第七章-一維波動(dòng)方程的解題方法及習(xí)題答案

1、第二篇 數(shù)學(xué)物理方程物理問(wèn)題中的二階線性偏微分方程及其解法Abstracts:1、根據(jù)物理問(wèn)題導(dǎo)出數(shù)理方程偏微分方程；2、給定數(shù)理方程的附加條件：初始條件、邊界條件、物理?xiàng)l件(自然條件，連接條件)，從而與數(shù)理方程一起構(gòu)成定解問(wèn)題；3、方程齊次化；、數(shù)理方程的線性導(dǎo)致解的疊加。一、數(shù)理方程的來(lái)源和分類(lèi)（狀態(tài)描述、變化規(guī)律）1、來(lái)源I質(zhì)點(diǎn)力學(xué)：牛頓第二定律連續(xù)體力學(xué)II.麥克斯韋方程III. 熱力學(xué)統(tǒng)計(jì)物理特別: 穩(wěn)態(tài)（）: (Laplace equation).IV. 量子力學(xué)的薛定諤方程：2. 分類(lèi)物理過(guò)程方 程數(shù)學(xué)分類(lèi)振動(dòng)與波波動(dòng)方程雙曲線輸運(yùn)方程拋物線穩(wěn)態(tài)方程Laplace equatio

2、n橢圓型二、數(shù)理方程的導(dǎo)出推導(dǎo)泛定方程的原則性步驟：（1）定變量：找出表征物理過(guò)程的物理量作為未知數(shù)（特征量），并確定影響未知函數(shù)的自變量。（2）立假設(shè)：抓主要因素，舍棄次要因素，將問(wèn)題“理想化”-“無(wú)理取鬧”（物理趣樂(lè)）。（3）取局部：從對(duì)象中找出微小的局部（微元），相對(duì)于此局部一切高階無(wú)窮小均可忽略-線性化。（4）找作用：根據(jù)已知物理規(guī)律或定律，找出局部和鄰近部分的作用關(guān)系。（5）列方程：根據(jù)物理規(guī)律在局部上的表現(xiàn)，聯(lián)系局部作用列出微分方程。Chapter 7 一維波動(dòng)方程的傅里葉解第一節(jié) 一維波動(dòng)方程-弦振動(dòng)方程的建立7.1.1 弦橫振動(dòng)方程的建立（一根張緊的柔軟弦的微小振動(dòng)問(wèn)題）（1）

3、定變量：取弦的平衡位置為軸。表征振動(dòng)的物理量為各點(diǎn)的橫向位移，從而速度為，加速度為.（2）立假設(shè)：弦振動(dòng)是微小的，因此，又，；弦是柔軟的，即在它的橫截面內(nèi)不產(chǎn)生應(yīng)力，則在拉緊的情況下弦上相互間的拉力即張力始終是沿弦的切向(等價(jià)于弦上相互間有小的彈簧相連)；所有外力都垂直于軸，外力線密度為；設(shè)弦的線密度（細(xì)長(zhǎng)）為，重力不計(jì)。（3）取局部：在點(diǎn)處取弦段,是如此之小,以至可以把它看成質(zhì)點(diǎn)(微元)。質(zhì)量微元：；微弧長(zhǎng)：（即這一小段的長(zhǎng)度在振動(dòng)過(guò)程中可以認(rèn)為是不變的，因此它的密度不隨時(shí)間變化，另外根據(jù)Hooke定律可知，張力也不隨時(shí)間變化，我們把它們分別記為和.（4）找作用：找出弦段所受的力。外力：，垂

