(完整版)數(shù)學(xué)歸納法典型例題,推薦文檔

1、【知識(shí)梳理】數(shù)學(xué)歸納法是證明關(guān)于正整數(shù) n 的命題的一種方法，在高等數(shù)學(xué)中有著重要的用途，因而成為高考的熱點(diǎn)之一。近幾年的高考試題，不但要求能用數(shù)學(xué)歸納法去證明現(xiàn)代的結(jié)論，而且加強(qiáng)了對(duì)于不完全歸納法應(yīng)用的考查，既要求歸納發(fā)現(xiàn)結(jié)論，又要求能證明結(jié)論的正確性，因此，初步形成“觀察歸納猜想證明”的思維模式，就顯得特別重要。一般地，證明一個(gè)與正整數(shù) n 有關(guān)的命題，可按下列步驟進(jìn)行：（1）（歸納奠基）證明當(dāng) n 取第一個(gè)值 n = n 0 時(shí)命題成立；（2）（歸納遞推）假設(shè) n = k（）時(shí)命題成立，證明當(dāng)時(shí)命題也成立。只要完成這兩個(gè)步驟，就可以斷定命題對(duì)從開始的所有正整數(shù) n 都成立。上述證明方法叫

2、做數(shù)學(xué)歸納法。數(shù)學(xué)歸納法是推理邏輯，它的第一步稱為奠基步驟，是論證的基礎(chǔ)保證，即通過驗(yàn)證落實(shí)傳遞的起點(diǎn)，這個(gè)基礎(chǔ)必須真實(shí)可靠；它的第二步稱為遞推步驟，是命題具有后繼傳遞性的保證，即只要命題對(duì)某個(gè)正整數(shù)成立，就能保證該命題對(duì)后繼正整數(shù)都成立，兩步合在一起為完全歸納步驟，稱為數(shù)學(xué)歸納法，這兩步各司其職，缺一不可，特別指出的是，第二步不是判斷命題的真?zhèn)危亲C明命題是否具有傳遞性，如果沒有第一步，而僅有第二步成立，命題也可能是假命題?！疽c(diǎn)解析】 1、用數(shù)學(xué)歸納法證明有關(guān)問題的關(guān)鍵在第二步，即 nk1 時(shí)為什么成立，nk1 時(shí)成立是利用假設(shè) n k 時(shí)成立，根據(jù)有關(guān)的定理、定義、公式、性質(zhì)等數(shù)學(xué)結(jié)論

3、推證出 nk1 時(shí)成立，而不是直接代入，否則 nk1 時(shí)也成假設(shè)了，命題并沒有得到證明。用數(shù)學(xué)歸納法可證明有關(guān)的正整數(shù)問題，但并不是所有的正整數(shù)問題都是用數(shù)學(xué)歸納法證明的，學(xué)習(xí)時(shí)要具體問題具體分析。2、運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法時(shí)易犯的錯(cuò)誤（1） 對(duì)項(xiàng)數(shù)估算的錯(cuò)誤，特別是尋找 nk 與 nk1 的關(guān)系時(shí)，項(xiàng)數(shù)發(fā)生什么變化被弄錯(cuò)。（2） 沒有利用歸納假設(shè)：歸納假設(shè)是必須要用的，假設(shè)是起橋梁作用的，橋梁斷了就通不過去了。（3） 關(guān)鍵步驟含糊不清，“假設(shè) nk 時(shí)結(jié)論成立，利用此假設(shè)證明 nk1 時(shí)結(jié)論也成立”，是數(shù)學(xué)歸納法的關(guān)鍵一步，也是證明問題最重要的環(huán)節(jié)，對(duì)推導(dǎo)的過程要把步驟寫完整，注意證明過程的嚴(yán)謹(jǐn)性、

