多元函數(shù)的極值與最值

1、1,第六節(jié) 多元函數(shù)的極值與最值,多元函數(shù)的極值 多元函數(shù)的最值 條件極值,2,一、 多元函數(shù)的極值,定義: 若函數(shù),則稱函數(shù)在該點(diǎn)取得極大值(極小值,例如,在點(diǎn) (0,0) 有極小值,在點(diǎn) (0,0) 有極大值,在點(diǎn) (0,0) 無極值,極大值和極小值,統(tǒng)稱為極值,使函數(shù)取得極值的點(diǎn)稱為極值點(diǎn),的某鄰域內(nèi)有,3,說明: 使偏導(dǎo)數(shù)都為 0 的點(diǎn)稱為駐點(diǎn),例如,定理1 (必要條件,函數(shù),偏導(dǎo)數(shù),證,據(jù)一元函數(shù)極值的必要條件可知定理結(jié)論成立,取得極值,取得極值,取得極值,但駐點(diǎn)不一定是極值點(diǎn),有駐點(diǎn)( 0, 0,但在該點(diǎn)不取極值,且在該點(diǎn)取得極值,則有,存在,故,4,時, 具有極值,定理2 (充分

2、條件,的某鄰域內(nèi)具有一階和二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 且,令,則: 1) 當(dāng),a0 時取極大值,a0 時取極小值,2) 當(dāng),3) 當(dāng),時, 沒有極值,時, 不能確定 , 需另行討論,若函數(shù),5,例1,求函數(shù),解: 第一步 求駐點(diǎn),得駐點(diǎn): (1, 0) , (1, 2) , (3, 0) , (3, 2),第二步 判別,在點(diǎn)(1,0) 處,為極小值,解方程組,的極值,求二階偏導(dǎo)數(shù),6,在點(diǎn)(3,0) 處,不是極值,在點(diǎn)(3,2) 處,為極大值,在點(diǎn)(1,2) 處,不是極值,7,例2.討論函數(shù),及,是否取得極值,解,在(0,0)點(diǎn)鄰域內(nèi)的取值可能為,因此 z(0,0) 不是極值,因此,為極小值,正,負(fù),0

3、,在點(diǎn)(0,0,并且在 (0,0) 有,顯然(0,0)都是它們的駐點(diǎn),8,二 多元函數(shù)的最值,函數(shù) f 在閉域上連續(xù),函數(shù) f 在閉域上可達(dá)到最值,最值可疑點(diǎn),區(qū)域內(nèi)的駐點(diǎn),邊界上的最值點(diǎn),特別, 在區(qū)域函數(shù)只有一個極值點(diǎn)p 時,為極小 值,為最小 值,大,大,依據(jù),當(dāng)區(qū)域內(nèi)部最值存在, 且只有唯一的一個駐點(diǎn)p 時,則駐點(diǎn)一定是最值點(diǎn),經(jīng)判別得,9,解,如圖,10,11,例4,解,則水箱所用材料的面積為,令,得駐點(diǎn),某廠要用鐵板做一個體積為2,根據(jù)實(shí)際問題可知最小值在定義域內(nèi)應(yīng)存在,的有蓋長方體水,問當(dāng)長、寬、高各取怎樣的尺寸時, 才能使用料最省,因此可,斷定此唯一駐點(diǎn)就是最小值點(diǎn),即當(dāng)長、寬

4、均為,高為,時, 水箱所用材料最省,箱,設(shè)水箱長,寬分別為x ,y m,則高為,12,例5.有一寬為 24cm 的長方形鐵板,把它折起來做成,解: 設(shè)折起來的邊長為 x cm,則斷面面積,一個斷面為等腰梯形的水槽,傾角為,積最大,為,問怎樣折法才能使斷面面,13,令,解得,由題意知,最大值在定義域d 內(nèi)達(dá)到,而在域d 內(nèi)只有,一個駐點(diǎn),故此點(diǎn)即為所求,14,三、條件極值,極值問題,無條件極值,條 件 極 值,條件極值的求法,方法1 代入法,求一元函數(shù),的無條件極值問題,對自變量只有定義域限制,對自變量除定義域限制外,還有其它條件限制,例如,15,方法2 拉格朗日乘數(shù)法,如方法 1 所述,則問題

5、等價于一元函數(shù),可確定隱函數(shù),的極值問題,極值點(diǎn)必滿足,設(shè),記,例如,故,故有,16,引入輔助函數(shù),輔助函數(shù)f 稱為拉格朗日( lagrange )函數(shù),利用拉格,極值點(diǎn)必滿足,則極值點(diǎn)滿足,朗日函數(shù)求極值的方法稱為拉格朗日乘數(shù)法,因此,函數(shù),在條件,下的極值點(diǎn),一定是函數(shù),的駐點(diǎn),17,推廣,拉格朗日乘數(shù)法可推廣到多個自變量和多個約束條件的情形,設(shè),解方程組,可得到條件極值的可疑點(diǎn),例如, 求函數(shù),下的極值,在條件,18,例6,要設(shè)計一個容量為,則問題為求x , y,令,解方程組,解,下水箱表面積,最小,z 使在條件,水箱長、寬、高等于多少時所用材料最省,的長方體開口水箱, 試問,設(shè) x , y , z 分別表示長、寬、高,19,得唯一駐點(diǎn),由題意可知合理的設(shè)計是存在的,長、寬為高的 2 倍時，所用材料最省,因此 , 當(dāng)高為,思考,1) 當(dāng)水箱封閉時, 長、寬、高的尺寸如何,提示: 利用對稱性可知,2) 當(dāng)開口水箱底部的造價為側(cè)面的二倍時, 欲使造價,最省, 應(yīng)如何設(shè)拉格朗日函數(shù)? 長、寬、高尺寸如何,提示,長、寬、高尺寸相等,20,例7,求原點(diǎn)到曲面,的最短距離,解,