§2-4多維隨機(jī)變量及其分布

1、第二章 第四節(jié) 多維隨機(jī)變量及其分布24 多維隨機(jī)變量及其分布 在前面幾節(jié)我們討論的隨機(jī)變量，實(shí)際上也是一維隨機(jī)變量，即隨機(jī)變量是一個(gè)實(shí)數(shù)但在許多問(wèn)題中，我們遇到的大多是多維隨機(jī)變量例如，我們考察某地區(qū)居民的身體健康狀況，則樣本空間是該地區(qū)全體居民，該地區(qū)的每一個(gè)居民是一個(gè)樣本點(diǎn)，設(shè)表示該地區(qū)居民的身高，表示該地區(qū)居民的體重，表示該地區(qū)居民的肺活量，則、是三個(gè)隨機(jī)變量，我們稱為三維隨機(jī)變量同理，我們也可以定義多維隨機(jī)變量一多維隨機(jī)變量及其分布函數(shù) 定義 設(shè)E是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)，是其樣本空間，都是上的一維隨機(jī)變量，則稱為上的維隨機(jī)變量 當(dāng)時(shí)，我們稱為二維隨機(jī)變量即有 定義 設(shè)E是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)，是其樣

2、本空間， 與 都是上的一維隨機(jī)變量，則稱為上的二維隨機(jī)變量 對(duì)于以上定義，我們作以下說(shuō)明： 我們稱二維及以上的隨機(jī)變量為多維隨機(jī)變量，或者為多維隨機(jī)向量； 我們稱維隨機(jī)變量中每一個(gè)為此維隨機(jī)變量的分量，稱為維隨機(jī)變量的第個(gè)分量； 我們不應(yīng)把多維隨機(jī)變量看作是若干個(gè)一維隨機(jī)變量的機(jī)械組合，而應(yīng)把維隨機(jī)變量看作是一個(gè)整體因?yàn)榫S隨機(jī)變量中每一個(gè)分量之間都是有聯(lián)系的我們?cè)陂_始討論維隨機(jī)變量時(shí)，更應(yīng)當(dāng)注意分量之間的聯(lián)系 我們?cè)谟懻摼S隨機(jī)變量時(shí)，主要討論二維隨機(jī)變量因?yàn)槎S隨機(jī)變量的一些性質(zhì)是有別于一維隨機(jī)變量的；但二維以上的隨機(jī)變量的性質(zhì)與二維隨機(jī)變量的性質(zhì)是類似的 我們討論維隨機(jī)變量，首先討論維隨機(jī)變

3、量的分布函數(shù) 定義 設(shè)是一維隨機(jī)變量，則對(duì)于任意的維實(shí)數(shù)組，稱元函數(shù)（圖2.7）（圖2.8）為維隨機(jī)變量的分布函數(shù) 為方便起見(jiàn)，我們記為，即因此，維隨機(jī)變量的分布函數(shù)的定義可寫為 （2.4.1） 特別地，二維隨機(jī)變量的分布函數(shù)為 （2.4.2） 為了與后面所講的邊緣分布相區(qū)別，我們也稱為二維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布函數(shù) 如果我們把二維隨機(jī)變量看作平面上的隨機(jī)點(diǎn)，則由（2.4.2）式可知，二維隨機(jī)變量的分布函數(shù)就是二維隨機(jī)變量落在平面上以為右上頂點(diǎn)、其兩條邊分別平行于兩條坐標(biāo)軸的無(wú)窮矩形中的概率（見(jiàn)圖2.7） 設(shè)，則二維隨機(jī)變量落在以、為頂點(diǎn)的矩形（見(jiàn)圖2.8）中的概率為 即有 （2.4.3） 下面，

4、我們討論二維隨機(jī)變量的分布函數(shù)的性質(zhì)： 性質(zhì)一 對(duì)每一個(gè)變量是單調(diào)不減的即 當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)， 性質(zhì)二 對(duì)每一個(gè)變量是右連續(xù)的即 對(duì)任意的，；對(duì)任意的， 性質(zhì)三 對(duì)任意的，有 ；對(duì)任意的，有；以及二重極限另外還有極限 性質(zhì)四 對(duì)任意的，有 如同一維隨機(jī)變量的性質(zhì)一樣，二維隨機(jī)變量分布函數(shù)的上述四條性質(zhì)是二維隨機(jī)變量分布函數(shù)的四條基本性質(zhì)即任何二維隨機(jī)變量的分布函數(shù)都具有上述四條性質(zhì)；反之，用概率論的進(jìn)一步知識(shí)我們還可以證明，如果一個(gè)二元函數(shù)具有上述四條性質(zhì)，則此二元函數(shù)一定是某一個(gè)二維隨機(jī)變量的分布函數(shù)這里需要指出的是，在上述四條性質(zhì)中，性質(zhì)四是獨(dú)立于其它三條性質(zhì)之外的這一點(diǎn)與一維隨機(jī)變量分布函數(shù)

5、的性質(zhì)是有區(qū)別的二二維離散型隨機(jī)變量 在前面兩節(jié)，我們討論了一維離散型隨機(jī)變量和連續(xù)型隨機(jī)變量，并指出它們是兩類主要的一維隨機(jī)變量在這兩段，我們將離散型隨機(jī)變量與連續(xù)型隨機(jī)變量的概念推廣到二維隨機(jī)變量上來(lái)，并討論它們的性質(zhì) 定義 如果二維隨機(jī)變量只取有限個(gè)或可列個(gè)值，則稱為二維離散型隨機(jī)變量 設(shè)隨機(jī)變量的可能取值為隨機(jī)變量的可能取值為則二維離散型隨機(jī)變量的可能取值為并設(shè) （2.4.4）我們稱（2.4.4）式為二維離散型隨機(jī)變量的（聯(lián)合）分布律 二維離散型隨機(jī)變量的（聯(lián)合）分布律也可以寫為 （2.4.5） 如同一維離散型隨機(jī)變量的分布律一樣，二維離散型隨機(jī)變量的分布律有如下性質(zhì)： 性質(zhì)一 對(duì)任意

