第11講一元二次方程的應用-教案

1、 第11講 一元二次方程的應用 溫故知新解下列關于方程：(1) (2) (3)x 2-2x=-1【解答】 ：（1） （2）無實數(shù)解 （3） 課堂導入1、初一學過一元一次方程的應用，實際上是據(jù)實際題意，設未知數(shù)，列出一元一次方程求解，從而得到問題的解決但有的實際問題，列出的方程不是一元一次方程，是一元二次方程，這就是我們本節(jié)課所研究的問題-一元二次方程的應用。2、從列方程解應用題的方法來說，列出的一元二次方程解應用題與列出一元一次方程解應用題類似，都是根據(jù)問題中的相等關系列出方程、解方程、判斷根是否適合題意、作出正確的答案列出一元二次方程解應用問題3、列方程解應用問題的步驟：審題；找相等關系；設

2、未知數(shù)；列方程；解方程；答。知識要點一 一元二次方程數(shù)字問題1、兩位數(shù)表示：十位數(shù)字 10 + 個位數(shù)字2、三位數(shù)字：百位數(shù)字 100 + 十位數(shù)字 10 +個位數(shù)字3、三個連續(xù)偶數(shù)：三個連續(xù)整數(shù)： 典例分析例1有兩個連續(xù)整數(shù)，它們的平方和為25，求這兩個數(shù)?！窘獯稹吭O這兩個連續(xù)整數(shù)的第一個數(shù)位x，另一個數(shù)為（x+1），根據(jù)題意列方程得，x2+（x+1）2=25，解得x1=-4，x2=3，當x=-4時，x+1=-3；當x=3時，x+1=4；答：這兩個連續(xù)整數(shù)是-4、-3或3、4舉一反三1、一個兩位數(shù)，十位數(shù)字與個位數(shù)字之和是6，把這個數(shù)的個位數(shù)字與十位數(shù)字對調后，所得的新兩位數(shù)與原來的兩位數(shù)的

3、積是1008，求這個兩位數(shù)【解答】解：設原兩位數(shù)的個位數(shù)字為x，十位數(shù)字為（6-x），根據(jù)題意可知，10（6-x）+x10x+（6-x）=1008，即x2-6x+8=0，解得x1=2，x2=4，6-x=4，或6-x=2，10（6-x）+x=42或10（6-x）+x=24，答：這個兩位數(shù)是42或24知識要點二一元二次方程的面積問題1、矩形面積= 長 寬2、三角形面積 = 3、梯形面積= （上底 + 下底） 高4、圓的面積= 為半徑）典例分析例1有一塊長方形的鋁皮，長24cm、寬18cm，在四角都截去相同的小正方形，折起來做成一個沒蓋的盒子，使底面積是原來面積的一半，求盒子的高【解答】解：設盒子高

4、是xcm列方程得（24-2x）（18-2x）=0.52418，解得x=3或x=18（不合題意，舍去）答：盒子高是3cm例2如圖，利用一面墻（墻的長度不超過45m），用80m長的籬笆圍一個矩形場地怎樣圍才能使矩形場地的面積為750m2?能否使所圍矩形場地的面積為810m2，為什么?【解答】解：設所圍矩形ABCD的長AB為x米，則寬AD為米依題意，得 即，解此方程，得 墻的長度不超過45m，不合題意，應舍去當時，所以，當所圍矩形的長為30m、寬為25m時，能使矩形的面積為750m 不能因為由得 又(80)2411620=800，上述方程沒有實數(shù)根因此，不能使所圍矩形場地的面積為810m2舉一反三1

