高中數(shù)學(xué)公式及知識點(diǎn)總結(jié)大全(精華版),推薦文檔

1、高中文科數(shù)學(xué)公式及知識點(diǎn)速記一、函數(shù)、導(dǎo)數(shù)1、函數(shù)的單調(diào)性(1) 設(shè) x1、x2 a, b, x1 x2 那么第 10 頁（共 10 頁）f (x1 ) - f (x2 ) 0 f (x)在a, b 上是增函數(shù)；f (x)在a, b 上是減函數(shù).(2) 設(shè)函數(shù) y =減函數(shù).2、函數(shù)的奇偶性f (x) 在某個區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，若 f (x) 0 ，則 f (x) 為增函數(shù)；若 f (x) 0 ，右側(cè) f (x) 0 ，那么 f (x0 )是極大值；(2) 如果在 x0 附近的左側(cè) f (x) 0 ，那么 f (x0 )是極小值 指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪n amm(1) a nm=（ a 0, m

2、, n n * ，且 n 1 ）.-11*n am(2) a n = m=（ a 0, m, n n ，且 n 1 ）.a n根式的性質(zhì)n an（1） 當(dāng)n 為奇數(shù)時， 當(dāng)n 為偶數(shù)時，= a ；n an=| a |= a, a 0 .-a, a 0, r, s q) .(2) (ar )s = ars (a 0, r, s q) .(3) (ab)r = arbr (a 0, b 0, r q) .注： 若 a0，p 是一個無理數(shù)，則 ap 表示一個確定的實(shí)數(shù)上述有理指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)，對于無理數(shù)指數(shù)冪都適用.指數(shù)式與對數(shù)式的互化式: logan = b ab = n (a 0, a 1, n

3、 0) .對數(shù)的換底公式 : log n = logm n ( a 0 ,且 a 1, m 0 ,且 m 1, n 0 ).malog a對數(shù)恒等式： aloga n = n ( a 0 ,且 a 1, n 0 ).推 論 log manbn =log bma( a 0 ,且 a 1, n 0 ).yk0oy=kx+b常見的函數(shù)圖象ya0y=ax2+bx+cy21y=x+x-1 o1-2xyyy=axy=logax0a10a11o1xa1ox二、三角函數(shù)、三角變換、解三角形、平面向量8、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式sin2a+ cos2a= 1， tana= sina .cosa9、正弦、余弦的誘

4、導(dǎo)公式（奇變偶不變，符號看象限）kaa的正弦、余弦，等于a的同名函數(shù)，前面加上把a(bǔ)看成銳角時該函數(shù)的符號；aka+a的正弦、余弦，等于a的余名函數(shù)，前面加上把a(bǔ)看成銳角時該函數(shù)的符號。2(1)sin (2ka+a)= sina， cos(2ka+a)= cosa， tan (2ka+a)= tana(k z)(2)sin (a+a)= -sina， cos(a+a)= -cosa， tan (a+a)= tana(3)sin (-a)= -sina， cos(-a)= cosa， tan (-a)= - tana(4)sin (a-a)= sina， cos(a-a)= -cosa， tan

5、(a-a)= - tana-aaa = cosa， cos 2 -a = sina(6)sin 2 +a = cosa， cos 2 +a口訣：函數(shù)名稱不變，符號看象限(5)sin a a 2= -sina口訣：正弦與余弦互換，符號看象限10、和角與差角公式sin(a a)= sinacos a cosasin a; cos(a a)= cosacos am sinasin a;tan(a a)=11、二倍角公式tana tan a.1m tanatanasin 2a= sinacosa.cos 2a= cos2a- sin2a= 2 cos2a-1 = 1- 2 sin2a. tan 2a=

6、2 tana .1- tan2a;2 cos2 a= 1 + cos 2a, cos2 a= 1 + cos 2a公式變形：21- cos 22sin2 a= 1- cos 2a,sin2 a=a;212、 函數(shù) y = sin(ax +a) 的圖象變換的圖象上所有點(diǎn)向左（右）平移a個單位長度，得到函數(shù) y = sin (x +a)的圖象；再將函數(shù)y = sin (x +a)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長（縮短）到原來的 1 倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)ay = sin (ax +a)的圖象；再將函數(shù) y = sin (ax +a)的圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長（縮短）到原來的a 倍（橫坐標(biāo)不變），得到