6、的，有 ； 性質(zhì)二 設(shè)為二維離散型隨機(jī)變量，其分布律如（2.4.4）所示，是其分布函數(shù)，則有 （2.4.6） 例1 擲3枚均勻的硬幣，設(shè) ：前兩枚硬幣出現(xiàn)正面的次數(shù)； ：三次拋擲中出現(xiàn)正面的次數(shù)與出現(xiàn)反面的次數(shù)差的絕對(duì)值試求的聯(lián)合分布律 解：的取值為0，1，2；的取值為1，3且 ， ， ， ， ， 寫成表格（2.4.5）的形式，得的聯(lián)合分布律為： 130102 例2 一批產(chǎn)品的一等品率為0.65，二等品率為0.25，其余的為三等品現(xiàn)從這批產(chǎn)品中任取一件，令 ， ，試求的聯(lián)合分布律 解：， ， ， 由此得的聯(lián)合分布律為： 0100.100.2510.650 例3 袋中有6只黑球和4只白球，現(xiàn)先后

7、從中各取出一只球，若采用有放回摸球；不放回摸球的方式，令 ， ，試就上面的兩種方式求出的聯(lián)合分布律 解：若采用有放回的方式摸球，則有 ， ， ， 由此得的聯(lián)合分布律為： 0100.160.2410.240.36 若采用不放回的方式摸球，則有 ， ， ， 由此得的聯(lián)合分布律為： 0101 例4 連續(xù)不斷地?cái)S一顆均勻的骰子，直到出現(xiàn)小于5點(diǎn)時(shí)為止，令表示最后一次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，表示擲骰子的次數(shù)，試求的聯(lián)合分布律 解：的取值為1，2，3，4；的取值為1，2，3， 的聯(lián)合分布律為 1231234其中 三二維連續(xù)型隨機(jī)變量 如同一維連續(xù)型隨機(jī)變量的定義一樣，我們可以給出二維連續(xù)型隨機(jī)變量的定義如下： 定義

8、設(shè)是二維隨機(jī)變量，是其分布函數(shù)，如果存在一個(gè)二元非負(fù)可積函數(shù)，使得對(duì)于任意的，有 （2.4.7）則稱是二維連續(xù)型隨機(jī)變量稱為的分布密度函數(shù)，或稱概率密度函數(shù)，簡(jiǎn)稱密度函數(shù) 與一維連續(xù)型隨機(jī)變量密度函數(shù)的性質(zhì)一樣，二維連續(xù)型隨機(jī)變量的密度函數(shù)有如下基本性質(zhì)： 性質(zhì)一 對(duì)任意的，有； 性質(zhì)二 由公式（2.4.7），我們可以得到，對(duì)幾乎所有的，有 （2.4.8）特別地，上式對(duì)于的連續(xù)點(diǎn)必須成立 設(shè)是二維連續(xù)型隨機(jī)變量的密度函數(shù)，則對(duì)平面上的任意區(qū)域，有 （2.4.9）即對(duì)于二維連續(xù)型隨機(jī)變量來(lái)講，落在平面上區(qū)域內(nèi)的概率，等于的密度函數(shù)在該區(qū)域上的二重積分 例5 設(shè)二維連續(xù)型隨機(jī)變量的密度函數(shù)為試求：

9、常數(shù)；概率（其中） 解：由密度函數(shù)的性質(zhì)二：，我們有 作極坐標(biāo)變換，則有 ，所以， 作極坐標(biāo)變換，則有 例6 設(shè)二維連續(xù)型隨機(jī)變量的密度函數(shù)為試求：常數(shù)；的分布函數(shù)；概率 解：由密度函數(shù)的性質(zhì)二：，我們有 所以， 由的密度函數(shù)的構(gòu)造，可知當(dāng)或者時(shí)，當(dāng)且時(shí)， ，即的分布函數(shù)為 例7 設(shè)二維連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)為試求的密度函數(shù) 解：由分布函數(shù)與密度函數(shù)之間的關(guān)系（2.4.8），我們有 下面我們介紹兩個(gè)常見(jiàn)的二維連續(xù)型隨機(jī)變量 1二維均勻分布 設(shè)是平面上的一個(gè)有界區(qū)域，其面積為，如果二維連續(xù)型隨機(jī)變量的密度函數(shù)為 （2.4.10）則稱隨機(jī)變量服從區(qū)域上的均勻分布 如果隨機(jī)變量服從區(qū)域上的均勻分布，則平面上的隨機(jī)點(diǎn)等可能地落在區(qū)域內(nèi)，即落在的一個(gè)子區(qū)域內(nèi)的概率與子區(qū)域的面積成正比，而與的形狀以及在內(nèi)的位置無(wú)關(guān) 2二元正態(tài)分布 如果二維連續(xù)型隨機(jī)變量的密度函數(shù)為 (2.4.11)其中是常數(shù)，則稱隨機(jī)變量服從參數(shù)為的二元正態(tài)分布，記作注1 我們將在下一章，引入元正態(tài)分布的概念，并介紹它的一些簡(jiǎn)單性質(zhì) 下面，我們引