5、、如圖，在一塊長為32m，寬為20m長方形的土地上修筑兩條同樣寬度的道路，余下部分作為耕地要使耕地的面積是540m2，求小路寬的寬度【解答】解：設道路的寬為x米依題意得：（32-x）（20-x）=540，解之得x1=2，x2=50（不合題意舍去）答：道路寬為2m2.如圖，在ABC中，B=90，AB=6厘米，BC=8厘米點P從A點開始沿AB邊向點B以1厘米/秒的速度移動（到達點B即停止運動），點Q從B點開始沿BC邊向點C以2厘米/秒的速度移動（到達點C即停止運動）（1）如果P、Q分別從A、B兩點同時出發(fā)，經過幾秒鐘，PBQ的面積等于ABC的三分之一？（2）如果P、Q兩點分別從A、B兩點同時出發(fā)，

6、而且動點P從A點出發(fā)，沿AB移動（到達點B即停止運動），動點Q從B出發(fā)，沿BC移動（到達點C即停止運動），幾秒鐘后，P、Q相距6厘米？【解答】解：（1）設t秒后，PBQ的面積等于是ABC的三分之一，根據(jù)題意得：2t（6t）=68，解得：t=2或4答：2秒或4秒后，PBQ的面積等于是ABC的三分之一（2）設x秒時，P、Q相距6厘米，根據(jù)題意得：（6x）2+（2x）2=36，解得：x=0（舍去）或x=答：秒時，P、Q相距6厘米3.如圖，有長為22米的籬笆，一面利用墻（墻的最大可用長度為14米），圍成中間隔有一道籬笆的長方形花圃，為了方便出入，在建造籬笆花圃時，在BC上用其他材料造了寬為1米的兩個小

7、門（1）設花圃的寬AB為x米，請你用含x的代數(shù)式表示BC的長（243x）米；（2）若此時花圃的面積剛好為45m2，求此時花圃的寬【解答】解：（1）BC=22+23x=243x故答案為（243x）；（2）x（243x）=45，化簡得：x28x+15=0，解得：x1=5，x2=3當x=5時，243x=914，符合要求；當x=3時，243x=1514，不符合要求，舍去答：花圃的寬為5米知識要點三 一元二次方程的利潤問題1、每件利潤=售價 - 進價總利潤=每件利潤 銷售量利潤率 = 利潤 = 進價 利潤率售價 = 進價 典例分析例1某市場銷售一批名牌襯衫，平均每天可銷售20件，每件贏利40元為了擴大銷

8、售，增加贏利，盡快減少庫存，商場決定采取適當降價措施經調查發(fā)現(xiàn)，如果每件襯衫每降價1元，商場平均每天可多售出2件求：（1）若商場平均每天要贏利1200元，每件襯衫應降價多少元？（2）要使商場平均每天贏利最多，請你幫助設計方案【解答】：設每天利潤為w元，每件襯衫降價x元，根據(jù)題意得w=（40-x）（20+2x）=-2x2+60x+800=-2（x-15）2+1250（1）當w=1200時，-2x2+60x+800=1200， 解之得x1=10，x2=20 根據(jù)題意要盡快減少庫存，所以應降價20元答：每件襯衫應降價20元（2）解：商場每天盈利（40-x）（20+2x）=-2（x-15）2+1250

9、 當x=15時，商場盈利最多，共1250元答：每件襯衫降價15元時，商場平均每天盈利最多舉一反三1某商場將進價為2000元的冰箱以2400元售出，平均每天能售出8臺，為了配合國家“家電下鄉(xiāng)”政策的實施，商場決定采取適當?shù)慕祪r措施，調查表明：這種冰箱的售價每降低50元，平均每天就能多售出4臺，商場要想在這種冰箱銷售中每天盈利4800元，同時又要使百姓得到實惠，每臺冰箱應降價多少元？【解答】解：設每臺冰箱應降價x元 ,那么(8+4) (2400x2000)=4800 所以(x - 200)(x - 100)=0 x = 100或200 所以每臺冰箱應降價100或200元. 2.西瓜經營戶以2元/千