4、規(guī)范性。【典型例題】例 1. 用數(shù)學(xué)歸納法證明：時(shí)， 。解析：當(dāng)時(shí)，左邊 ，右邊，左邊=右邊，所以等式成立。假設(shè)時(shí)等式成立，即有 ，則當(dāng) 時(shí)，由，可知，對(duì)一切等式都成立。，所以當(dāng) 時(shí)，等式也成立。例 2.。例 3. 用數(shù)學(xué)歸納法證明：對(duì)一切大于 1 的自然數(shù) n，不等式 成立。那么當(dāng)時(shí)， ， 時(shí)，不等式也成立。由，知，對(duì)一切大于 1 的自然數(shù) n，不等式都成立。例 4. 若不等式 對(duì)一切正整數(shù) n 都成立，求正整數(shù) a 的最大值，并證明你的結(jié)論。解析：取， 。令 ，得，而，所以取，下面用數(shù)學(xué)歸納法證明，（1） 時(shí)，已證結(jié)論正確（2）假設(shè) 時(shí)，則當(dāng) 時(shí)，有，因?yàn)樗运约磿r(shí)，結(jié)論也成立，由（1）

5、（2）可知，對(duì)一切，都有，故 a 的最大值為 25。例 5. 用數(shù)學(xué)歸納法證明：能被 9 整除。解析：方法一：令，（1） 能被 9 整除。（2）假設(shè)能被 9 整除，則 能被 9 整除。由（1）（2）知，對(duì)一切，命題均成立。方法二：（1） ，原式 能被 9 整除，（2）若 ， 能被 9 整除，則時(shí) 時(shí)也能被 9 整除。由（1），（2）可知，對(duì)任何， 能被 9 整除。點(diǎn)評(píng)：證明整除性問題的關(guān)鍵是“湊項(xiàng)”，而采用增項(xiàng)、減項(xiàng)、拆項(xiàng)和因式分解等手段湊出 時(shí)的情形，從而利用歸納假設(shè)使問題獲證。例 6. 求證：能被 整除， 。解析：（1）當(dāng)時(shí)， ，命題顯然成立。（2）設(shè)時(shí)，能被整除，時(shí)，則當(dāng) 。由歸納假設(shè)，

6、上式中的兩項(xiàng)均能被整除， 故 時(shí)命題成立。由（1）（2）可知，對(duì) ，命題成立。例 7. 平面內(nèi)有 n 個(gè)圓，其中每兩個(gè)圓都交于兩點(diǎn)，且無三個(gè)圓交于一點(diǎn)，求證：這 n 個(gè)圓將平面分成 個(gè)部分。解析： 時(shí)，1 個(gè)圓將平面分成 2 部分，顯然命題成立。假設(shè) 時(shí)， 個(gè)圓將平面分成 個(gè)部分， 當(dāng) 時(shí)，第 k+1 個(gè)圓 交前面 k 個(gè)圓于 2k 個(gè)點(diǎn)，這 2k 個(gè)點(diǎn)將圓 分成 2k 段，每段將各自所在區(qū)域一分為二，于是增加了 2k 個(gè)區(qū)域，所以這 k+1 個(gè)圓將平面分成個(gè)部分，即 個(gè)部分。故 時(shí)，命題成立 。由，可知，對(duì)命題成立。點(diǎn)評(píng)：用數(shù)學(xué)歸納法證明幾何問題的關(guān)鍵是“找項(xiàng)”，即幾何元素從 k 個(gè)變成 k

7、+1 個(gè)時(shí)，所證的幾何量將增加多少，這需用到幾何知識(shí)或借助于幾何圖形來分析，在實(shí)在分析不出來的情況下，將 n=k+1 和 n=k 分別代入所證的式子，然后作差，即可求出增加量，然后只需稍加說明即可，這也是用數(shù)學(xué)歸納法證明幾何命題的一大技巧。例 8. 設(shè)，是否存在關(guān)于自然數(shù) n 的函數(shù) ，使等式 對(duì)于 的一切自然數(shù)都成立？并證明你的結(jié)論。解析：當(dāng)時(shí)，由 ，得 ，當(dāng)時(shí)，由 ，得，猜想 。下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)時(shí)，等式 恒成立。當(dāng) 時(shí)，由上面計(jì)算知，等式成立。假設(shè) 成立，那么當(dāng) 時(shí)，當(dāng) 時(shí)，等式也成立。由知，對(duì)一切 的自然數(shù) n，等式都成立。故存在函數(shù) ，使等式成立。點(diǎn)評(píng)：（1）歸納、猜想時(shí)，關(guān)鍵

