多次相遇和追及問(wèn)題題庫(kù)教師版

1、3-1-3多次相遇和追及問(wèn)題教學(xué)目標(biāo)1. 學(xué)會(huì)畫(huà)圖解行程題2. 能夠利用柳卡圖解決多次相遇和追及問(wèn)題3. 能夠利用比例解多人相遇和追及問(wèn)題知識(shí)精講板塊一、由簡(jiǎn)單行程問(wèn)題拓展出的多次相遇問(wèn)題所有行程問(wèn)題都是圍繞“”這一條基本關(guān)系式展開(kāi)的，多人相遇與追及問(wèn)題雖然較復(fù)雜，但只要抓住這個(gè)公式，逐步表征題目中所涉及的數(shù)量，問(wèn)題即可迎刃而解【例 1】 （難度等級(jí) ）甲、乙兩名同學(xué)在周長(zhǎng)為米圓形跑道上從同一地點(diǎn)同時(shí)背向練習(xí)跑步，甲每秒鐘跑米，乙每秒鐘跑米，問(wèn)：他們第十次相遇時(shí)，甲還需跑多少米才能回到出發(fā)點(diǎn)？【解析】 從開(kāi)始到兩人第十次相遇的這段時(shí)間內(nèi)，甲、乙兩人共跑的路程是操場(chǎng)周長(zhǎng)的10倍，為米，因?yàn)榧椎乃?/p>

2、度為每秒鐘跑米，乙的速度為每秒鐘跑4米，所以這段時(shí)間內(nèi)甲共行了米，也就是甲最后一次離開(kāi)出發(fā)點(diǎn)繼續(xù)行了200米，可知甲還需行米才能回到出發(fā)點(diǎn)【鞏固】 （難度等級(jí) ）甲乙兩人在相距90米的直路上來(lái)回跑步，甲的速度是每秒3米，乙的速度是每秒2米如果他們同時(shí)分別從直路兩端出發(fā)，10分鐘內(nèi)共相遇幾次？【解析】 17【鞏固】 （難度等級(jí) ）甲、乙兩人從400米的環(huán)形跑道上一點(diǎn)A背向同時(shí)出發(fā)，8分鐘后兩人第五次相遇，已知每秒鐘甲比乙多走0.1米，那么兩人第五次相遇的地點(diǎn)與點(diǎn)A沿跑道上的最短路程是多少米?【解析】 176二、運(yùn)用倍比關(guān)系解多次相遇問(wèn)題【例 2】 （難度等級(jí) ）上午8點(diǎn)8分，小明騎自行車(chē)從家里出

3、發(fā)，8分鐘后，爸爸騎摩托車(chē)去追他，在離家4千米的地方追上了他.然后爸爸立即回家，到家后又立刻回頭去追小明，再追上小明的時(shí)候，離家恰好是8千米，這時(shí)是幾點(diǎn)幾分？【解析】 畫(huà)一張簡(jiǎn)單的示意圖：圖上可以看出，從爸爸第一次追上到第二次追上，小明走了8-44（千米）.而爸爸騎的距離是 4 8 12（千米）.這就知道，爸爸騎摩托車(chē)的速度是小明騎自行車(chē)速度的 1243（倍）.按照這個(gè)倍數(shù)計(jì)算，小明騎8千米，爸爸可以騎行8324（千米）.但事實(shí)上，爸爸少用了8分鐘，騎行了41216（千米）.少騎行24-168（千米）.摩托車(chē)的速度是88=1（千米/分），爸爸騎行16千米需要16分鐘.881632.所以這時(shí)是8

4、點(diǎn)32分?！纠?3】 （難度等級(jí) ）甲、乙兩車(chē)分別同時(shí)從A、B兩地相對(duì)開(kāi)出，第一次在離A地95千米處相遇相遇后繼續(xù)前進(jìn)到達(dá)目的地后又立刻返回，第二次在離B地25千米處相遇求A、B兩地間的距離是多少千米？【解析】 畫(huà)線段示意圖(實(shí)線表示甲車(chē)行進(jìn)的路線，虛線表示乙車(chē)行進(jìn)的路線)：可以發(fā)現(xiàn)第一次相遇意味著兩車(chē)行了一個(gè)A、B兩地間距離，第二次相遇意味著兩車(chē)共行了三個(gè)A、B兩地間的距離當(dāng)甲、乙兩車(chē)共行了一個(gè)A、B兩地間的距離時(shí)，甲車(chē)行了95千米，當(dāng)它們共行三個(gè)A、B兩地間的距離時(shí)，甲車(chē)就行了3個(gè)95千米，即953=285（千米），而這285千米比一個(gè)A、B兩地間的距離多25千米，可得：953-25=28