4、直于軸方向；張力變化：,方向緊繃，,垂直于軸方向。（5）列方程：根據(jù)牛頓第二定律，因方向無(wú)位移，故.即，其中是單位質(zhì)量所受外力。如果弦是均勻的，即為常數(shù)，則可寫(xiě)為弦振動(dòng)的傳播速度，則.自由振動(dòng)(): (齊次方程)。小結(jié)1：對(duì)于弦的橫振動(dòng)、桿的縱振動(dòng)方程（一根彈性均勻細(xì)桿的微小振動(dòng)問(wèn)題）、薄膜的橫振動(dòng)方程（張緊的柔軟膜的微小振動(dòng)問(wèn)題），在不受外力情況下，其振動(dòng)的微分方程為：（齊次方程）其中a為振動(dòng)的傳播的速度。當(dāng)單位質(zhì)量所受外力為時(shí)，其振動(dòng)微分方程為：（非齊次方程）7.1.2 定解問(wèn)題第一節(jié)從物理問(wèn)題和相應(yīng)的物理定律導(dǎo)出了其所滿足的偏微分方程，但總是選擇物體內(nèi)部，不含端點(diǎn)或邊界，對(duì)一小部分來(lái)討論

5、其運(yùn)動(dòng)狀況，僅反映了物體內(nèi)部各部分之間的相互聯(lián)系，且在區(qū)域內(nèi)部相鄰之間、相繼時(shí)刻之間的這種聯(lián)系（規(guī)律）通常與周?chē)h(huán)境（邊界上）和初始時(shí)刻對(duì)象（體系）所處的狀態(tài)無(wú)關(guān)。僅有方程還不足以確定物體的運(yùn)動(dòng)，因?yàn)橥饨绲淖饔猛ǔＪ峭ㄟ^(guò)物體邊界“傳”到內(nèi)部的；一個(gè)方程可能有多個(gè)解，通解中含若干任意常數(shù)（函數(shù)），初始條件和邊界條件就是確定它們的條件。求一個(gè)微分方程的解滿足一定初始條件和邊界條件的問(wèn)題稱為定解問(wèn)題：泛定方程&1. 初始條件即已知初位移和初速度2. 邊界條件i. 第一類(lèi)邊界條件-狄利克雷條件（Dirichlet邊界條件）：直接給出了未知函數(shù)在邊界上的值。ii. 第二類(lèi)邊界條件-諾依曼條件（Neuma

6、nn邊界條件）：給出未知函數(shù)在邊界上法向?qū)?shù)的值。自由端點(diǎn)邊界（端點(diǎn)不受外力，自由振動(dòng)，意味著弦張力在振動(dòng)方向無(wú)分量）屬于此類(lèi)，邊界條件為iii. 第三類(lèi)邊界條件-羅賓條件：給出未知函數(shù)和其邊界法向?qū)?shù)在邊界上的線性關(guān)系。彈性支撐邊界（端點(diǎn)受到彈簧的約束而無(wú)外力）屬于此類(lèi)，邊界條件為：Note：初始條件和邊界條件是場(chǎng)運(yùn)動(dòng)規(guī)律的極限。例1對(duì)弦的橫振動(dòng)問(wèn)題導(dǎo)出下列情況的定解條件：弦的兩端點(diǎn)和固定，用手將弦上的點(diǎn)拉開(kāi)使之與平衡位置的偏離為（），然后放手。解：兩端固定，所以邊界條件為：由點(diǎn)的初始位移求出其他點(diǎn)的初始位移，它們是兩段直線方程，容易求得：顯然，初速度為零：第二節(jié) 齊次方程混合問(wèn)題的傅里葉解

7、分離變量法 本征值問(wèn)題Abstract：求解數(shù)理方程定解問(wèn)題的方法有分離變量法、行波法、積分變換法、變分法、復(fù)變函數(shù)論等，這些方法各有千秋。分離變量法普遍適用，在其使用條件下，自然導(dǎo)致了問(wèn)題的核心本征值問(wèn)題。求解常微分方程：一般先求通解，再用初始/邊界條件定其參數(shù)；求解偏微分方程，即使求得通解，亦難于由定解條件來(lái)定解（含任意函數(shù)）本征值問(wèn)題可解決此類(lèi)問(wèn)題。7.2.1 利用分離變量法求解齊次弦振動(dòng)方程的混合問(wèn)題分離變量法：把二元函數(shù)表示為兩個(gè)一元函數(shù)相乘；然后帶入函數(shù)的二階偏微分齊次方程，把偏微分方程化為兩個(gè)常微分方程；把偏微分方程的邊界條件轉(zhuǎn)化為常微分方程的邊界條件。題型I：方程和邊界條件都是

