定積分的換元法和分部積分法整理版

1、第三節(jié),定積分的換元法,和分部積分法,定積分的換元法,definite integral by substitution,定積分的分部積分法,definite integral by parts,第五章,定積分,1,定積分的換元法和分部積分法,一、定積分的換元法,definite integral by substitution,定理,1,假設函數(shù),f,x,C,a,b,函數(shù),x,t,滿足條件,1,a,b,2,t,在,上,具有連續(xù)導數(shù),且其值域,R,a,b,a,b,f,x,d,x,f,t,t,d,t,定積分換元公式,f,t,t,d,t,F,F,F,b,F,a,2,定積分的換元法和分部積分法,a,

2、注,b,f,x,d,x,f,t,t,d,t,1,當,時,換元公式仍成立,2,應用定積分換元公式,積分限要作相應的改變,故積出來的原函數(shù)不必回代,4,定積分的換元法和分部積分法,例,0,2,sin,x,d,x,2,3,0,sin,2,2,x,0,t,1,x,sin,x,d,x,t,cos,x,0,x,2,t,0,1,cos,x,d,cos,x,0,2,t,cos,x,1,3,2,1,t,d,t,t,t,3,1,3,1,注,湊”微分時,不明顯地寫出,積分限不需變,新變量,t,0,2,2,2,1,3,1,cos,x,d,cos,x,cos,x,cos,x,0,3,3,0,2,2,5,定積分的換元法和

3、分部積分法,3,e,4,例,e,d,x,x,ln,x,1,ln,x,3,e,4,1,1,d,ln,x,d,ln,x,2,ln,x,3,e,4,解,原式,e,d,ln,x,2,e,ln,x,1,ln,x,3,e,4,d,ln,x,1,ln,x,2,2,arcsin,ln,x,e,6,6,定積分的換元法和分部積分法,a,例,0,a,x,d,x,a,0,2,2,x,0,t,0,x,a,t,2,解,令,x,a,sin,t,d,x,a,cos,t,d,t,1,2,1,cos,2,t,原式,a,cos,t,d,t,a,d,t,a,0,0,4,2,2,2,2,這是半徑為,a,的四分之一的圓的面積,7,定積分

4、的換元法和分部積分法,幾個關(guān)于奇、偶函數(shù)及周期函數(shù)的定積分,由,被積函數(shù)和積分區(qū)間,來確定變換,例,設,f,x,在區(qū)間,a,a,上可積,證明,證明,a,a,0,a,f,x,d,x,f,x,f,x,d,x,0,a,令,x,t,d,x,d,t,f,x,d,x,4,0,f,t,d,t,a,f,x,d,x,2,0,cos,x,d,x,2,4,a,0,1,e,4,4,cos,x,d,x,0,x,cos,x,cos,x,d,x,x,x,1,e,1,e,9,定積分的換元法和分部積分法,a,f,x,d,x,0,f,x,1,f,x,為偶函數(shù),2,f,x,為奇函數(shù),a,a,f,x,d,x,a,0,奇、偶函數(shù),在,

5、對稱區(qū)間,上的定積分性質(zhì),a,a,a,a,f,x,d,x,2,f,x,d,x,f,x,d,x,0,定積分,面積的代數(shù)和,3,2,4,5,x,sin,x,例,x,sin,x,d,x,0,d,x,0,5,x,4,2,x,2,1,1,1,4,x,d,x,2,2,1,0,4,x,d,x,2,10,定積分的換元法和分部積分法,1,x,2,例,設,f,x,x,e,3,1,1,1,3,x,0,求,f,x,2,d,x,1,x,0,解,法一,令,x,2,t,d,x,d,t,f,x,2,d,x,f,t,d,t,7,1,3,e,0,2,1,t,d,t,1,1,t,e,d,t,0,12,定積分的換元法和分部積分法,證

6、明,例,若,f,x,在,0,1,上連續(xù),1,2,f,sin,x,d,x,2,f,cos,x,d,x,0,證,1,設,x,0,2,0,2,t,d,x,d,t,0,2,f,cos,t,d,t,2,f,cos,x,d,x,0,0,f,sin,x,d,x,f,sin,t,d,t,2,2,14,定積分的換元法和分部積分法,周期函數(shù)的定積分公式,T,0,如果,T,是連續(xù)函數(shù),f,x,的周期,a,T,a,f,x,d,x,f,x,d,x,a,為任何常數(shù),計算,解,原,式,e,2,4,sin,x,1,tan,x,d,x,e,e,e,2,e,e,4,3,2,sin,x,d,x,2,sin,x,1,tan,x,d,

7、x,4,0,4,2,e,2,e,4,2,周期函數(shù)在任何長為一周期的區(qū)間上的定積分都相等,17,定積分的換元法和分部積分法,x,sin,x,t,求極限,lim,2,d,t,t,x,0,x,0,1,分析,被積函數(shù)中含有變量,x,積分上限函數(shù)的導數(shù)公式,令,x,t,u,解,x,sin,x,t,d,t,0,t,x,sin,u,0,2,u,d,u,sin,x,2,原式,x,lim,2,x,0,x,0,1,2,2,sin,u,0,d,u,lim,x,u,0,2,x,x,0,2,x,1,18,定積分的換元法和分部積分法,二、定積分的分部積分法,definite integral by parts,定理,2,

8、設,u,x,v,x,在區(qū)間,a,b,上,有,連續(xù)的導數(shù),b,b,uv,a,a,u,d,v,a,v,d,u,b,定積分的分部積分公式,20,定積分的換元法和分部積分法,x,d,x,例,1,x,u,d,v,x,3,3,x,解,原式,x,arcsin,d,x,1,x,0,0,2,x,1,x,3,arcsin,0,4,x,arctan,x,0,3,3,3,3,x,0,1,x,d,x,3,1,0,1,d,x,1,x,21,定積分的換元法和分部積分法,u,1,1,1,ln,1,x,d,例,ln,1,x,d,x,0,0,2,x,2,2,x,1,1,ln,1,1,d,x,2,x,0,0,2,x,1,x,1,1

9、,1,1,d,x,ln,2,0,3,1,x,2,x,1,1,1,ln,2,ln,1,x,ln,2,x,0,ln,2,3,3,1,x,22,定積分的換元法和分部積分法,例,設,f,x,sin,t,分析,沒有初等原函數(shù),使用,分部積分法,t,2,2,sin,x,2,sin,x,f,1,0,f,x,2,2,x,x,x,u,1,1,1,1,1,1,1,2,2,2,解,0,xf,x,d,x,2,0,f,x,d,x,2,x,f,x,0,0,x,d,f,x,2,x,2,sin,t,1,d,t,求,xf,x,d,x,1,0,t,1,1,1,1,1,2,2,2,f,1,2,x,sin,x,d,x,sin,x,d,x,2,0,2,0,2,1,1,1,2,cos,x,cos,1,1,0,2,2,23,定積分的換元法和分部積分法,思考題,設,f,x,在,0,1,上連續(xù),且,f,0,1,1,0,f,2,3,f,2,5,求,x,f,2,x,d,x,1,1,x,d,f,2,x,解答,2,0,1,1,1,1,1,1,1,x,f,2,x,0,0,f,2,x,d,x,f,2,0,f,2,x,d,2,x,2,4,2,2,1,x,f,2,x,d,x,0,5,1,5,1,1,f,2,f