誤差理論與測量平差習(xí)題01

1、.誤差理論與測量平差習(xí)題 編 寫 葛永慧 付培義 胡海峰太原理工大學(xué)測繪科學(xué)與技術(shù)系第一章 緒論習(xí)題2第二章 平差數(shù)學(xué)模型與最小二乘原理習(xí)題3第三章 條件平差習(xí)題4第四章 間接平差習(xí)題7第五章附有限制條件的條件平差習(xí)題2第六章 誤差橢圓習(xí)題4第七章 誤差分布與平差參數(shù)的統(tǒng)計(jì)假設(shè)檢驗(yàn)習(xí)題6第八章 近代平差理論習(xí)題7第一章 緒論習(xí)題1.1 舉出系統(tǒng)誤差和偶然誤差的例子各5個。1.2 已知獨(dú)立觀測值、的中誤差分別為、，求下列函數(shù)的中誤差：（1） ； （2） ； （3） 1.3 已知觀測值及其協(xié)方差陣，組成函數(shù)和，、為常數(shù)陣，求協(xié)方差陣、和。1.4 若要在兩堅(jiān)強(qiáng)點(diǎn)間布設(shè)一條附合水準(zhǔn)路線，已知每公里觀測

2、中誤差等于，欲使平差后線路中點(diǎn)高程中誤差不大于，問該路線長度最多可達(dá)幾公里？1.5 有一角度測20測回，得中誤差，問再增加多少測回，其中誤差為？1.6 設(shè)對某量進(jìn)行了次獨(dú)立觀測，得觀測值，權(quán)為，試求加權(quán)平均值的權(quán)。1.7 取一長度為d的直線之丈量結(jié)果的權(quán)為1，求長度為D的直線之丈量結(jié)果的權(quán)。1.8 設(shè)有函數(shù)，其中、是無誤差的常數(shù)，的權(quán)為，。求函數(shù)的權(quán)倒數(shù)。1.9 已知觀測值向量，其協(xié)因數(shù)陣為單位陣。有如下方程：，式中：為已知的系數(shù)陣，為可逆矩陣。求（1）協(xié)因數(shù)陣、；（2）證明與和均互不相關(guān)。1.10 設(shè)分5段測定A、B兩水準(zhǔn)點(diǎn)間的高差，每段各測兩次，高差觀測值和距離如下：序號高差(m)距離S(

3、km)12345+3.248+0.348+1.444-3.360-3.699+3.240+0.356+1.437-3.352-3.7044.03.22.02.63.4試求：(1)每公里觀測高差的中誤差；(2)第二段觀測高差的中誤差；(3)第二段高差的平均值的中誤差；(4)全長一次(往測或返測)觀測高差的中誤差；(5)全長高差平均值的中誤差。第二章 平差數(shù)學(xué)模型與最小二乘原理習(xí)題2.1在圖2.1中，A，B點(diǎn)為已知水準(zhǔn)點(diǎn)，P1，P2，P3，P4為待定水準(zhǔn)點(diǎn)，觀測高差向量為，試列出條件平差的平差函數(shù)模型（將條件方程寫成真值之間的關(guān)系式）。2.2 為確定某航攝像片中一塊梯形的面積，用卡規(guī)量得上底邊長為

4、，下底邊長為，高為h，并用求積儀量得面積為S（見圖2.2），若設(shè)梯形面積為未知參數(shù)，試按附有參數(shù)的條件平差法列出平差函數(shù)模型。2.3 在如圖2.3的水準(zhǔn)網(wǎng)中，為已知水準(zhǔn)點(diǎn)，為待定點(diǎn)，觀測高差向量為，現(xiàn)選取點(diǎn)高程為未知參數(shù)，試列出間接平差的函數(shù)模型。2.4 在圖2.4的水準(zhǔn)網(wǎng)中，A，B點(diǎn)為已知水準(zhǔn)點(diǎn)，P1，P2點(diǎn)為待定水準(zhǔn)點(diǎn)，觀測高差為和。若設(shè)三段高差為未知參數(shù)，如圖所示，試按附有限制條件的間接平差列出平差函數(shù)模型。2.5 在圖2.5的水準(zhǔn)網(wǎng)中，A，B點(diǎn)為已知點(diǎn)，點(diǎn)為待定點(diǎn)，觀測高差為，若選AP1，P1P2及P2B路線的三段高差為未知參數(shù)，試按附有限制條件的條件平差列出條件方程和限制條件。第三章

