12.5圓錐曲線中的點(diǎn)差法習(xí)題【附答案】(最新整理)

1、圓錐曲線中的點(diǎn)差法習(xí)題若設(shè)直線與圓錐曲線的交點(diǎn)（弦的端點(diǎn)）坐標(biāo)為 a(x1 , y1 ) 、 b(x2 , y2 ) ，將這兩點(diǎn)代入圓錐曲線的方程并對所得兩式作差，得到一個與弦 ab 的中點(diǎn)和斜率有關(guān)的式子，可以大大減少運(yùn)算量。我們稱這種代點(diǎn)作差的方法為“點(diǎn)差法”。y一、以定點(diǎn)為中點(diǎn)的弦所在直線的方程x22例1、 過橢圓+164= 1內(nèi)一點(diǎn) m (2,1) 引一條弦，使弦被 m 點(diǎn)平分，求這條弦所在直線的方程。2例2、 已知雙曲線 x2 - y2= 1 ，經(jīng)過點(diǎn) m (1,1) 能否作一條直線l ，使l 與雙曲線交于 a 、b ，且點(diǎn) m 是線段 ab 的中點(diǎn)。若存在這樣的直線l ，求出它的方

2、程，若不存在， 說明理由。x二、過定點(diǎn)的弦和平行弦的中點(diǎn)坐標(biāo)和中點(diǎn)軌跡y22例3、 已知橢圓+7525= 1的一條弦的斜率為 3，它與直線 x =1的交點(diǎn)恰為這條弦的中2點(diǎn) m ，求點(diǎn) m 的坐標(biāo)。xy22例4、 已知橢圓+7525= 1,求它的斜率為 3 的弦中點(diǎn)的軌跡方程。三、求與中點(diǎn)弦有關(guān)的圓錐曲線的方程例5、 已知中心在原點(diǎn)，一焦點(diǎn)為 f (0,1的橫坐標(biāo)為 ，求橢圓的方程。250) 的橢圓被直線l : y = 3x - 2 截得的弦的中點(diǎn)y四、圓錐曲線上兩點(diǎn)關(guān)于某直線對稱問題x22例 6、已知橢圓+43= 1，試確定的 m 取值范圍，使得對于直線 y = 4x + m ，橢圓上總有不

3、同的兩點(diǎn)關(guān)于該直線對稱。答 案例 1. 解：設(shè)直線與橢圓的交點(diǎn)為 a(x1 , y1 ) 、 b(x2 , y2 )q m (2,1) 為 ab 的中點(diǎn) x1 + x2 = 4y1 + y2 = 22222q又 a 、 b 兩點(diǎn)在橢圓上，則 x1 + 4 y1 = 16 ， x2 + 4 y2 = 16兩式相減得(x 2 - x 2 ) + 4( y 2 - y 2 ) = 01212于是(x1 + x2 )(x1 - x2 ) + 4( y1 + y2 )( y1 - y2 ) = 0 y1 - y2 = -x1 - x21x1 + x24( y1 + y2 )= -44 2= - 121即

4、 kab = - 2 ，故所求直線的方程為 y -1 = - 2 (x - 2) ，即 x + 2 y - 4 = 0 。例 2. 解：設(shè)存在被點(diǎn) m 平分的弦 ab ，且 a(x1 , y1 ) 、 b(x2 , y2 )則 x1 + x2 = 2 ， y1 + y2 = 2y 2y 2x 2 - 1 = 1 ， x 2 - 2 = 11222兩式相減，得(x + x )(x- x ) - 1 ( y+ y )( y - y ) = 0 k= y1 - y2 = 212121221212ab- xx故直線 ab : y -1 = 2(x -1) y -1 = 2(x -1)2由 x2 - y

5、 = 12消去 y ，得2x2 - 4x + 3 = 0 d = (-4)2 - 4 2 3 = -8 0這說明直線 ab 與雙曲線不相交，故被點(diǎn) m 平分的弦不存在，即不存在這樣的直線l 。評述：本題如果忽視對判別式的考察，將得出錯誤的結(jié)果，請務(wù)必小心。由此題可看到中點(diǎn)弦問題中判斷點(diǎn)的 m 位置非常重要。（1）若中點(diǎn) m 在圓錐曲線內(nèi)，則被點(diǎn) m 平分的弦一般存在；（2）若中點(diǎn) m 在圓錐曲線外，則被點(diǎn) m 平分的弦可能不存在。1例 3. 解：設(shè)弦端點(diǎn) p(x1 , y1 ) 、q(x2 , y2 ) ，弦 pq 的中點(diǎn) m (x0 , y0 ) ，則 x0 = 2x1 + x2 = 2x0