5、5-25=260(千米)【鞏固】 （難度級(jí)別 ）甲、乙二人以均勻的速度分別從A、B兩地同時(shí)出發(fā)，相向而行，他們第一次相遇地點(diǎn)離A地4千米，相遇后二人繼續(xù)前進(jìn)，走到對(duì)方出發(fā)點(diǎn)后立即返回，在距B地3千米處第二次相遇，求兩次相遇地點(diǎn)之間的距離.【解析】 43=12千米，通過(guò)畫(huà)圖，我們發(fā)現(xiàn)甲走了一個(gè)全程多了回來(lái)那一段，就是距B地的3千米，所以全程是12-3=9千米，所以?xún)纱蜗嘤鳇c(diǎn)相距9-（3+4）=2千米。【鞏固】 （難度等級(jí) ）甲、乙二人以均勻的速度分別從A、B兩地同時(shí)出發(fā)，相向而行，他們第一次相遇地點(diǎn)離A地7千米，相遇后二人繼續(xù)前進(jìn)，走到對(duì)方出發(fā)點(diǎn)后立即返回，在距B地5千米處第二次相遇，求兩次相遇

6、地點(diǎn)之間的距離.【解析】 4千米【鞏固】 （難度等級(jí) ）甲、乙二人以均勻的速度分別從A、B兩地同時(shí)出發(fā)，相向而行，他們第一次相遇地點(diǎn)離A地6千米，相遇后二人繼續(xù)前進(jìn)，走到對(duì)方出發(fā)點(diǎn)后立即返回，在距B地4千米處第二次相遇，求兩人第5次相遇地點(diǎn)距B 多遠(yuǎn).【解析】 12千米【鞏固】 （難度等級(jí) ）甲、乙二人以均勻的速度分別從A、B兩地同時(shí)出發(fā)，相向而行，他們第一次相遇地點(diǎn)離A地7千米，相遇后二人繼續(xù)前進(jìn)，走到對(duì)方出發(fā)點(diǎn)后立即返回，在距B地3千米處第二次相遇，求第三次相遇時(shí)共走了多少千米.【解析】 90千米【鞏固】 （難度等級(jí) ）甲、乙二人以均勻的速度分別從A、B兩地同時(shí)出發(fā)，相向而行，他們第一次相

7、遇地點(diǎn)離A地3千米，相遇后二人繼續(xù)前進(jìn)，走到對(duì)方出發(fā)點(diǎn)后立即返回，在距B地2千米處第二次相遇，求第2000次相遇地點(diǎn)與第2001次相遇地點(diǎn)之間的距離.【解析】 4千米【鞏固】 （難度等級(jí) ）甲、乙二人以均勻的速度分別從A、B兩地同時(shí)出發(fā)，相向而行，他們第一次相遇地點(diǎn)離A地18千米，相遇后二人繼續(xù)前進(jìn)，走到對(duì)方出發(fā)點(diǎn)后立即返回，在距B地13千米處第二次相遇，求AB兩地之間的距離.【解析】 41千米【例 4】 （難度等級(jí) ）如圖，甲和乙兩人分別從一圓形場(chǎng)地的直徑兩端點(diǎn)同時(shí)開(kāi)始以勻速按相反的方向繞此圓形路線運(yùn)動(dòng)，當(dāng)乙走了100米以后，他們第一次相遇，在甲走完一周前60米處又第二次相遇.求此圓形場(chǎng)地的

8、周長(zhǎng)【解析】 注意觀察圖形，當(dāng)甲、乙第一次相遇時(shí)，甲乙共走完圈的路程，當(dāng)甲、乙第二次相遇時(shí)，甲乙共走完1+圈的路程所以從開(kāi)始到第一、二次相遇所需的時(shí)間比為1：3，因而第二次相遇時(shí)乙行走的總路程為第一次相遇時(shí)行走的總路程的3倍，即1003=300米有甲、乙第二次相遇時(shí)，共行走(1圈60)+300，為圈，所以此圓形場(chǎng)地的周長(zhǎng)為480米【鞏固】 （難度等級(jí) ）如圖，A、B是圓的直徑的兩端，小張?jiān)贏點(diǎn)，小王在B點(diǎn)同時(shí)出發(fā)反向行走，他們?cè)贑點(diǎn)第一次相遇，C離A點(diǎn)80米；在D點(diǎn)第二次相遇，D點(diǎn)離B點(diǎn)6O米.求這個(gè)圓的周長(zhǎng).【解析】 360【鞏固】 A、B是圓的直徑的兩端，甲在A點(diǎn)，乙在B點(diǎn)同時(shí)出發(fā)反向而行

