第三講單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)(阻尼)ppt課件

1、機(jī)械振動(dòng)學(xué),1.阻尼 上節(jié)所研究的振動(dòng)是不受阻力作用的，振動(dòng)的振幅是不隨時(shí)間改變的，振動(dòng)過程將無限地進(jìn)行下去。 實(shí)際中的振動(dòng)系統(tǒng)由于存在阻力，而不斷消耗著振動(dòng)的能量，使振幅不斷地減小，直到最后振動(dòng)停止。 振動(dòng)過程中的阻力習(xí)慣上稱為阻尼,2.1.2.單自由度系統(tǒng)的有阻尼自由振動(dòng),阻尼類型： 1）介質(zhì)阻尼； 2）結(jié)構(gòu)阻尼； 3）庫侖阻尼,當(dāng)振動(dòng)速度不大時(shí)，介質(zhì)粘性引起的阻力與速度一次方成正比，這種阻尼稱為粘性阻尼。這種阻尼實(shí)際上較多，這里將以此研究,振動(dòng)系統(tǒng)中存在粘性阻尼時(shí)，經(jīng)常用阻尼元件c表示,比例常數(shù)c稱為粘性阻尼系數(shù),負(fù)號表示方向,設(shè)振動(dòng)質(zhì)點(diǎn)的速度為為v，則粘性阻尼的阻力FC可表示為,一般的

2、機(jī)械振動(dòng)系統(tǒng)都可以簡化為： 由慣性元件（m）、彈性元件（k）、阻尼元件（c）組成的系統(tǒng),當(dāng)以平衡位置O為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立此系統(tǒng)的振動(dòng)微分方程時(shí)可以不再計(jì)入重力作用,2）粘性阻尼力 ；方向與速度方向相反,2.振動(dòng)微分方程,振動(dòng)過程中作用在物塊上的力有： （1） 恢復(fù)力 ；方向指向平衡位置O,根據(jù)達(dá)朗貝爾原理，質(zhì)量塊的微分方程為,整理得,有阻尼自由振動(dòng)微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式,它是一個(gè)二階齊次常系數(shù)線性微分方程,兩端除以m，并令,n稱為衰減系數(shù),該方程通解為,其解可設(shè)為,代入（1）式，得到特征方程,兩個(gè)特征根為,1,特征根 為實(shí)數(shù)或復(fù)數(shù)時(shí)，運(yùn)動(dòng)規(guī)律有很大不同，因此下面按n0和n=0三種不同情形分別進(jìn)行討論

3、,當(dāng)n0時(shí),特征根 為共軛復(fù)數(shù)，即,微分方程的解 可以表示為,3.小阻尼情形,阻尼較小，稱為小阻尼情形,其中：A和為兩個(gè)積分常數(shù)，由運(yùn)動(dòng)的初始條件確定,或,稱有阻尼自由振動(dòng)的圓頻率,其中,當(dāng)初瞬時(shí)t=0，質(zhì)點(diǎn)的坐標(biāo)為x=x0 速度v= ;可求得有阻尼自由振動(dòng)中的振幅和相位,這種振動(dòng)的振幅是隨時(shí)間不斷衰減的，稱為衰減振動(dòng)。衰減振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)圖線如圖所示,衰減曲線的包絡(luò)線,由衰減振動(dòng)的表達(dá)式,但這種振動(dòng)仍圍繞平衡位置的往復(fù)運(yùn)動(dòng)，仍具有振動(dòng)的特點(diǎn)。我們將質(zhì)點(diǎn)從一個(gè)最大偏離位置到下一個(gè)最大偏離位置所需的時(shí)間稱為衰減振動(dòng)的周期，記為Td ，如上圖所示,這種振動(dòng)不符合周期振動(dòng) 的定義，所以不是周期振動(dòng),稱為阻

4、尼比。它是振動(dòng)系統(tǒng)中反映阻尼特性的重要參數(shù)。在小阻尼情形下，1,有阻尼自由振動(dòng)周期Td、頻率fd和圓頻率d與相應(yīng)的無阻尼自由振動(dòng)的T 、f和0的關(guān)系,表明：由于阻尼的存在，使系統(tǒng)自由振動(dòng)的周期增大，頻率減小。當(dāng)空氣中的振動(dòng)系統(tǒng)阻尼比比較小時(shí)，可認(rèn)為,其中,d =0 ， Td =T,阻尼對周期的影響,經(jīng)過一個(gè)周期Td，系統(tǒng)到達(dá)另一個(gè)比前者略小的最大偏離值A(chǔ)i+1,這兩個(gè)相鄰 振幅之比為,設(shè)在某瞬時(shí)ti，振動(dòng)達(dá)到的最大偏離值為Ai有,由衰減振動(dòng)運(yùn)動(dòng)規(guī)律,Ae-nt相當(dāng)于振幅,稱為振幅系數(shù)。任意兩個(gè)相鄰振幅之比為一常數(shù)，所以衰減振動(dòng)的振幅呈幾何級數(shù)減小，很快趨近于零,Ai+1,Ai,阻尼對振幅的影響