8、齊次的，而初始條件是非齊次的。例題1：下面以兩端固定弦的自由振動(dòng)為例(第一類(lèi)齊次邊界條件):注意這里的邊界條件。第一步, 分離變量，將二階偏微分方程轉(zhuǎn)化為兩個(gè)常微分方程。設(shè)取此特解形式，可得駐波解：是振蕩函數(shù)，而與無(wú)關(guān)，是幅度函數(shù)，與無(wú)關(guān),將此代入泛定方程，即得等式兩端除以，就有.注意在這個(gè)等式中，左端只是的函數(shù)，與無(wú)關(guān)，而右端只是的函數(shù)，與無(wú)關(guān)。因此，左端和右端相等，就必須共同等于一個(gè)既與無(wú)關(guān)、又與無(wú)關(guān)的常數(shù)。令這個(gè)常數(shù)為(參數(shù))，即，.由此得到兩個(gè)常微分方程： （7.1） （7.2）第二步，將原來(lái)的邊界條件轉(zhuǎn)化為的邊界條件。將此代入邊界條件，得，轉(zhuǎn)化為的邊界條件：，因?yàn)椴豢赡芎銥?，否則恒

9、為0 （7.3）這樣就完成了分離變量法求解偏微分方程定解（亦定界）問(wèn)題的前兩步：分離變量。在這兩步中，假設(shè)所要求的是變量分離形式的非零解，導(dǎo)出了函數(shù)應(yīng)該滿足的常微分方程和邊界條件，以及所滿足的常微分方程。分離變量之所以能夠?qū)崿F(xiàn)，是因?yàn)樵瓉?lái)的偏微分方程和邊界條件都是齊次的（可分離變量）。第三步,求解本征值問(wèn)題上面得到的函數(shù)的常微分方程定解問(wèn)題，稱為本征值問(wèn)題。其特點(diǎn)是：常微分方程中含有一個(gè)待定常數(shù)，而定解條件，是一對(duì)齊次邊界條件。這樣的定解問(wèn)題不同于我們過(guò)去熟悉的常微分方程的初值問(wèn)題。下面將看到，并非對(duì)于任何值，都有既滿足齊次常微分方程，又滿足齊次邊界條件的非零解。只有當(dāng)取某些特定值時(shí)，才有既滿

10、足齊次常微分方程，又滿足齊次邊界條件的非零解.的這些特定值稱為本征值(eigenvalue)，相應(yīng)的非零解稱為本征函數(shù)(eigenfunction).通過(guò)討論分析得出只有時(shí)，方程（7.2）的解才有意義。因此，時(shí)解（7.2）式得，.將這個(gè)通解代入邊界條件（7.3），就有即和不能同時(shí)為0，否則恒為零，恒為0（平凡解，雖然零解無(wú)物理意義，但至少說(shuō)明數(shù)學(xué)上可能行得通），因此只能是，即 .于是，只能取如下的一系列值： ；相應(yīng)的本征函數(shù)就是：這里取，因?yàn)槲覀兯蟮谋厝恢皇蔷€性無(wú)關(guān)解。不同的值給出的是線性相關(guān)的。由于同樣的原因，我們也不必考慮為負(fù)整數(shù)的情形。這樣求得的本征值有無(wú)窮多個(gè)，他們可以用正整數(shù)標(biāo)記

11、，因此，我們把本征值和本征函數(shù)分別記為和.第四步,求特解，并進(jìn)一步疊加出一般解：對(duì)于每一個(gè)本征值，由（7.1）解出相應(yīng)的:.因此，也就得到了滿足偏微分方程和邊界條件的特解: .這樣的特解有無(wú)窮多個(gè)。每一個(gè)特解都同時(shí)滿足齊次偏微分方程和齊次邊界條件。它們是一系列的駐波。但是，一般來(lái)說(shuō)，單獨(dú)任何一個(gè)特解都不能滿足定解問(wèn)題中的初始條件。然而，由于偏微分方程和邊界條件都是齊次的，把它們的特解線性疊加起來(lái)，即.這樣得到的也仍然是齊次偏微分方程在齊次邊界條件下的解（當(dāng)然要求此級(jí)數(shù)收斂且可以逐項(xiàng)求二階偏導(dǎo)，即求和和求導(dǎo)可以交換次序）。這種形式的解稱為一般解?，F(xiàn)在根據(jù)初始條件中的已知函數(shù)和定出疊加系數(shù)和.將上