9、，兩人在C點(diǎn)第一次相遇，在D點(diǎn)第二次相遇已知C離A有75米，D離B有55米，求這個(gè)圓的周長(zhǎng)是多少米？【解析】 340三、多次相遇與全程的關(guān)系1. 兩地相向出發(fā)：第1次相遇，共走1個(gè)全程； 第2次相遇，共走3個(gè)全程； 第3次相遇，共走5個(gè)全程； ， ； 第N次相遇，共走2N-1個(gè)全程；注意：除了第1次，剩下的次與次之間都是2個(gè)全程。即甲第1次如果走了N米，以后每次都走2N米。2. 同地同向出發(fā)：第1次相遇，共走2個(gè)全程； 第2次相遇，共走4個(gè)全程； 第3次相遇，共走6個(gè)全程； ， ； 第N次相遇，共走2N個(gè)全程；3、多人多次相遇追及的解題關(guān)鍵多次相遇追及的解題關(guān)鍵 幾個(gè)全程多人相遇追及的解題關(guān)鍵

10、 路程差【例 5】 小明和小紅兩人在長(zhǎng)100米的直線跑道上來(lái)回跑步，做體能訓(xùn)練，小明的速度為6米/秒，小紅的速度為4米/秒他們同時(shí)從跑道兩端出發(fā)，連續(xù)跑了12分鐘在這段時(shí)間內(nèi)，他們迎面相遇了多少次？【解析】 第一次相遇時(shí)，兩人共跑完了一個(gè)全程，所用時(shí)間為：(秒)此后，兩人每相遇一次，就要合跑2倍的跑道長(zhǎng)，也就是每20秒相遇一次，除去第一次的10秒，兩人共跑了(秒)求出710秒內(nèi)兩人相遇的次數(shù)再加上第一次相遇，就是相遇的總次數(shù)列式計(jì)算為：(秒)，共相遇(次)。注：解決問(wèn)題的關(guān)鍵是弄清他們首次相遇以及以后每次相遇兩人合跑的路程長(zhǎng)【例 6】 、兩地間有條公路，甲從地出發(fā)，步行到地，乙騎摩托車(chē)從地出發(fā)

11、，不停地往返于、兩地之間，他們同時(shí)出發(fā)，80分鐘后兩人第一次相遇，100分鐘后乙第一次追上甲，問(wèn)：當(dāng)甲到達(dá)地時(shí)，乙追上甲幾次？【解析】由上圖容易看出：在第一次相遇與第一次追上之間，乙在(分鐘)內(nèi)所走的路程恰等于線段的長(zhǎng)度再加上線段的長(zhǎng)度，即等于甲在()分鐘內(nèi)所走的路程，因此，乙的速度是甲的9倍()，則的長(zhǎng)為的9倍，所以，甲從到，共需走(分鐘)乙第一次追上甲時(shí)，所用的時(shí)間為100分鐘，且與甲的路程差為一個(gè)全程從第一次追上甲時(shí)開(kāi)始，乙每次追上甲的路程差就是兩個(gè)全程，因此，追及時(shí)間也變?yōu)?00分鐘()，所以，在甲從到的800分鐘內(nèi)，乙共有4次追上甲，即在第100分鐘，300分鐘，500分鐘和700分

12、鐘【例 7】 （難度等級(jí) ）甲、乙兩人分別從、兩地同時(shí)出發(fā)相向而行，乙的速度是甲的，二人相遇后繼續(xù)行進(jìn)，甲到地、乙到地后立即返回已知兩人第二次相遇的地點(diǎn)距第三次相遇的地點(diǎn)是100千米，那么，、兩地相距 千米【解析】 由于甲、乙的速度比是，所以在相同的時(shí)間內(nèi)，兩人所走的路程之比也是第一次相遇時(shí)，兩人共走了一個(gè)的長(zhǎng)，所以可以把的長(zhǎng)看作5份，甲、乙分別走了2份和3份；第二次相遇時(shí)，甲、乙共走了三個(gè)，乙走了份；第三次相遇時(shí)，甲、乙共走了五個(gè)，乙走了份 乙第二次和第三次相距106=4（份）所以一份距離為：1004=25（千米），那么、兩地距離為：525125（千米）【鞏固】 （難度等級(jí) ）小王、小李二人

13、往返于甲、乙兩地，小王從甲地、小李從乙地同時(shí)出發(fā)，相向而行，兩人第一次在距甲地3千米處相遇，第二次在距甲地6千米處相遇(追上也算作相遇)，則甲、乙兩地的距離為 千米【解析】 由于兩人同時(shí)出發(fā)相向而行，所以第一次相遇一定是迎面相遇；由于本題中追上也算相遇，所以?xún)扇说诙蜗嘤隹赡転橛嫦嘤?，也可能為同向追及如果第二次相遇為迎面相遇，如下圖所示，兩人第一次在處相遇，第二次在處相遇由于第一次相遇時(shí)兩人合走1個(gè)全程，小王走了3千米；從第一次相遇到第二次相遇，兩人合走2個(gè)全程，所以這期間小王走了千米，由于、之間的距離也是3千米，所以與乙地的距離為千米，甲、乙兩地的距離為千米；如果第二次相遇為同向追及，如上