5、,上式表明：對數(shù)減縮率與阻尼比之間只差2倍，也是反映阻尼特性的一個(gè)參數(shù),稱為對數(shù)減縮系數(shù),兩端取自然對數(shù)得,由,對數(shù)減縮率與阻尼比之間的關(guān)系為,z 21,其中,例 在欠阻尼（z 1）的系統(tǒng)中，在振幅衰減曲線的包絡(luò)線上，已測得相隔N個(gè)周期的兩點(diǎn)P、R的幅值之比xP/xR=r，如圖所示，試確定此振動(dòng)系統(tǒng)的阻尼比z,解：振動(dòng)衰減曲線的包絡(luò)線方程為,設(shè)P、R兩點(diǎn)在包絡(luò)線上的幅值為xP、xR ，則有,當(dāng)z 21時(shí),此式對估算小阻尼系統(tǒng)的值是很方便的。例如，經(jīng)過10個(gè)周期測得P、R兩點(diǎn)的幅值比r=2，將N=10、r=2代入上式，得到該系統(tǒng)的阻尼比,當(dāng)n=0（=1）時(shí)，稱為臨界阻尼情形。這時(shí)系統(tǒng)的阻尼系數(shù)用

6、cc稱為臨界阻尼系數(shù),在臨界阻尼情況下，特征根 為兩個(gè)相等的實(shí)根，即,得到振動(dòng)微分方程的解為,其中C1和C2為兩個(gè)積分常數(shù)，由運(yùn)動(dòng)的起始條件決定。 上式表明：這時(shí)物體的運(yùn)動(dòng)是隨時(shí)間的增長而無限地趨向平衡位置，因此運(yùn)動(dòng)已不具有振動(dòng)的特點(diǎn),4.臨界阻尼和大阻尼情形,從式,臨界情形是從衰減振動(dòng)過渡到非周期運(yùn)動(dòng)的臨界狀態(tài)。這時(shí)系統(tǒng)的阻尼系數(shù)是表征運(yùn)動(dòng)規(guī)律在性質(zhì)上發(fā)生變化的重要臨界值。 設(shè)cc為臨界阻尼系數(shù)，由于 =n/0 =1，即,阻尼系數(shù)與臨界阻尼系數(shù)的比值，是 稱為阻尼比的原因,cc只取決于系統(tǒng)本身的質(zhì)量與彈性常量。由,x,t,1,1,具有臨界阻尼的系統(tǒng)與過阻尼系統(tǒng)比較，它為最小阻尼系統(tǒng)。因此質(zhì)量

7、m將以最短的時(shí)間回到靜平衡位置，并不作振動(dòng)運(yùn)動(dòng)，臨界阻尼的這種性質(zhì)有實(shí)際意義，例如大炮發(fā)射炮彈時(shí)要出現(xiàn)反彈，應(yīng)要求發(fā)射后以最短的時(shí)間回到原來的靜平衡位置，而且不產(chǎn)生振動(dòng)，這樣才能既快又準(zhǔn)確地發(fā)射第二發(fā)炮彈。顯然，只有臨界阻尼器才能滿足這種要求,t,當(dāng)n0( 1)時(shí)，稱為大阻尼情形。此時(shí)阻尼系數(shù)c cc ;在這種情形下，特征方程的根為兩個(gè)不等的實(shí)根，即,微分方程的解為,其中C1、 C2為兩個(gè)積分常數(shù)，由運(yùn)動(dòng)起始條件來確定，運(yùn)動(dòng)圖線如下圖所示，也不再具有振動(dòng)性質(zhì),解,求出對數(shù)減縮率,阻尼比為,系統(tǒng)的臨界阻尼系數(shù)為,阻尼系數(shù),達(dá)朗貝爾原理,例：阻尼緩沖器,靜載荷 P 去除后質(zhì)量塊越過平衡位置的最大位移為初始位移的 10,求： 緩沖器的相對阻尼系數(shù),解,由題知,設(shè),求導(dǎo),設(shè)在時(shí)刻 t1 質(zhì)量越過平衡位置到達(dá)最大位移