5、 條件平差習(xí)題3.1 如圖3.1所示水準(zhǔn)網(wǎng)，A、B兩點(diǎn)為高程已知，各觀測高差及路線長度如表3.1所列。用條件平差法計(jì)算求知點(diǎn)的高程平差值及p2和p3之間平差后高差值的中誤差。圖3.1表3.1高差觀測值(m)對應(yīng)線路長度(km)已知點(diǎn)高程（m）h1 = 1.359h2 = 2.009h3 = 0.363h4 =-0.640h5 = 0.657h6 = 1.000h7 = 1.6501122112H1= 35.000H2= 36.0003.2 圖3.2中所示的中點(diǎn)三邊形，其內(nèi)角觀測值為等精度獨(dú)立觀測值（如表3.2所示），計(jì)算各觀測角值的平差值及CD邊長平差后的相對中誤差。表3.2觀測值觀測值觀測值

6、L1 = 3052 39.2L 2 = 4216 41.2L 7 = 10650 42.7L3 = 3340 54.8L4 = 2058 26.4L 8 = 12520 37.6L5 = 2345 12.5L6 = 2826 07.9L9 = 12748 41.53.3 如圖3.3所示單一附合導(dǎo)線，起算數(shù)據(jù)和觀測值如表3.3所示，測角中誤差為3，測邊標(biāo)稱精度為(5+5D)mm，按條件平差法計(jì)算各導(dǎo)線點(diǎn)的坐標(biāo)平差值，并評定3點(diǎn)平差后的點(diǎn)位精度。表3.3已知坐標(biāo)(m)已知方位角A (6556.947 , 4101.735)B (8748.155 , 6667.647)TAC = 493013.4T

7、BD = 2293013.4導(dǎo)線邊長觀測值(m)轉(zhuǎn)折角度觀測值S1 = 1628.524S2 = 1293.480S3 = 1229.421 2 4 S2 3 S3 4 2 3 S1 S4 A (1) 5 1 C D B (5) 圖3.3S4 = 1511.185 1 = 29145 27.82 = 27516 43.83 = 12849 32.34 = 27457 18.25 = 28910 52.93.4 設(shè)某平差問題是按條件平差法進(jìn)行的，其法方程式為：+=試求：（1）單位權(quán)中誤差； （2）若已知某一平差函數(shù)式，并計(jì)算得=44，=16，=4，試求該平差值函數(shù)的權(quán)倒數(shù)及其中誤差。3.5 有三

8、角網(wǎng)（如圖3.5），其中、為已知點(diǎn)，、為待定點(diǎn)，觀測角（=1，2，10），（1）試寫出邊的權(quán)函數(shù)式； （2）設(shè)觀測值同精度，且，已知方位角無誤差，試求平差后的權(quán)倒數(shù)。3.6 試按條件平差法求證在單一水準(zhǔn)路線（如圖3.6）中，平差后高程最弱點(diǎn)在水準(zhǔn)路線中央。3.7 已知條件式為,其中，觀測值協(xié)因數(shù)陣為，現(xiàn)有函數(shù)式，（1） 試求：； （2） 試證： 和是互不相關(guān)的。3.8 有獨(dú)立測邊網(wǎng)（如圖3.8），邊長觀測值列于表3.8。試按條件平差法求出改正數(shù)以及邊長平差值。（已知）。表3.8編號觀測值（m）S13110.398S22004.401S33921.397S43608.712S51712.624S

9、63813.557S72526.140S83588.582S92540.378第四章 間接平差習(xí)題一、 公式匯編與示例（一）、公式匯編附有限制條件的間接平差法的數(shù)學(xué)模型 （4-5-4） （4-5-5） （4-5-6）其中 法方程 （4-5-13） （4-5-14）式中 （4-5-12）其解為 （4-5-19） （4-5-18）式中 （4-5-16）觀測值和參數(shù)的平差值 （4-5-20） （4-5-21）單位權(quán)方差的估值 （4-5-22） （4-5-23）協(xié)因數(shù)陣見表4-10。參數(shù)平差值函數(shù)： （4-5-24）平差值函數(shù)的權(quán)函數(shù)式 （4-5-25）式中 （4-5-26）平差值函數(shù)的協(xié)因數(shù) （4-