14、圖，兩人第一次在處相遇，相遇后小王繼續(xù)向前走，小李走到甲地后返回，在處追上小王在這個(gè)過(guò)程中，小王走了千米，小李走了千米，兩人的速度比為所以第一次相遇時(shí)小李也走了9千米，甲、乙兩地的距離為千米所以甲、乙兩地的距離為千米或12千米【鞏固】 （難度級(jí)別 ）A，B兩地相距540千米。甲、乙兩車(chē)往返行駛于A，B兩地之間，都是到達(dá)一地之后立即返回，乙車(chē)較甲車(chē)快。設(shè)兩輛車(chē)同時(shí)從A地出發(fā)后第一次和第二次相遇都在途中P地。那么到兩車(chē)第三次相遇為止，乙車(chē)共走了多少千米？【解析】 第一次相遇，甲乙總共走了2個(gè)全程，第二次相遇，甲乙總共走了4個(gè)全程，乙比甲快，相遇又在P點(diǎn)，所以可以根據(jù)總結(jié)和畫(huà)圖推出：從第一次相遇到第

15、二次相遇，乙從第一個(gè)P點(diǎn)到第二個(gè)P點(diǎn)，路程正好是第一次的路程。所以假設(shè)一個(gè)全程為3份，第一次相遇甲走了2份乙走了4份。第二次相遇，乙正好走了1份到B地，又返回走了1份。這樣根據(jù)總結(jié)：2個(gè)全程里乙走了（5403）4=1804=720千米，乙總共走了7203=2160千米。【例 8】 （難度級(jí)別 ）小張與小王分別從甲、乙兩村同時(shí)出發(fā)，在兩村之間往返行走（到達(dá)另一村后就馬上返回），他們?cè)陔x甲村3.5千米處第一次相遇，在離乙村2千米處第二次相遇.問(wèn)他們兩人第四次相遇的地點(diǎn)離乙村多遠(yuǎn)（相遇指迎面相遇）？【解析】 畫(huà)示意圖如下.第二次相遇兩人已共同走了甲、乙兩村距離的3倍，因此張走了3.5310.5（千米

16、）.從圖上可看出，第二次相遇處離乙村2千米.因此，甲、乙兩村距離是10.5-28.5（千米）.每次要再相遇，兩人就要共同再走甲、乙兩村距離2倍的路程.第四次相遇時(shí)，兩人已共同走了兩村距離（322）倍的行程.其中張走了3.5724.5（千米），24.5=8.58.57.5（千米）.就知道第四次相遇處，離乙村8.5-7.5=1（千米）.答：第四次相遇地點(diǎn)離乙村1千米.四、解多次相遇問(wèn)題的工具柳卡柳卡圖，不用基本公式解決，快速的解法是直接畫(huà)時(shí)間-距離圖，再畫(huà)上密密麻麻的交叉線，按要求數(shù)交點(diǎn)個(gè)數(shù)即可完成。折線示意圖往往能夠清晰的體現(xiàn)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中“相遇的次數(shù)”，“相遇的地點(diǎn)”，以及“由相遇的地點(diǎn)求出全程”

17、，使用折線示意圖法一般需要我們知道每個(gè)物體走完一個(gè)全程時(shí)所用的時(shí)間是多少。如果不畫(huà)圖，單憑想象似乎對(duì)于像我這樣的一般人兒來(lái)說(shuō)不容易?！纠?9】 （難度級(jí)別 ）每天中午有一條輪船從哈佛開(kāi)往紐約，且每天同一時(shí)刻也有一艘輪船從紐約開(kāi)往哈佛輪船在途中均要航行七天七夜試問(wèn)：某條從哈佛開(kāi)出的輪船在到達(dá)紐約前（途中）能遇上幾艘從紐約開(kāi)來(lái)的輪船？【解析】 這就是著名的柳卡問(wèn)題下面介紹的法國(guó)數(shù)學(xué)家柳卡斯圖姆給出的一個(gè)非常直觀巧妙的解法他先畫(huà)了如下一幅圖： 這是一張運(yùn)行圖在平面上畫(huà)兩條平行線，以一條直線表示哈佛，另一條直線表示紐約那么，從哈佛或紐約開(kāi)出的輪船，就可用圖中的兩組平行線簇來(lái)表示圖中的每條線段分別表示每