7、函數(shù) y = a sin (ax +a)的圖象數(shù) y = sin x 的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長（縮短）到原來的 1 倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)aay =sinax的圖象；再將函數(shù) y =sinax的圖象上所有點(diǎn)向左（右）平移 a個單位長度，得到函數(shù)y = sin (ax +a)的圖象；再將函數(shù) y = sin (ax +a)的圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長（縮短）到原來的a 倍（橫坐標(biāo)不變），得到函數(shù) y = a sin (ax +a)的圖象13. 正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)：函 數(shù)性質(zhì)y = sin xy = cos xy = tan x圖象定義域rrax x ka+k z2 ,值

8、域-1,1-1,1r最值a當(dāng)x = 2ka+ (k z)時，2當(dāng) x = 2ka(k z)時，既無最大值也無最小值y= 1；當(dāng) x = 2ka-amax2(k z)時， ymin = -1ymax =1；當(dāng) x = 2ka+a(k z)時， ymin = -1周期性2a2aa奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)單調(diào)性aa在 2ka- , 2ka+22 (k z)上是增函數(shù)；在2ka+ a , 2ka+ 3a22 (k z)上是減函數(shù)在2ka-a,2ka(kz)上是增函數(shù)；在2ka,2ka+a(k z)上是減函數(shù)aa在 ka- ,ka+ 22(k z)上是增函數(shù)對稱性對稱中心(ka, 0)(k z)a對稱軸

9、 x = ka+ (k z)2a對稱中心 ka+ , 0 (k z)2對稱軸 x = ka(k z) ka對稱中心, 0 (k z) 2無對稱軸14、輔助角公式a 2 + b 2y = a sin x + b cos x =sin(x +a) 其中tana= ba15. 正弦定理 ： a=b=c= 2r （r 為dabc 外接圓的半徑）.sin asin bsin c a = 2r sin a, b = 2r sin b, c = 2r sin c a : b : c = sin a : sin b : sin c16. 余弦定理a2 = b2 + c2 - 2bc cos a ; b2 =

10、c2 + a2 - 2ca cos b ; c2 = a2 + b2 - 2ab cos c .17. 面積定理111（1） s = 2 aha = 2 bhb = 2 chc （ ha、bhc 分別表示 a、b、c 邊上的高）.111（2） s =ab sin c =bc sin a =ca sin b .22218、三角形內(nèi)角和定理在abc 中，有 a + b + c = a c = a- ( a + b) caa + b 2c = 2a- 2( a + b) . = - 22219、 a 與b 的數(shù)量積(或內(nèi)積) a b =| a | | b | cosa20、平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算u ur

11、u uru ur(1)設(shè) a (x1 , y1 ) ，b (x2 , y2 ) ,則 ab = ob - oa = (x2 - x1 , y2 - y1 ) .ax 2 + y 2(2)設(shè) a = (x1 , y1 ) , b = (x2 , y2 ) ，則 a b = x1 x2 + y1 y2 . (3)設(shè) a = (x, y) ，則=21、兩向量的夾角公式設(shè) a = (x1r, yr1 ) , b = (x2 , y2 ) ，且b 0 ，則ra x x + y yrbx2 + y2x2 +1 y2211cosa= | ra | r =| b |1 222 ( a = (x 1, y 1)

12、 , b = (x 2, y 2) ).22、r向量的平行r與垂直rr設(shè) a = (x , y ) , = (x , y ) ，且11b22b0a / b b = aa x1 y2 - x2 y1 = 0 . a b(a 0) a b = 0 x1 x2 + y1 y2 = 0 .*平面向量r的坐標(biāo)運(yùn)算rr r(1)設(shè) a = (x , y ) , b = (x , y ) ，則 a += (x + x , y + y ) .r(2) 設(shè) a11= (x , y ) ,r 22b r= (x , y ) ， 則 a -r1212= (x - x , y - y ) .11b22b1212u u