10、5-27）平差值函數(shù)的中誤差 （4-5-28）（二）、示例例4-6 在圖4-11的三角網(wǎng)中，A、B為已知點(diǎn)，為基線邊，又已知B-E的方位角，觀測了全部角度值列于表4-12，試求各待定點(diǎn)坐標(biāo)的平差值和F點(diǎn)點(diǎn)位中誤差。圖4-11解：（1）繪制平差略圖（圖4-11）。（2）編制起算數(shù)據(jù)表（表4-11）。 （3）計(jì)算近似坐標(biāo)（計(jì)算過程略，近似坐標(biāo)列于表4-13）。 （4）計(jì)算近似邊長和近似方位角（計(jì)算過程略，結(jié)果列于表4-14）。（5）計(jì)算a、b系數(shù)，例中、以cm為單位，故a、b系數(shù)按下列計(jì)算：計(jì)算結(jié)果見表4-14。起 算 數(shù) 據(jù) 表 表4-11點(diǎn) 名坐 標(biāo) (m)邊 長 (m)方 位 角至 何 點(diǎn)X

11、YSB2802234.19019437826.2202492210.17EC6523.643DA2794005.70419433831.155 角 度 觀 測 值 表4-12角度編號觀 測 值角度編號觀 測 值角度編號觀 測 值1544929.577771459.0413563136.212432818.228461821.9314675149.113814211.629562638.8315553635.704481900.6010522711.4916642206.495853137.2111604847.6117621636.296460920.3512664359.3018532114

12、.20待定點(diǎn)近似坐標(biāo)與最后坐標(biāo) 表4-13點(diǎn) 名近 似 坐 標(biāo) (m)改 正 數(shù) (cm)最 后 坐 標(biāo) (m)C2804773.90919432985.9590.00+0.352804773.90919432985.962D2805958.63919426570.796+0.14+0.272805958.64019426570.799E2799571.97119430754.937+0.15+0.312799571.97219430754.940F2798372.25019423925.543+0.20+0.212798372.25219423925.545G2793886.72019428

13、172.793+0.10+0.122793886.72119428172.794a，b系數(shù)的計(jì)算 表4-14測 站照準(zhǔn)點(diǎn)近似方位角 近似邊長(m) AG26847 43.315659.60.3644+0.0077E3310421.376359.80.15690.2839B255350.409147.0BA2055350.40E2492210.167555.80.2555+0.0962C2974110.725466.10.33410.1753CB1174110.72E2031249.195660.20.1436+0.3349D2802747.876523.60.31090.0574DC10027

14、47.87E1464610.997635.2+0.1480+0.2260F1991322.268034.30.0845+0.2424EB692210.16A1510421.37G2042536.266244.20.1366+0.3008F2600211.406934.00.2930+0.0515D3264610.99C231249.19FD191322.26E800211.40G1363346.686177.3+0.2296+0.2425GF3163346.68E242536.26A884743.31（6）編制誤差方程系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)表（表4-15），其中（7）列立條件方程。由于選取了全部待定點(diǎn)坐

15、標(biāo)為參數(shù)，所以在基線邊的兩端點(diǎn)的參數(shù)、之間存在著一個基線條件，而在已知點(diǎn)坐標(biāo)、與參數(shù)、之間存在一個方位角條件?；€條件為，方位角條件為它們線性化后的形式為式中，。與的計(jì)算與誤差方程系數(shù)相同。（8）組成法方程并進(jìn)行解算。結(jié)果為（9）將坐標(biāo)改正數(shù)列入表4-13，計(jì)算平差后坐標(biāo)。（10）計(jì)算觀測角改正數(shù)（表4-15）和平差后的角值（略）。（11）精度評定。單位權(quán)中誤差點(diǎn)的縱橫坐標(biāo)的協(xié)因數(shù)、中誤差和點(diǎn)位中誤差為二、習(xí) 題4.1 在直角多邊形中（如圖4.1），測得三邊之長為及，試列出該圖的誤差方程式。4.2 在圖4.2中所示的水準(zhǔn)網(wǎng)中，各路線的觀測高差如下：；已知，若選擇，試列出誤差方程式。圖4.24.

16、3 圖4.3中,是已知點(diǎn), 為待定點(diǎn),網(wǎng)中觀測了12個角度和6條邊長。已知測角中誤差為，邊長測量中誤差為cm，起算數(shù)據(jù)及觀測值分別列表于表4.1和表4.2。表4.1點(diǎn) 號點(diǎn) 號坐 標(biāo) (m)坐標(biāo)方位角邊 長(m)xy4899.8468781.9454548.795130.8121099.4437572.62214 00 35.77123 10 57.974001.1177734.443表4.2編號觀測角編號觀測角編號觀測邊（m）12345684 07 38.237 46 34.958 05 44.133 03 03.2126 01 55.720 55 02.378910111274 18 16