18、條船的運(yùn)行情況粗線表示從哈佛駛出的輪船在海上的航行，它與其他線段的交點(diǎn)即為與對(duì)方開(kāi)來(lái)輪船相遇的情況從圖中可以看出，某天中午從哈佛開(kāi)出的一條輪船（圖中用實(shí)線表示）會(huì)與從紐約開(kāi)出的15艘輪船相遇（圖中用虛線表示）而且在這相遇的15艘船中，有1艘是在出發(fā)時(shí)遇到（從紐約剛到達(dá)哈佛），1艘是到達(dá)紐約時(shí)遇到（剛好從紐約開(kāi)出），剩下13艘則在海上相遇；另外，還可從圖中看到，輪船相遇的時(shí)間是每天中午和子夜如果不仔細(xì)思考，可能認(rèn)為僅遇到7艘輪船這個(gè)錯(cuò)誤，主要是只考慮以后開(kāi)出的輪船而忽略了已在海上的輪船【鞏固】 （難度級(jí)別 ）一條電車(chē)線路的起點(diǎn)站和終點(diǎn)站分別是甲站和乙站，每隔5分鐘有一輛電車(chē)從甲站發(fā)出開(kāi)往乙站，全

19、程要走15分鐘有一個(gè)人從乙站出發(fā)沿電車(chē)線路騎車(chē)前往甲站他出發(fā)的時(shí)候，恰好有一輛電車(chē)到達(dá)乙站在路上他又遇到了10輛迎面開(kāi)來(lái)的電車(chē)到達(dá)甲站時(shí)，恰好又有一輛電車(chē)從甲站開(kāi)出問(wèn)他從乙站到甲站用了多少分鐘？【解析】 先讓學(xué)生用分析間隔的方式來(lái)解答：騎車(chē)人一共看到12輛車(chē)，他出發(fā)時(shí)看到的是15分鐘前發(fā)的車(chē)，此時(shí)第4輛車(chē)正從甲發(fā)出騎車(chē)中，甲站發(fā)出第4到第12輛車(chē)，共9輛，有8個(gè)5分鐘的間隔，時(shí)間是（分鐘）再引導(dǎo)學(xué)生用柳卡的運(yùn)行圖的方式來(lái)分析：第一步：在平面上畫(huà)兩條平行線分別表示甲站與乙站由于每隔5分鐘有一輛電車(chē)從甲站出發(fā)，所以把表示甲站與乙站的直線等距離劃分，每一小段表示5分鐘第二步：因?yàn)殡娷?chē)走完全程要15分

20、鐘，所以連接圖中的1號(hào)點(diǎn)與P點(diǎn)（注意：這兩點(diǎn)在水平方向上正好有3個(gè)間隔，這表示從甲站到乙站的電車(chē)走完全程要15分鐘），然后再分別過(guò)等分點(diǎn)作一簇與它平行的平行線表示從甲站開(kāi)往乙站的電車(chē)第三步：從圖中可以看出，要想使乙站出發(fā)的騎車(chē)人在途中遇到十輛迎面開(kāi)來(lái)的電車(chē)，那么從P點(diǎn)引出的粗線必須和10條平行線相交，這正好是圖中從2號(hào)點(diǎn)至12號(hào)點(diǎn)引出的平行線從圖中可以看出，騎車(chē)人正好經(jīng)歷了從P點(diǎn)到Q點(diǎn)這段時(shí)間，因此自行車(chē)從乙站到甲站用了（分鐘）對(duì)比前一種解法可以看出，采用運(yùn)行圖來(lái)分析要直觀得多！【例 10】 （難度級(jí)別 ）甲、乙兩人在一條長(zhǎng)為30米的直路上來(lái)回跑步，甲的速度是每秒1米，乙的速度是每秒米如果他們

21、同時(shí)分別從直路的兩端出發(fā)，當(dāng)他們跑了10分鐘后，共相遇幾次？【解析】 采用運(yùn)行圖來(lái)解決本題相當(dāng)精彩！首先，甲跑一個(gè)全程需（秒），乙跑一個(gè)全程需（秒）與上題類(lèi)似，畫(huà)運(yùn)行圖如下（實(shí)線表甲，虛線表示乙，那么實(shí)虛兩線交點(diǎn)就是甲乙相遇的地點(diǎn)）：一個(gè)周期內(nèi)共有5次相遇，其中第1，2，4，5次是迎面相遇，而第3次是追及相遇從圖中可以看出，當(dāng)甲跑5個(gè)全程時(shí)，乙剛好跑3個(gè)全程，各自到了不同兩端又重新開(kāi)始，這正好是一周期150秒在這一周期內(nèi)兩人相遇了5次，所以?xún)扇伺?0分鐘，正好是四個(gè)周期，也就相遇了（次）【例 11】 （難度等級(jí) ） (2009年迎春杯復(fù)賽高年級(jí)組)A、B兩地位于同一條河上，B地在A地下游100