13、ru uru ur(3)設(shè) a (x1 , y1 ) ，b (x2 , y2 ) ,則 ab = ob - oa = (x2 - x1 , y2 - y1 ) .rr(4)設(shè) a =r(x, y),a r ，r 則aa = (ax,ay) . rr(5) 設(shè) a = (x , y ) ,= (x , y ) ，則 a = x x + y y .11b22b1 21 2三、數(shù)列23、數(shù)列的通項公式與前 n 項的和的關(guān)系an= s1,n = 1( 數(shù)列a 的前 n 項的和為 s = a + a +l+ a ).s - s, n 2nn12n nn-124、等差數(shù)列的通項公式a = a + (n -

14、1)d = dn + a - d (n n *) ；n1125、等差數(shù)列其前 n 項和公式為s = n(a1 + an ) = na + n(n -1) d = d n2 + (a- 1 d )n .n21221226、等比數(shù)列的通項公式a = a qn-1 = a1 qn (n n *) ；n1q27、等比數(shù)列前 n 項的和公式為a (1- qn ) a1 - anq 1, q 1, q 1sn = 1- q或sn = 1- q.na , q =1na1, q = 11四、不等式x + y 28、2xy 。必須滿足一正（ x, y 都是正數(shù)）、二定（ xy 是定值或者 x + y 是定值）、

15、三相等（x = y 時等號成立）才可以使用該不等式）p（1） 若積 xy 是定值 p ，則當(dāng) x = y 時和 x + y 有最小值2；（2） 若和 x + y 是定值 s ，則當(dāng) x = y 時積 xy 有最大值 1 s 2 .4五、解析幾何29、直線的五種方程（1） 點(diǎn)斜式（2） 斜截式y(tǒng) - y1 = k (x - x1 ) (直線l 過點(diǎn) p1 (x1 , y1 ) ，且斜率為 k )y = kx + b (b 為直線l 在 y 軸上的截距).(4) 截距式（5）一般式 y - yx - x y )( p (x , y ) 、 p (x , y ) ( x x y - yx - x12

16、11122212（3） 兩點(diǎn)式1 =1).( y2121x + y = 1( a、b 分別為直線的橫、縱截距， a、b 0 )abax + by + c = 0 (其中 a、b 不同時為 0).30、兩條直線的平行和垂直若l1 : y = k1 x + b1 ， l2 : y = k2 x + b2l1 | l2 k1 = k2 , b1 b2 ; l1 l2 k1k2 = -1.31、平面兩點(diǎn)間的距離公式(x - x ) + ( y - y )222121d=(a (x , y ) ，b (x , y ) ).a,b32、點(diǎn)到直線的距離a2 + b2d = | ax0 + by0 + c |

17、33、 圓的三種方程( 點(diǎn) p(x0, y01122) ,直線l ： ax + by + c = 0 ).（1） 圓的標(biāo)準(zhǔn)方程（2） 圓的一般方程（3） 圓的參數(shù)方程(x - a)2 + ( y - b)2 = r 2 .x2 + y2 + dx + ey + f = 0 ( d2 + e2 - 4f 0).x = a + r cosa y = b + r sina.* 點(diǎn)與圓的位置關(guān)系：點(diǎn) p(x0 , y0) 與圓(x - a)2 + ( y - b)2 = r 2 的位置關(guān)系有三種(a - x0)2 + (b - y0)2若 d =34、直線與圓的位置關(guān)系，則 d r 點(diǎn) p 在圓外;

18、d = r 點(diǎn) p 在圓上; d r 交交d = r 交交d r 交交aa + bb + c a2 + b 2其中 d = d 0 . 弦長= 2 r 2 - d 2.35、橢圓、雙曲線、拋物線的圖形、定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何性質(zhì)1- a2b2x2y22c橢圓：，離心率e =2 += 1(a b 0) ， a - c 2 = b2 1 ，漸近線方程是 y = a 2b 2 = 1(a0,b0)， c - aaa x拋物線： y 2 = 2 px ，焦點(diǎn)( p ,0) ,準(zhǔn)線 x = - p 。拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離等于它到準(zhǔn)線的距離.2236、雙曲線的方程與漸近線方程的關(guān)系-x 2y 2(1）若雙