8、是尋找滿足條件的 與 n 的關(guān)系式，猜想的關(guān)系未必對(duì)任意的 都滿足條件，故需用數(shù)學(xué)歸納法證明。（2）通過解答歸納的過程提供了一種思路：可直接解出 ，即。【模擬試題】1. 用數(shù)學(xué)歸納法證明“當(dāng) n 為正奇數(shù)時(shí)，能被整除”時(shí)，第二步歸納假設(shè)應(yīng)寫成a. 假設(shè) 時(shí)，命題成立b. 假設(shè) 時(shí)，命題成立c. 假設(shè) 時(shí)，命題成立d. 假設(shè) 時(shí)，命題成立2. 證明 ，假設(shè)時(shí)成立，當(dāng)1 時(shí)，左端增加的項(xiàng)數(shù)是a. 1 項(xiàng)b. 項(xiàng)c. k 項(xiàng)d. 項(xiàng)3. 記凸 k 邊形的內(nèi)角和為 ，則凸邊形的內(nèi)角和 （ ）a. b.c. d.4. 某個(gè)命題與自然數(shù) n 有關(guān)，若 時(shí)命題成立，那么可推得當(dāng)時(shí)該命題也成立，現(xiàn)已知當(dāng) 時(shí)，

9、該命題不成立，那么可推得a. 當(dāng)時(shí)，該命題不成立b. 當(dāng)時(shí)，該命題成立c. 當(dāng) n=4 時(shí)，該命題不成立d. 當(dāng) n=4 時(shí)，該命題成立5. 用數(shù)學(xué)歸納法證明 時(shí)，由到時(shí)，不等式左邊應(yīng)添加的項(xiàng)是a. b. c. d.6. （5 分）在數(shù)列中，且，2成等差數(shù)列（表示數(shù)列的前 n 項(xiàng)和），則，分別為；由此猜想。7. （5 分）已知 對(duì)一切都成立，那么a=，b=，c=。8. （14 分）由下列各式：，你能得出怎樣的結(jié)論？并進(jìn)行證明。9. （16 分）設(shè)數(shù)列滿足， 。（1） 證明： 對(duì)一切正整數(shù) n 均成立；（2） 令，判斷 與 的大小，并說明理由。10. （14 分）已知函數(shù) ，設(shè)數(shù)列滿足，數(shù)列滿足

10、 ， 。（1） 用數(shù)學(xué)歸納法證明 （2） 證明： 。11. （16 分）（2006 年，江西）已知數(shù)列滿足： ，且 。（1） 求數(shù)列 的通項(xiàng)公式；（2） 證明：對(duì)一切正整數(shù) n，不等式恒成立?！驹囶}答案】1. b2. d3. b4. c5. c6. ， ， ， 7. ， ， 8. 解：對(duì)所給各式進(jìn)行觀察比較，注意各不等式左邊最后一項(xiàng)的分母特點(diǎn)： ，猜想為，對(duì)應(yīng)各式右端為 。歸納得一般結(jié)論當(dāng)時(shí)，結(jié)論顯然成立。假設(shè)當(dāng) 時(shí)，結(jié)論成立，即 成立，則當(dāng) 時(shí)， ，即當(dāng)時(shí)結(jié)論也成立。由可知對(duì)任意，結(jié)論都成立。9. 解：（1）證明略。（2）方法一：， 。方法二：（由（1）的結(jié)論）= ， 。方法三：，故，因此。

11、“”“”at the end, xiao bian gives you a passage. minand once said, people who learn to learn are very happy people. in every wonderful life, learning is an eternal theme. as a professional clerical and teaching position, i understand the importance of continuous learning, life is diligent, nothing can be gained, only continuous learning can achieve better self. only by constantly learning and mastering the latest relevant knowledge, can employees from all walks of life keep up with the pace of enterprise development an