22、千米處甲船從A地、乙船從B地同時(shí)出發(fā)，相向而行，甲船到達(dá)B地、乙船到達(dá)A地后，都立即按原來(lái)路線返航水速為2米/秒，且兩船在靜水中的速度相同如果兩船兩次相遇的地點(diǎn)相距20千米，那么兩船在靜水中的速度是 米/秒【解析】 本題采用折線圖來(lái)分析較為簡(jiǎn)便如圖，箭頭表示水流方向，表示甲船的路線，表示乙船的路線，兩個(gè)交點(diǎn)、就是兩次相遇的地點(diǎn)由于兩船在靜水中的速度相同，所以?xún)纱捻標(biāo)俣群湍嫠俣榷挤謩e相同，那么兩船順?biāo)写湍嫠写玫臅r(shí)間都分別相同，表現(xiàn)在圖中，就是和的長(zhǎng)度相同，和的長(zhǎng)度相同那么根據(jù)對(duì)稱(chēng)性可以知道，點(diǎn)距的距離與點(diǎn)距的距離相等，也就是說(shuō)兩次相遇地點(diǎn)與、兩地的距離是相等的而這兩次相遇的地點(diǎn)相

23、距20千米，所以第一次相遇時(shí)，兩船分別走了千米和千米，可得兩船的順?biāo)俣群湍嫠俣戎葹槎標(biāo)俣扰c逆水速度的差為水速的2倍，即為4米/秒，可得順?biāo)俣葹槊?秒，那么兩船在靜水中的速度為米/秒【例 12】 （難度等級(jí) ）A、 B 兩地相距1000 米，甲從 A地、乙從 B 地同時(shí)出發(fā)，在 A、 B 兩地間往返鍛煉乙跑步每分鐘行150米，甲步行每分鐘行 60米在 30分鐘內(nèi)，甲、乙兩人第幾次相遇時(shí)距 B 地最近(從后面追上也算作相遇)？最近距離是多少？【解析】 甲、乙的運(yùn)行圖如上，圖中實(shí)現(xiàn)表示甲，虛線表示乙，兩條線的交點(diǎn)表示兩人相遇在 30 分鐘內(nèi)，兩人共行了 (150 60) 30 6300=

24、 + 米，相當(dāng)于 6 個(gè)全程又 300 米，由圖可知，第 3次相遇時(shí)距離 A地最近，此時(shí)兩人共走了 3 個(gè)全程，即1000 3 =3000千米，用時(shí)3000（150+60）=100/7分鐘，甲行了60100/7=6000/7米，相遇地點(diǎn)距離 B 地1000-6000/7 143米【鞏固】 （難度等級(jí) ）A、 B 兩地相距 950 米甲、乙兩人同時(shí)由 A地出發(fā)往返鍛煉半小時(shí)甲步行，每分鐘走 40 米；乙跑步，每分鐘行 150 米則甲、乙二人第幾次迎面相遇時(shí)距 B 地最近？【解析】 半小時(shí)內(nèi)，兩人一共行走 （40 150） 30 =5700 米，相當(dāng)于 6 個(gè)全程，兩人每合走 2 個(gè)全程就會(huì)有一次

25、相遇，所以?xún)扇斯灿?3 次相遇，而兩人的速度比為 40 :150= 4 :15，所以相同時(shí)間內(nèi)兩人的行程比為 4 :15，那么第一次相遇甲走了全程的，距離 B 地11/19個(gè)全程；第二次相遇甲走了16/19個(gè)全程，距離 B 地3/19個(gè)全程；第三次相遇甲走了24/19個(gè)全程，距離 B 地5/19個(gè)全程，所以甲、乙兩人第二次迎面相遇時(shí)距離 B 地最近【鞏固】 (2008年國(guó)際小學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽)、兩地相距，甲、乙兩人同時(shí)從地出發(fā)，往返、兩地跑步分鐘甲跑步的速度是每分鐘；乙跑步的速度是每分鐘在這段時(shí)間內(nèi)他們面對(duì)面相遇了數(shù)次，請(qǐng)問(wèn)在第幾次相遇時(shí)他們離點(diǎn)的距離最近？【解析】 （分鐘）甲、乙兩人合走一個(gè)全程需