10、克的價格購進一批小型西瓜，以3元/千克的價格出售,每天可售出200千克.為了促銷,該經營戶決定降價銷售.經調查發(fā)現(xiàn),這種小型西瓜每降價O.1元/千克，每天可多售出40千克.另外，每天的房租等固定成本共24元.該經營戶要想每天盈利2O0元，應將每千克小型西瓜的售價降低多少元?【解答】解：設應將每千克小型西瓜的售價降低x元根據(jù)題意，得： 解得：0.2，0.3 答：應將每千克小型西瓜的售價降低0.2或0.3元。知識要點四 一元二次方程的其他問題1、平均變化率問題 增長率（1）原產量+增產量=實際產量（2）單位時間增產量=原產量增長率（3）實際產量=原產量（1+增長率）2、相互問題（傳播、循環(huán)） 典例

11、分析例1.某鋼鐵廠去年一月份某種鋼的產量為5000噸，三月份上升到7200噸，這兩個月平均每月增長的百分率是多少？【解答】解：設平均每月的增長率為x，據(jù)題意得：5000（1+x）2=7200 （1+x）2=1.44 1+x=1.2x1=0.2，x2=-2.2（不合題意，舍去）取x=0.2=20例2.（1）參加一次聚會的每兩人都握了一次手,所有人共握手15次,有多少人參加聚會?【解答】解：設有n人，（n-6）（n+5）=0， n=6或n=-5（舍去） 參加這次聚會有6人(2) 某初三畢業(yè)班的每一個同學都把自己的照片向全班其他的同學各送一張留作紀念，全班共送了3080張照片如果該班有x名同學，根據(jù)

12、題意可列出方程為?【解答】解：全班有x名學生，那么每名學生送照片x-1張；全班應該送照片x（x-1），則可列方程為：x（x-1）=3080舉一反三1、有一人患了流感，經過兩輪傳染后共有169人患了流感（1）求每一輪傳染中平均一個人傳染了幾個人？（2）如果按照這樣的傳染速度，經過三輪傳染后共有多少人患上流感？【解答】解：（1）設平均一人傳染了x人，x+1+（x+1）x=169x1=12或x2=-14（舍去）答：平均一人傳染12人（2）經過三輪傳染后患上流感的人數(shù)為：169+12169=2197（人），答：經過三輪傳染后患上流感的人數(shù)為2197人2、某種植物的主干長出若干數(shù)目的支干，每個支干又長出

13、同樣數(shù)目的小分支，主干、支干和小分支的總數(shù)是91，每個支干長出多少小分支？【解答】分析:由題意設每個支干長出的小分支的數(shù)目是x個，每個小分支又長出x個分支，則又長出個分支，則共有+x+1個分支，即可列方程求得x的值解答：解：設每個支干長出的小分支的數(shù)目是x個，根據(jù)題意列方程得：+x+1=91，解得：x=9或x=-10（不合題意，應舍去）；x=9；答：每支支干長出9個小分支3.要組織一場籃球聯(lián)賽,賽制為單循環(huán)形式,即每兩隊之間都賽一場,計劃安排28場比賽,應邀請多少個球隊參加比賽?【解答】解：設邀請x個球隊參加比賽，依題意得1+2+3+x-1=15， 即x2-x-30=0，x=6或x=-5（不合

14、題意，舍去）答：應邀請6個球隊參加比賽學霸說者注意以下幾個問題：（1）為計算簡便、直接求得，可以直接設增長的百分率為x（2）認真審題，弄清基數(shù)，增長了，增長到等詞語的關系（3）用直接開平方法做簡單，不要將括號打開規(guī)律：設某產量原來的產值是a，平均每次增長的百分率為x，則增長一次后的產值為a（1+x），增長兩次后的產值為a（1+x）2 ，增長n次后的產值為S=a（1+x）裸裸的殘酷的掠奪，激起了當?shù)赝林褡孱B強的反抗。 課堂闖關初出茅廬1如圖，一農戶要建一個矩形花圃，花圃的一邊利用長為12m的住房墻，另外三邊用25m長的籬笆圍成，為方便進出，在垂直于住房墻的一邊留一個1m寬的門，花圃面積為80m