6、 = 1 ， y1 + y2 = 2 y0y 2x 2y 2x 2又 1 + 1 = 1， 2 + 2 = 175257525兩式相減得25( y1 + y2 )( y1 - y2 ) + 75(x1 + x2 )(x1 - x2 ) = 0即 2 y ( y - y ) + 3(x - x ) = 0 y1 - y2 = - 301212x1 - x22 y0q k =y1 - y2 = 3 - 3 = 3 ， 即 y= - 10x1 - x22 y02點(diǎn) m 的坐標(biāo)為( 12,- 1 ) 。2例 4. 解：設(shè)弦端點(diǎn) p(x1 , y1 ) 、q(x2 , y2 ) ，弦 pq 的中點(diǎn) m

7、(x, y) ，則x1 + x2 = 2x ，y1 + y2 = 2 yy 2x 2y 2x 2又 1 + 1 = 1， 2 + 2 = 175257525兩式相減得25( y1 + y2 )( y1 - y2 ) + 75(x1 + x2 )(x1 - x2 ) = 0即 y( y - y ) + 3x(x - x ) = 0 ， 即 y1 - y2= - 3x1212x1 - x2yq k =y1 - y2 = 3x1 - x2 - 3x = 3 ，即 x + y = 0y5 35 35 35 3 x + y = 0由 y 2 + x 2 =，得 p(-,) q(,-) 752512222

8、q點(diǎn) m 在橢圓內(nèi)它的斜率為 3 的弦中點(diǎn)的軌跡方程為y2例 5.解：設(shè)橢圓的方程為a2+ x2b2= 1，則 a2- b2= 50 設(shè)弦端點(diǎn) p(x1 , y1 ) 、q(x2 , y2 ) ，弦 pq 的中點(diǎn) m (x0 , y0 ) ，則x = 1 ， y020= 3x0- 2 = - 12 x1+ x2= 2x0= 1 ， y1+ y2= 2 y0= -1y 2x 2y 2x 2又 1 + 1 = 1， 2 + 2 = 1a 2b2a 2b 2兩式相減得b2 ( y + y )( y - y ) + a2 (x + x )(x - x ) = 0121212121即- b2 ( y-

9、y2) + a2 (x- x2 ) = 01y - ya2a212 = 3 22x1 - x2bb聯(lián)立解得 a2 = 75 ， b2 = 2522所求橢圓的方程是 y + x = 17525例 6.解：設(shè) p1 (x1 , y1 ) ， p2 (x2 , y2 ) 為橢圓上關(guān)于直線 y = 4x + m 的對稱兩點(diǎn)， p(x, y) 為弦pp 的中點(diǎn)，則3x 2 + 4 y 2 = 12 ， 3x 2 + 4 y 2 = 121 21122兩式相減得， 3(x 2 - x 2 ) + 4( y 2 - y 2 ) = 01212即3(x1 + x2 )(x1 - x2 ) + 4( y1 +

10、y2 )( y1 - y2 ) = 0q x + x = 2x ， y + y= 2 y ， y1 - y2 = - 11212x1 - x24 y = 3x這就是弦 p1p2 中點(diǎn) p 軌跡方程。它與直線 y = 4x + m 的交點(diǎn)必須在橢圓內(nèi) y = 3xx = -m23 2聯(lián)立 y = 4x + m ，得 y = -3m 則必須滿足 y 3 -x ，4即(3m)2 3 - 3 m2 ，解得- 2413 m 2 131313“”“”at the end, xiao bian gives you a passage. minand once said, people who learn t

11、o learn are very happy people. in every wonderful life, learning is an eternal theme. as a professional clerical and teaching position, i understand the importance of continuous learning, life is diligent, nothing can be gained, only continuous learning can achieve better self. only by constantly learning and mastering the latest relevant knowledge, can employees from all walks of life keep up with the pace of enterprise development and in