,微專項1,中點模型,2.輔助線的作法,微專項1,中點模型,微專項2,截長補短法,1.截長補短法:具體作法是在某條線段上截取一條線段等于特定線段,或?qū)⒛硹l線段延長,使延長部分等于特定線段(或使延長后的線段等于某特定線段). 2.截長補短法的適用情況: (1)證明一條線段等于另兩條線段的和

24、或差; (2)證明一條線段的 倍等于另兩條線段的和或差; (3)某些特殊情況下線段間倍數(shù)關系的證明. 3.用截長補短法證明一條線段等于另兩條線段的和或差的方法: 截長法:在長線段上截取一條線段,使其等于其中一條短線段,然后證明剩下的線段等于另一條短線段. 補短法:延長短線段,使其延長部分等于另一條短線段,然后證明延長后的線段等于長線段(或延長短線段,使延長后的線段等于長線段,然后證明延長部分等于另一條短線段,微專項2,截長補短法,如圖,在ABC中,C=2B,AD平分BAC交BC于點D.求證:AB=AC+CD,微專項2,截長補短法,方法一(截長法):在AB上截取AE=AC, 連接DE. AD平分

25、BAC, BAD=CAD. 又AE=AC,AD=AD, AEDACD, DC=DE,AED=C. C=2B,AED=B+BDE, B=BDE, BE=DE, AB=AE+BE=AC+DE=AC+CD,方法二(補短法):延長AC至點E,使CE=CD, 連接DE, 則CDE=E, ACD=2E. 又ACB=2B, B=E. AD平分BAC, BAD=CAD. 又AD=AD, ADEADB, AB=AE=AC+CE=AC+CD,微專項3,一線三等角”模型,1.定義 三個等角的頂點在同一條直線上的模型稱為“一線三等角”模型,也稱為“K型”相似模型.簡單來說,一條直線上有三個相等的角,一般會存在相似的三角形.特殊地,當?shù)冉菫橹苯菚r,也稱為“一線三直角”模型或“一線三垂直”模型,微專項3,一線三等角”模型,2.模型類別及相關結(jié)論,微專項3,一線三等角”模型,微專項3,一線三等角”模型,微專項3,一線三等角”模型,例1如圖,在四邊形ABCD中,BAD=ACB=9