12、面的一般解代入初始條件，得注：是已知函數(shù)而非任意函數(shù)既要滿足方程又要滿足條件。由構(gòu)成，亦由構(gòu)成。初、邊條件僅是其內(nèi)部規(guī)律的極限。第五步,利用本征函數(shù)的正交性確定疊加系數(shù)：設(shè)和是分別對(duì)應(yīng)本征值和的兩個(gè)本征函數(shù)，（即）. 顯然，它們分別滿足 （7.6）， （7.7）和 （7.8）， （7.9）用乘以(7.6)，用乘以(7.8)，相減并在區(qū)間上積分，即得其中利用了和所滿足的邊界條件（7.7）和（7.9）.考慮到，因此，就證得本征函數(shù)的正交性:.進(jìn)一步計(jì)算還可以得到本征函數(shù)的模方:.因此，在(7.4)式兩端同乘以，并逐項(xiàng)積分，就得到所以，. 同樣可以得到，.（實(shí)為傅里葉級(jí)數(shù)的奇延拓）這樣，根據(jù)初始條件

13、中的已知函數(shù)和，計(jì)算出積分，就可以得到疊加系數(shù)和，從而就求得了整個(gè)定解問(wèn)題的解。Step 6,解的物理解釋先觀察特解：其中，.因此，代表一個(gè)駐波，表示線上各點(diǎn)的振幅分布，表示點(diǎn)諧振動(dòng)。是駐波的圓頻率，稱為兩端固定弦的固有頻率或本征頻率，與初始條件無(wú)關(guān)；稱為波數(shù)，是單位長(zhǎng)度上波的個(gè)數(shù)；稱為位相，由初始條件決定。在，即的各點(diǎn)上，振動(dòng)的幅度恒為0，稱為波節(jié)。包括弦的兩個(gè)端點(diǎn)在內(nèi)，波節(jié)點(diǎn)共有個(gè)。在，即的各點(diǎn)上，振幅的絕對(duì)值恒為最大，稱為波腹。波腹共有個(gè)。整個(gè)問(wèn)題的解則是這些駐波的迭加。正是因?yàn)檫@個(gè)原因，這種解法也稱為駐波法(a generized method of the separation va

14、riables).就兩端固定弦來(lái)說(shuō)，固有頻率中有一個(gè)最小值，即，稱為基頻。其它固有頻率都是它的整數(shù)倍，稱為倍頻。弦的基頻決定了所發(fā)聲音的音調(diào)。在弦樂(lè)器中，當(dāng)弦的質(zhì)料一定（即一定）時(shí)，通過(guò)改變弦的繃緊程度（即改變張力T的大小），就可以調(diào)節(jié)基頻的大小?；l和倍頻的迭加系數(shù)和的相對(duì)大小決定了聲音的頻譜分布，即決定了聲音的音色。小結(jié)2：對(duì)于弦振動(dòng)的齊次方程和第一類(lèi)齊次邊界條件的混合問(wèn)題，即：（注意：這里的x的范圍和函數(shù)的邊界條件的表示）它的解是：其中：習(xí)題七的1-6題屬于例題1類(lèi)型。例題2，弦振動(dòng)的齊次邊界條件中存在第二類(lèi)邊界條件，如：注意：邊界條件與例題1不一樣。第一步，分離變量，將偏微分方程轉(zhuǎn)化為

15、兩個(gè)常微分方程。令，并代入泛定方程，即得等式兩端同時(shí)除以，就有.由此得到兩個(gè)常微分方程：第二步，將原函數(shù)的邊界條件化為分離變量后函數(shù)的邊界條件。將代入關(guān)于的一對(duì)齊次邊界條件，得，得X的邊界條件為：，第三步，解本征值問(wèn)題。這樣，我們得到本征值問(wèn)題:, ，.才有解. 解得：.得到：代入邊界條件，就有即和不能同時(shí)為0，否則恒為零，因而恒為0（平凡解）。因此只能是，即 .于是，只能取如下的一系列值：;相應(yīng)的本征函數(shù)就是：.第四步，解的微分方程，得到的特解，疊加得出一般解。對(duì)于每一個(gè)本征值，可以求出相應(yīng)的:因此，也就得到了滿足邊界條件的特解:把這些特解疊加起來(lái)，就得到一般解:.第五步，由本征函數(shù)的正交歸