19、曲線方程為a 2b 2x2y2= 1 -漸近線方程： a2b2 = 0 y = b x .abxyx 2y 2(2) 若漸近線方程為 y = x a = 0 雙曲線可設(shè)為-= l .aba 2b2x2(3) 若雙曲線與- y 2= 1有公共漸近線，可設(shè)為 x 2 - y 2 = ll l 0) 焦半徑| pf |= x0 +pp.（拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離等于它到準(zhǔn)線的距離。）2p38、過拋物線焦點(diǎn)的弦長 ab= x1 + 2 + x2 + 2 = x1 + x2 + p .六、立體幾何39. 證明直線與直線的平行的思考途徑（1） 轉(zhuǎn)化為判定共面二直線無交點(diǎn)；（2） 轉(zhuǎn)化為二直線同與第三條直線平

20、行；（3） 轉(zhuǎn)化為線面平行；（4） 轉(zhuǎn)化為線面垂直；（5） 轉(zhuǎn)化為面面平行.40. 證明直線與平面的平行的思考途徑（1） 轉(zhuǎn)化為直線與平面無公共點(diǎn)；（2） 轉(zhuǎn)化為線線平行；（3） 轉(zhuǎn)化為面面平行.41. 證明平面與平面平行的思考途徑（1） 轉(zhuǎn)化為判定二平面無公共點(diǎn)；（2） 轉(zhuǎn)化為線面平行；（3） 轉(zhuǎn)化為線面垂直.42. 證明直線與直線的垂直的思考途徑（1） 轉(zhuǎn)化為相交垂直；（2） 轉(zhuǎn)化為線面垂直；（3） 轉(zhuǎn)化為線與另一線的射影垂直；（4） 轉(zhuǎn)化為線與形成射影的斜線垂直.43. 證明直線與平面垂直的思考途徑（1） 轉(zhuǎn)化為該直線與平面內(nèi)任一直線垂直；（2） 轉(zhuǎn)化為該直線與平面內(nèi)相交二直線垂直；（3

21、） 轉(zhuǎn)化為該直線與平面的一條垂線平行；（4） 轉(zhuǎn)化為該直線垂直于另一個平行平面。44. 證明平面與平面的垂直的思考途徑（1） 轉(zhuǎn)化為判斷二面角是直二面角；（2） 轉(zhuǎn)化為線面垂直；45、柱體、椎體、球體的側(cè)面積、表面積、體積計算公式圓柱側(cè)面積= 2arl ，表面積= 2arl + 2ar 2圓椎側(cè)面積=arl ，表面積=arl +ar 2v柱體v錐體= 1 sh （ s 是柱體的底面積、 h 是柱體的高）.3= 1 sh （ s 是錐體的底面積、 h 是錐體的高）.3球的半徑是 r ，則其體積v = 4ar3 ,其表面積 s = 4ar2 (x2 - x1)2 + ( y2 - y1)2 + (

22、z2 - z1)2=46、若點(diǎn) a (x , y , z ) ，點(diǎn) b3) ，則du ur (x , y , z11 1222a,b47、點(diǎn)到平面距離的計算（定義法、等體積法）= | ab =|u ur uuurabab48、直棱柱、正棱柱、長方體、正方體的性質(zhì)：側(cè)棱平行且相等，與底面垂直。正棱錐的性質(zhì)：側(cè)棱相等，頂點(diǎn)在底面的射影是底面正多邊形的中心。七、概率統(tǒng)計49、平均數(shù)、方差、標(biāo)準(zhǔn)差的計算平均數(shù): x = x1 + x2 +l xn方 差 : s 2 = 1 (x - x)2 + (x - x)2 +l(x - x)2 nn12n標(biāo)準(zhǔn)差: s =1 (x - x) +2 (x - x)2

23、 +l(x - x)2 n12n50、回歸直線方程 （了解即可）- nx yn (x - x )(y - y )n xyiii i$y= a + bx ，其中b = i=1n (x - x )2= i=1nx 2 - nx 2.經(jīng)過（ x ， y ）點(diǎn)。iii=1i=151、獨(dú)立性檢驗(yàn)a = y - bxk 2 =n(ac - bd )2(a + b)(c + d )(a + c)(b + d )（了解即可）52、古典概型的計算（必須要用列舉法、列表法、樹狀圖的方法把所有基本事件表示出來，不重復(fù)、不遺漏）八、復(fù)數(shù)53、復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算a + bi = (a + bi)(c - di) = (ac