26、要分鐘，每合走 個(gè)全程相遇一次，所以總共相遇次而甲每分鐘走（）并且與乙相遇一次，因?yàn)椋ǎ┮簿褪钱?dāng)甲、乙兩人第次相遇時(shí)甲離地為最小，在第次相遇時(shí)他們離點(diǎn)距離最近【鞏固】 （難度等級(jí) ）A、 B 兩地相距 2400 米，甲從 A地、乙從 B 地同時(shí)出發(fā)，在 A、 B 兩地間往返鍛煉甲每分鐘跑 300 米，乙每分鐘跑 240 米，在 30 分鐘后停止運(yùn)動(dòng)甲、乙兩人第幾次相遇時(shí)距 A地最近？最近距離是多少？【解析】 第二次，800米五、多次相遇問(wèn)題變道問(wèn)題【例 13】 （難度等級(jí) ）(仁華入學(xué)試題)甲、乙兩車(chē)同時(shí)從同一點(diǎn)出發(fā)，沿周長(zhǎng)6千米的圓形跑道以相反的方向行駛甲車(chē)每小時(shí)行駛65千米，乙車(chē)每小時(shí)行駛

27、55千米一旦兩車(chē)迎面相遇，則乙車(chē)立刻調(diào)頭；一旦甲車(chē)從后面追上乙車(chē)，則甲車(chē)立刻調(diào)頭，那么兩車(chē)出發(fā)后第11次相遇的地點(diǎn)距離點(diǎn)有多少米？(每一次甲車(chē)追上乙車(chē)也看作一次相遇)【解析】 第一次是一個(gè)相遇過(guò)程，相遇時(shí)間為：小時(shí)，相遇地點(diǎn)距離點(diǎn)：千米然后乙車(chē)調(diào)頭，成為追及過(guò)程，追及時(shí)間為：小時(shí)，乙車(chē)在此過(guò)程中走的路程為：千米，即5圈又3千米，那么這時(shí)距離點(diǎn)千米此時(shí)甲車(chē)調(diào)頭，又成為相遇過(guò)程，同樣方法可計(jì)算出相遇地點(diǎn)距離點(diǎn)千米，然后乙車(chē)掉頭，成為追及過(guò)程，根據(jù)上面的計(jì)算，乙車(chē)又要走5圈又3千米，所以此時(shí)兩車(chē)又重新回到了點(diǎn)，并且行駛的方向與最開(kāi)始相同所以，每4次相遇為一個(gè)周期，而，所以第11次相遇的地點(diǎn)與第3次相

28、遇的地點(diǎn)是相同的，與點(diǎn)的距離是3000米【例 14】 （難度等級(jí) ）下圖是一個(gè)邊長(zhǎng)90米的正方形，甲、乙兩人同時(shí)從A點(diǎn)出發(fā)，甲逆時(shí)針每分行75米，乙順時(shí)針每分行45米兩人第一次在CD邊（不包括C，D兩點(diǎn)）上相遇，是出發(fā)以后的第幾次相遇？【解析】 兩人第一次相遇需分，其間乙走了（米）由此知，乙每走135米兩人相遇一次，依次可推出第7次在CD邊相遇（如圖，圖中數(shù)字表示該點(diǎn)相遇的次數(shù)）【例 15】 （難度等級(jí) ）如圖所示，甲、乙兩人從長(zhǎng)為米的圓形跑道的點(diǎn)背向出發(fā)跑步。跑道右半部分(粗線部分）道路比較泥濘，所以?xún)扇说乃俣榷紝p慢，在正常的跑道上甲、乙速度均為每秒米，而在泥濘道路上兩人的速度均為每秒米。

29、兩人一直跑下去，問(wèn)：他們第99次迎面相遇的地方距點(diǎn)還有 米?！窘馕觥?本題中，由于甲、乙兩人在正常道路和泥濘道路上的速度都相同，可以發(fā)現(xiàn)，如果甲、乙各自繞著圓形跑道跑一圈，兩人在正常道路和泥濘道路上所用的時(shí)間分別相同，那么兩人所用的總時(shí)間也就相同，所以，兩人同時(shí)出發(fā)，跑一圈后同時(shí)回到點(diǎn)，即兩人在點(diǎn)迎面相遇，然后再?gòu)狞c(diǎn)出發(fā)背向而行，可以發(fā)現(xiàn)，兩人的行程是周期性的，且以一圈為周期在第一個(gè)周期內(nèi)，兩人同時(shí)出發(fā)背行而行，所以在回到出發(fā)點(diǎn)前肯定有一次迎面相遇，這是兩人第一次迎面相遇，然后回到出發(fā)點(diǎn)是第二次迎面相遇；然后再出發(fā)，又在同一個(gè)相遇點(diǎn)第三次相遇，再回到出發(fā)點(diǎn)是第四次相遇可見(jiàn)奇數(shù)次相遇點(diǎn)都是途中相