15、2，設與墻垂直的一邊長為xm（已標注在圖中），則可以列出關于x的方程是（）Ax（262x）=80 Bx（242x）=80 C（x1）（262x）=80Dx（252x）=80【解答】解：設與墻垂直的一邊長為xm，則與墻平行的一邊長為（262x）m，根據(jù)題意得：x（262x）=80故選A2某種品牌運動服經過兩次降價，每件零售價由560元降為315元，已知兩次降價的百分率相同，求每次降價的百分率設每次降價的百分率為x，下面所列的方程中正確的是（）A560（1+x）2=315 B560（1x）2=315C560（12x）2=315 D560（1x2）=315【解答】解：設每次降價的百分率為x，由題意得

16、：560（1x）2=315，故選：B3有x支球隊參加籃球比賽，共比賽了45場，每兩隊之間都比賽一場，則下列方程中符合題意的是（）Ax（x1）=45 Bx（x+1）=45 Cx（x1）=45 Dx（x+1）=45【解答】解：有x支球隊參加籃球比賽，每兩隊之間都比賽一場，共比賽場數(shù)為x（x1），共比賽了45場，x（x1）=45，故選A4某公司今年銷售一種產品，一月份獲得利潤10萬元，由于產品暢銷，利潤逐月增加，一季度共獲利36.4萬元，已知2月份和3月份利潤的月增長率相同設2，3月份利潤的月增長率為x，那么x滿足的方程為（）A10（1+x）2=36.4 B10+10（1+x）2=36.4C10+1

17、0（1+x）+10（1+2x）=36.4 D10+10（1+x）+10（1+x）2=36.4【解答】解：設二、三月份的月增長率是x，依題意有10+10（1+x）+10（1+x）2=36.4，故選D5餐桌桌面是長為160cm，寬為100cm的長方形，媽媽準備設計一塊桌布，面積是桌面的2倍，且使四周垂下的邊等寬若設垂下的桌布寬為xcm，則所列方程為（）A（160+x）（100+x）=1601002 B（160+2x）（100+2x）=1601002C（160+x）（100+x）=160100 D2（160x+100x）=160100【解答】解：依題意得：桌布面積為：1601002，桌面的長為：16

18、0+2x，寬為：100+2x，則面積為=（160+2x）（100+2x）=2160100故選B6某機械廠七月份生產零件50萬個，第三季度生產零件196萬個設該廠八、九月份平均每月的增長率為x，那么方程是50+50（1+x）+50（1+x）2=196【解答】解：七月份生產零件50萬個，設該廠八九月份平均每月的增長率為x，八月份的產量為50（1+x）萬個，九月份的產量為50（1+x）2萬個，50+50（1+x）+50（1+x）2=196，故答案為：50+50（1+x）+50（1+x）2=1967如圖，在長70m，寬40m的長方形花園中，欲修寬度相等的觀賞路（如陰影部分所示），要使觀賞路面積占總面積

19、的，則路寬x應滿足的方程是（703x）（402x）=4070（1）【解答】解：設路寬為xm，由題意得，（703x）（402x）=4070（1）故答案為：（703x）（402x）=4070（1）8參加一次聚會的每兩人都握了一次手，所有人共握手10次，有5人參加聚會【解答】解：設有 x人參加聚會，根據(jù)題意列方程得，=10，解得x1=5，x2=4（不合題意，舍去）；答：有 5人參加聚會故答案為：5優(yōu)學學霸1如圖所示，某幼兒園有一道長為16米的墻，計劃用32米長的圍欄靠墻圍成一個面積為120平方米的矩形草坪ABCD求該矩形草坪BC邊的長【解答】解：設BC邊的長為x米，則AB=CD=米，根據(jù)題意得：x=