24、 + bd ) + (bc - ad )i .c + di(c + di)(c - di)c 2 + d 254、復(fù)數(shù) z = a + bi 的模| z |=| a + bi | = a2 + b2 .55、復(fù)數(shù)的相等： a + bi = c + di a = c, b = d .（ a, b, c, d r ）a2 + b256、復(fù)數(shù) z = a + bi 的模（或絕對值） | z |=| a + bi | =.57、復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算法則(1) (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d )i ;(2) (a + bi) - (c + di) = (a - c

25、) + (b - d )i ;(3) (a + bi)(c + di) = (ac - bd ) + (bc + ad )i ;ac + bdbc - ad(4) (a + bi) (c + di) =+i(c + di 0) .c2 + d 2c2 + d 258、復(fù)數(shù)的乘法的運(yùn)算律對于任何 z1, z2 , z3 c ，有交換律: z1 z2 = z2 z1 .結(jié)合律: (z1 z2 ) z3 = z1 (z2 z3 ) .分配律: z1 (z2 + z3 ) = z1 z2 + z1 z3 .九、參數(shù)方程、極坐標(biāo)化成直角坐標(biāo)acosa= xa2 = x 2 + y 255、 asina=

26、 ytana= y (x 0)x十、命題、充要條件充要條件（記 p 表示條件， q 表示結(jié)論）（1） 充分條件：若 p q ，則 p 是q 充分條件.（2） 必要條件：若 q p ，則 p 是q 必要條件.（3） 充要條件：若 p q ，且 q p ，則 p 是q 充要條件.注：如果甲是乙的充分條件，則乙是甲的必要條件；反之亦然.為 為為為為為為為為為為為為 為為為為為為 q 為p為 為 為為 p 為q為為為為為為 p 為為為為為 q 為56.真值表非或且真真假真真真假假真假假真真真假假假真假假十一、直線與平面的位置關(guān)系 空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系三個公理：（1） 公理 1：如果一條直線

27、上的兩點(diǎn)在一個平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi)（2） 公理 2：過不在一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個平面。（3） 公理 3：如果兩個不重合的平面有一個公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線?？臻g中直線與直線之間的位置關(guān)系1 空間的兩條直線有如下三種關(guān)系：相交直線：同一平面內(nèi)，有且只有一個公共點(diǎn)；共面直線平行直線：同一平面內(nèi)，沒有公共點(diǎn)；異面直線： 不同在任何一個平面內(nèi)，沒有公共點(diǎn)。2 公理 4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行。3 等角定理：空間中如果兩個角的兩邊分別對應(yīng)平行，那么這兩個角相等或互補(bǔ)4 注意點(diǎn)： a與 b所成的角的大小只由 a、b 的相互位置來確定，與 o 的選擇無關(guān)，為

28、簡便，點(diǎn) o 一般取在兩直線中的一條上； 兩條異面直線所成的角 (0a,)2； 當(dāng)兩條異面直線所成的角是直角時，我們就說這兩條異面直線互相垂直，記作 ab； 兩條直線互相垂直，有共面垂直與異面垂直兩種情形； 計算中，通常把兩條異面直線所成的角轉(zhuǎn)化為兩條相交直線所成的角?？臻g中直線與平面、平面與平面之間的位置關(guān)系1、直線與平面有三種位置關(guān)系：（1） 直線在平面內(nèi) 有無數(shù)個公共點(diǎn)（2） 直線與平面相交 有且只有一個公共點(diǎn)（3） 直線在平面平行 沒有公共點(diǎn)直線、平面平行的判定及其性質(zhì)直線與平面平行的判定1、直線與平面平行的判定定理：平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行。簡記為

29、：線線平行，則線面平行。平面與平面平行的判定1、兩個平面平行的判定定理：一個平面內(nèi)的兩條交直線與另一個平面平行，則這兩個平面平行。2、判斷兩平面平行的方法有三種：（1） 用定義；（2） 判定定理；（3） 垂直于同一條直線的兩個平面平行。直線與平面、平面與平面平行的性質(zhì)1、定理：一條直線與一個平面平行，則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行。簡記為：線面平行則線線平行。2、定理：如果兩個平面同時與第三個平面相交，那么它們的交線平行。直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)直線與平面垂直的判定1、定義：如果直線 l 與平面 內(nèi)的任意一條直線都垂直，我們就說直線 l 與平面 互相垂直，記作l，直線 l 叫做平面 的垂線，平面