16、一性，得到系數(shù)，確定解。將上面的一般解代入初始條件，根據(jù)本征函數(shù)的正交性得系數(shù)為：例題3，弦振動(dòng)的齊次方程和齊次第一類(lèi)、第二類(lèi)邊界條件注意：邊界條件與例題1、例題2都不一樣。第一步，分離變量，將偏微分方程轉(zhuǎn)化為兩個(gè)常微分方程。令，并代入泛定方程，即得等式兩端同時(shí)除以，就有.由此得到兩個(gè)常微分方程：第二步，將原函數(shù)的邊界條件化為分離變量后函數(shù)的邊界條件。將代入關(guān)于的一對(duì)齊次邊界條件，得，這時(shí)也可以分離變量，得X的邊界條件為：，.第三步，解本征值問(wèn)題。這樣，我們得到本征值問(wèn)題:, ，.才有解. 解得：.得到：以上兩式代入邊界條件，就有即和不能同時(shí)為0，否則恒為零，因而恒為0（平凡解）。因此只能是，

17、即 .于是，只能取如下的一系列值：;相應(yīng)的本征函數(shù)就是：.第四步，解的微分方程，得到的特解，疊加得出一般解。對(duì)于每一個(gè)本征值，可以求出相應(yīng)的:因此，也就得到了滿足邊界條件的特解:把這些特解疊加起來(lái)，就得到一般解:第五步，由本征函數(shù)的正交歸一性，得到系數(shù)，確定解。將上面的一般解代入初始條件，根據(jù)本征函數(shù)的正交性得系數(shù)為：小結(jié)3：對(duì)于弦的自由振動(dòng)，針對(duì)齊次邊界條件中存在第二類(lèi)邊界條件的兩類(lèi)例題：例題2的解為其中例題3的解為其中習(xí)題七的13題屬于例題2類(lèi)型。題型II：方程為齊次，邊界條件為非齊次。以習(xí)題10為例：求解長(zhǎng)為的弦的振動(dòng)問(wèn)題注意邊界條件，邊界條件為非齊次，直接用分離變量法無(wú)法求出解，所以需

18、將非齊次邊界條件處理成齊次邊界條件，再用分離變量法。解題方法：用輔助函數(shù)法，把非齊次邊界條件轉(zhuǎn)化為齊次邊界條件。令函數(shù)，其中為已知函數(shù)。已知函數(shù)的選取條件是：必須能夠使得滿足齊次邊界條件的混合問(wèn)題，即：解：第一步，找出已知函數(shù)令 （4）第二步，把上式帶入的混合問(wèn)題，轉(zhuǎn)化為的齊次邊界條件的混合問(wèn)題。把公式（4）帶入公式（1）得： （5）將公式（2）帶入公式（4）得： （6）將公式（3）帶入公式（4）得： （7） （8）這樣，函數(shù)滿足的混合問(wèn)題為：第三步，解關(guān)于的混合問(wèn)題。的混合問(wèn)題為例題1，所以解為其中：第四步，寫(xiě)出原方程的解。由得：習(xí)題七第12題：其中是一個(gè)充分小的正數(shù)，為充分光滑的已知函數(shù)。

19、分析：泛定方程（1）式除了u，不存在第二個(gè)函數(shù)項(xiàng)，所示是齊次微分方程，（2）式為邊界條件而且是齊次的，所以該題可以用分離變量法。解：第一步，分離變量，將偏微分方程轉(zhuǎn)化為兩個(gè)常微分方程。令 （4）將（4）式代入方程（1），即得等式兩端同時(shí)除以，把關(guān)于x和t的函數(shù)分移至等號(hào)兩邊，有.由此得到兩個(gè)常微分方程： （5） （6）第二步，將原函數(shù)的邊界條件化為分離變量后函數(shù)的邊界條件。將代入關(guān)于的一對(duì)齊次邊界條件（2）式，得，這時(shí)也可以分離變量，得X函數(shù)的邊界條件為：， （7）第三步，解本征值問(wèn)題。這樣，我們得到本征值問(wèn)題:, ，.解得：.代入邊界條件，就有即和不能同時(shí)為0，否則恒為零，因而恒為0（平凡解