20、120，解得：x1=12，x2=20，2016，x2=20不合題意，舍去，答：矩形草坪BC邊的長為12米2龍華天虹商場以120元/件的價格購進一批上衣，以200元/件的價格出售，每周可售出100件為了促銷，該商場決定降價銷售，盡快減少庫存經調查發(fā)現(xiàn)，這種上衣每降價5元/件，每周可多售出20件另外，每周的房租等固定成本共3000元該商場要想每周盈利8000元，應將每件上衣的售價降低多少元？【解答】解：設每件上衣應降價x元，則每件利潤為（80x）元，列方程得：（80x）（100+x）3000=8000，解得：x1=30，x2=25因為為了促銷，該商場決定降價銷售，盡快減少庫存，所以x=30答：應將

21、每件上衣的售價降低30元 自我挑戰(zhàn)1某超市一月份的營業(yè)額為100萬元，三月份的營業(yè)額為144萬元，如果每月比上月增長的百分數(shù)相同，則平均每月的增長率為（）A10% B15% C20% D25%【解答】解：設增長率為x，根據(jù)題意得100（1+x）2=144，解得x=2.2（不合題意舍去），x=0.2所以每月的增長率應為20%故選C2要組織一次排球邀請賽，參賽的每個隊之間都要比賽一場，根據(jù)場地和時間等條件，賽程計劃安排7天，每天安排4場比賽設比賽組織者應邀請x個隊參賽，則x滿足的關系式為（）Ax（x+1）=28Bx（x1）=28 Cx（x+1）=28 Dx（x1）=28【解答】解：每支球隊都需要與

22、其他球隊賽（x1）場，但2隊之間只有1場比賽，所以可列方程為：x（x1）=47故選：B3用一條長為40cm的繩子圍成一個面積為acm2的長方形，a的值不可能為（）A20 B40 C100 D120【解答】解：設圍成面積為acm2的長方形的長為xcm，則寬為（402x）cm，依題意，得x（402x）=a，整理，得x220x+a=0，=4004a0，解得a100，故選：D4某市2013年生產總值（GDP）比2012年增長了12%，由于受到國際金融危機的影響，預計今年比2013年增長7%若這兩年GDP年平均增長率為x%，則x%滿足的關系是（）A12%+7%=x% B（1+12%）（1+7%）=2（1

23、+x%）C12%+7%=2x% D（1+12%）（1+7%）=（1+x%）2【解答】解：設2012年的國內生產總值為1，2013年國內生產總值（GDP）比2012年增長了12%，2013年的國內生產總值為1+12%；2014年比2013年增長7%，2014年的國內生產總值為（1+12%）（1+7%），這兩年GDP年平均增長率為x%，2014年的國內生產總值也可表示為：（1+x%）2，可列方程為：（1+12%）（1+7%）=（1+x%）2故選D5某廠改進工藝降低了某種產品的成本，兩個月內從每件產品250元，降低到了每件160元，平均每月降低率為（）A15% B20% C5% D25%【解答】解：

24、如果設平均每月降低率為x，根據(jù)題意可得250（1x）2=160，x1=0.2，x2=1.8（不合題意，舍去）故選B6如圖，在一塊矩形的荒地上修建兩條互相垂直且寬度相同的小路，使剩余面積是原矩形面積的一半，具體尺寸如圖所示求小路的寬是多少？設小路的寬是xm，根據(jù)題意可列方程為（30x）（20x）=3020【解答】解：設道路的寬應為x米，由題意有（30x）（20x）=3020故答案為：（30x）（20x）=30207一個長為10m的梯子斜靠在墻上，梯子的頂端距地面的垂直距離為8m如果梯子的頂端下滑1m，梯子的底端滑動xm，可得方程（6+x）2+（81）2=102【解答】解：設梯子的底端滑動xm=6，（6+x）2+（81）2=102故答案為：（6+x）2+（81）2=1028某印刷廠1月份印刷了60冊書籍，2月和3月份印刷書籍的冊數(shù)按相同增長率x增長，第3月份印刷了書籍達到200萬冊為求出x，可列出方程60+60（1+x）+60（1+x）2=200【解答】解：如果設2，3月份平均每月的增長率是x，那么可以用x表示2，3月份的印刷書籍分別是60（1+x）、60（1+