30、遇的地點(diǎn)，偶數(shù)次相遇點(diǎn)都是點(diǎn)本題要求的是第99次迎面相遇的地點(diǎn)與點(diǎn)的距離，實(shí)際上要求的是第一次相遇點(diǎn)與點(diǎn)的距離對(duì)于第一次相遇點(diǎn)的位置，需要分段進(jìn)行考慮：由于在正常道路上的速度較快，所以甲從出發(fā)到跑完正常道路時(shí)，乙才跑了米，此時(shí)兩人相距100米，且之間全是泥濘道路，此時(shí)兩人速度相同，所以再各跑50米可以相遇所以第一次相遇時(shí)乙跑了米，這就是第一次相遇點(diǎn)與點(diǎn)的距離，也是第99次迎面相遇的地點(diǎn)與點(diǎn)的距離【例 16】 （難度等級(jí) ）如圖,學(xué)校操場(chǎng)的400米跑道中套著300米小跑道,大跑道與小跑道有200米路程相重甲以每秒6米的速度沿大跑道逆時(shí)針?lè)较蚺?乙以每秒4米的速度沿小跑道順時(shí)針?lè)较蚺?兩人同時(shí)從兩

31、跑道的交點(diǎn)處出發(fā),當(dāng)他們第二次在跑道上相遇時(shí),甲共跑了多少米? 【解析】 根據(jù)題意可知，甲、乙只可能在右側(cè)的半跑道上相遇易知小跑道上左側(cè)的路程為100米,右側(cè)的路程為200米,大跑道上的左、右兩側(cè)的路程均是200米我們將甲、乙的行程狀況分析清楚當(dāng)甲第一次到達(dá)點(diǎn)時(shí),乙還沒(méi)有到達(dá)點(diǎn),所以第一次相遇一定在逆時(shí)針的某處而當(dāng)乙第一次到達(dá)點(diǎn)時(shí)，所需時(shí)間為秒,此時(shí)甲跑了米,在離點(diǎn)米處乙跑出小跑道到達(dá)點(diǎn)需要秒,則甲又跑了米,在點(diǎn)左邊米處所以當(dāng)甲再次到達(dá)處時(shí),乙還未到處,那么甲必定能在點(diǎn)右邊某處與乙第二次相遇從乙再次到達(dá)處開(kāi)始計(jì)算,還需秒,甲、乙第二次相遇,此時(shí)甲共跑了秒所以，從開(kāi)始到甲、乙第二次相遇甲共跑了米

32、【例 17】 （難度等級(jí) ）下圖中有兩個(gè)圓只有一個(gè)公共點(diǎn)A，大圓直徑48厘米，小圓直徑30厘米。兩只甲蟲(chóng)同時(shí)從A點(diǎn)出發(fā)，按箭頭所指的方向以相同速度分別沿兩個(gè)圓爬行。問(wèn)：當(dāng)小圓上甲蟲(chóng)爬了幾圈時(shí)，兩只甲蟲(chóng)首次相距最遠(yuǎn)？ 【解析】 我們知道，大小圓只有一個(gè)公共點(diǎn)(內(nèi)切)，而在圓上最遠(yuǎn)的兩點(diǎn)為直徑兩端，所以當(dāng)一只甲蟲(chóng)在A點(diǎn)，另一只在過(guò)A的直徑另一直徑端點(diǎn)B，所以在小圓甲蟲(chóng)跑了n圈，在大圓甲蟲(chóng)跑了m圈；于是小圓甲蟲(chóng)跑了30n，大圓甲蟲(chóng)跑了48(m)48m24因?yàn)樗俣认嗤?，所以相同時(shí)內(nèi)路程相同，起點(diǎn)相同，所以30n48m24；即5n8m4，有不定方程知識(shí)，解出有n4，m2，所以小甲蟲(chóng)跑了2圈后，大小甲蟲(chóng)相距最遠(yuǎn)?！纠?18】 （難度等級(jí) ）如圖所示，甲沿長(zhǎng)為米大圓的跑道順時(shí)針跑步，乙則沿兩個(gè)小圓八字形跑步(圖中給出跑動(dòng)路線的次序：）。如果甲、乙兩人同時(shí)從點(diǎn)出發(fā)，且甲、乙二人的速度分別是每秒3米和5米，問(wèn)兩人第三次相遇的時(shí)間是出發(fā)后 秒?！窘馕觥?從圖中可以看出，甲、乙兩人只有可能在、兩點(diǎn)處相遇（本題中，雖然在處時(shí)兩人都是順時(shí)針，但是由于兩人的跑道不同，因此在此處的相遇不能看作是追及）從到，在大圓周上是半個(gè)圓周，即200米；在小圓周上是整個(gè)小圓圓周，也是200米兩人的速度之比為，那么兩人跑200米所用的時(shí)間之比為設(shè)甲跑200米所用的時(shí)間為5個(gè)時(shí)間單位，則乙跑200米所用的時(shí)間為3個(gè)時(shí)間單位