20、）。因此只能是，即 .于是，只能取如下的一系列值：;相應(yīng)的本征函數(shù)就是： （8）第四步，解的微分方程，得到的特解，疊加得出一般解。解（6）式：（6）式的特征函數(shù)為，其特征根為：因此（6）式解為：對(duì)于每一個(gè)本征值，相應(yīng)的:因此，也就得到了滿足邊界條件的特解:把這些特解疊加起來(lái)，就得到一般解: （9）第五步，由本征函數(shù)的正交性，得到系數(shù)，確定解。將初始條件代入上面的一般解，得：根據(jù)本征函數(shù)的正交性得系數(shù)為： （10）（9）式對(duì)t求導(dǎo)為：將初始條件帶入上求導(dǎo)式，得根據(jù)本征函數(shù)的正交性，得：把（10）式帶入，得到（11）該題的解為（9）式，（10）式和（11）式為（9）式中的系數(shù)。第四節(jié) 非齊次振動(dòng)方

21、程求解前面所討論的問(wèn)題中的偏微分方程都是齊次的，現(xiàn)在來(lái)討論非齊次偏微分方程的解法。為方便起見(jiàn)，以長(zhǎng)為l兩端固定的弦的強(qiáng)迫振動(dòng)為例，所用方法對(duì)其它類(lèi)型的方程也適合。即考慮定解問(wèn)題由所給的定解問(wèn)題可以看出：弦兩端固定，所以做的是強(qiáng)迫振動(dòng)。方法1：直接利用本征函數(shù)來(lái)求解，即把解展開(kāi)成本征函數(shù)的形式，求出參數(shù)。（該方法的前提條件是要知道此定解問(wèn)題對(duì)應(yīng)的齊次方程的本征函數(shù)）由上節(jié)例題1可知：兩端固定的弦的自由振動(dòng)在弦上形成駐波形式，其本征值為，本征函數(shù)為。則該弦在強(qiáng)迫力作用下仍作類(lèi)似該駐波形式的振動(dòng)，因此，直接利用本征函數(shù)來(lái)求解。第一步，將上述定解問(wèn)題中未知函數(shù)、已知函數(shù)、和都展開(kāi)成本征函數(shù)的級(jí)數(shù)形式。

22、令 （4-1.4） （4-1.5） （4-1.6） （4-1.7）由本征函數(shù)的正交性可知： （4-1.8） （4-1.9） （4-1.10）第二步，通過(guò)比較系數(shù)，得出參數(shù)滿足的常微分方程及滿足的初始條件。將式（4-1.4）及（4-1.5）帶入式（4.1）通過(guò)比較系數(shù)，得到常微分方程： （4-1.11）將式（4-1.6）、（4-1.7）帶入式（4.3）導(dǎo)出應(yīng)該滿足的初始條件： （4-1.12） （4-1.13）通過(guò)比較式（4-1.12）與式（4-1.6），比較式（4-1.13）與式（4-1.7）得到： （4-1.14） （4-1.15）第三步，求解關(guān)于的常微分方程（4-1.11）式。（4-1.11）式為非齊次，用常數(shù)變易法（第一冊(cè)中關(guān)于常微分方程初步）或積分變換法（第十二章或第十三章），或根據(jù)杜阿梅爾原則（第八章8.4.3的齊次化原理），結(jié)合初始條件（4-1.14）、（4-1.15），求出： （4-1.16）式（4-1.16）帶入式（4-1.4）即為（4.1）（4.3）混合問(wèn)題的解。方法2：將原問(wèn)題分成兩部分來(lái)處理在上述定解問(wèn)題中，弦的振動(dòng)是由兩部