17、.877 27 59.128 13 43.255 21 09.972 22 25.852 16 20.51314151617182463.943414.715216.236042.945085.085014.994.4 是否可以將誤差方程式看作附有未知數(shù)的條件式？試按附有未知數(shù)的條件平差導(dǎo)出普通間接平差的基礎(chǔ)方程。4.5 在附有未知數(shù)的條件平差當(dāng)中，試證明：（1） 未知數(shù)向量X與改正數(shù)向量V是互不相關(guān)的；（2） 平差值函數(shù)與改正數(shù)向量V是互不相關(guān)的。4.6 試證明：在附有條件的間接平差法中，（1） 改正數(shù)向量V與平差值向量是互不相關(guān)的；（2） 聯(lián)系數(shù)向量K與未知數(shù)的函數(shù)也是互不相關(guān)的。4.7

18、設(shè)有誤差方程，已知觀測值（i=1，2，n），精度相同，且權(quán)，按間接平差法求得參數(shù)的估值為 試證：（1）未知參數(shù)估值具有無偏性； （2）無偏估值的方差最小。 4.8 設(shè)未知數(shù)間互相誤差獨(dú)立，試求未知數(shù)函數(shù) 的權(quán)倒數(shù)。第五章附有限制條件的條件平差習(xí)題5.1 在圖5.1的單一附合水準(zhǔn)路線中，已知A，B點(diǎn)高程為HA=10.258m，HB=15.127m，P1，P2點(diǎn)為待定點(diǎn)，觀測高差及路線長度為：m， km m， kmm， km若選P1點(diǎn)高程及AP1路線上高差平差值為未知參數(shù)和，試按附有限制條件的條件平差：（1） 試列出條件方程和未知數(shù)間的限制條件；（2） 試求待定點(diǎn)P1及P2點(diǎn)的高差平差值及各路線上

19、的高差平差值。5.2 如圖5.2的水準(zhǔn)網(wǎng)，A點(diǎn)為已知點(diǎn)，B，C，D，E點(diǎn)為待定點(diǎn)，已知B，E兩點(diǎn)間的高差，各水準(zhǔn)路線的觀測高差及距離如下表：路線號觀測高差h（m）路線長度S（km）已知數(shù)據(jù)123454.3422.1401.2102.3545.3491.51.20.91.51.8HA=25.859mm現(xiàn)選B，E兩點(diǎn)的高程為未知參數(shù)，其近似值設(shè)為： m， m試按附有限制條件的條件平差：（1） 列出條件方程和限制條件（令權(quán)Pi=1/Si）；（2） 列出法方程； （3） 求協(xié)因數(shù)陣；（4） 求協(xié)因數(shù)陣和。5.3 在圖5.3的水準(zhǔn)網(wǎng)中，A，B，C，D點(diǎn)為已知點(diǎn)，P1，P2點(diǎn)為待定點(diǎn)，已知點(diǎn)高程為m，m，

20、m，m。高差觀測值為：m 權(quán)陣P為： 現(xiàn)選取AP1，BP1路線上高差的最或是值為未知參數(shù)和，其近似值為：m， m試按附有限制條件的條件平差：（1） 列出條件方程和限制條件方程；（2） 試求高差平差值及P1，P2點(diǎn)的高差平差值；（3） 試求未知數(shù)及其協(xié)因數(shù)陣。5.4 在圖5.4的測角網(wǎng)中，A，B，C點(diǎn)為已知點(diǎn)，P點(diǎn)為待定點(diǎn)，已知數(shù)據(jù)為：m， m140035.77, =1231057.97角 號角度觀測值為： 角 號角觀測值（ ）角觀測值（ ）12345684 07 38.237 46 34.958 05 44.133 03 03.2126 01 55.720 55 02.378910111274

21、 18 16.877 27 59.128 13 43.255 21 09.972 22 25.852 16 20.5現(xiàn)選取2和4為未知參數(shù)和，其近似值設(shè)為，試按附有限制條件的條件平差：（1） 列出條件方程和限制條件；（2） 列出法方程。第六章 誤差橢圓習(xí)題6.1 某一控制網(wǎng)只有一個待定點(diǎn)，設(shè)待定點(diǎn)的坐標(biāo)為未知數(shù)，進(jìn)行間接平差，其法方程為（系數(shù)陣的單位是）且已知。試求出待定點(diǎn)誤差橢圓的三個參數(shù)并繪出誤差橢圓，并用圖解法和計(jì)算法求出待定點(diǎn)的點(diǎn)位中誤差。6.2 如圖6-18 所示兩點(diǎn)間為一山頭，某條鐵路專用線在此經(jīng)過，要在兩點(diǎn)間開掘隧道，要求在貫通方向和貫通重要方向上的誤差不超過和。根據(jù)實(shí)地勘察，在

22、地形圖上設(shè)計(jì)的專用貫通測量控制網(wǎng)，為已知點(diǎn)，為待定點(diǎn)，根據(jù)原有測量資料知兩點(diǎn)的坐標(biāo)以及在地形圖上根據(jù)坐標(biāo)格網(wǎng)量得兩點(diǎn)的近似坐標(biāo)見表6-5，設(shè)計(jì)按三等控制網(wǎng)要求進(jìn)行觀測所有的9個角度，試估算設(shè)計(jì)的此控制網(wǎng)能否達(dá)到要求，并繪出兩點(diǎn)的點(diǎn)位誤差橢圓和相對誤差橢圓。表6-5 控制網(wǎng)各點(diǎn)（近似）坐標(biāo)表點(diǎn)名8986.68713737.3756642.2710122.125705.03610507.92814711.7510312.476.3 如圖6-19所示的控制網(wǎng)為一測邊網(wǎng)，為已知點(diǎn)，為待定點(diǎn)，設(shè)待定點(diǎn)的坐標(biāo)為未知數(shù)，進(jìn)行間接平差，平差后各點(diǎn)的坐標(biāo)見表6-6，單位權(quán)中誤差，法方程系數(shù)陣的逆陣也已求出如下，

23、表6-6 控制網(wǎng)各點(diǎn)坐標(biāo)表點(diǎn)號2108.2782623.7642814.2252385.1221966.5211000.0001000.0001945.3701698.4841361.445試?yán)L出三點(diǎn)的點(diǎn)位誤差橢圓及兩點(diǎn)的相對誤差橢圓；用計(jì)算法和圖解法求出邊的邊長相對中誤差和邊的方位角中誤差。 第七章 誤差分布與平差參數(shù)的統(tǒng)計(jì)假設(shè)檢驗(yàn)習(xí)題7.1統(tǒng)計(jì)某地區(qū)控制網(wǎng)中420個三角形的閉合差，得其平均值，已知，問該控制網(wǎng)的三角形閉合差的數(shù)學(xué)期望是否為零（?。?。7.2 設(shè)用某種光學(xué)經(jīng)緯儀觀測大量角度而得到的一測回測角中誤差為。今用試制的同類經(jīng)緯儀觀測了10個測回，算得一測回測角中誤差為，問新舊儀器的測角

24、精度是否相等（取）。7.3 已知某基線長度為，為了檢驗(yàn)一臺測距儀，用這臺測距儀對這條基線上測量了8次，得平均值，由觀測值算得子樣中誤差。試檢驗(yàn)這臺測距儀測量的長度與基線長度有無明顯差異（?。?？7.4 為了了解兩個人測量角度的精度是否相同，用同一臺經(jīng)緯儀兩人各觀測了9個測回，算得一測回中誤差分別為，問兩個人的測角精度是否相等（?。?。7.5 某一測區(qū)的平面控制網(wǎng)，共有50個三角形，其三角形閉合差結(jié)果見表72，試用偶然誤差的特性檢驗(yàn)三角形閉合差是否服從正態(tài)分布（?。?。表72序號序號序號序號序號12345678910-2.32-2.21-2.00-1.98-1.96-1.75-1.28-1.22-1.

25、13-1.1211121314151617181920-1.08-1.02-0.96-0.93-0.89-0.88-0.69-0.68-0.67-0.5121222324252627282930-0.39-0.31-0.27-0.25-0.120.090.160.260.330.37313233343536373839400.420.480.570.570.610.700.740.850.870.91414243444546474849500.991.081.631.841.851.872.082.262.352.407.6 數(shù)據(jù)同第5題，試用檢驗(yàn)法檢驗(yàn)三角形閉合差是否服從正態(tài)分布（取）。7.7 某單位新購置了一臺光電測距儀，為了求取測距精度與距離的關(guān)系，對長度不同的8段距離進(jìn)行觀測，計(jì)算出各段距離的中誤差，其數(shù)據(jù)見表73。假設(shè)精度與距離呈線性關(guān)系，即，試檢驗(yàn)平差參數(shù)的顯著性。表731.21.92.83.54.45.16.06.26.67.27.57.68.68.59.08.77.8 某三等平面控制網(wǎng)，觀測數(shù)為18，必要觀測數(shù)為4，平差求得測角中誤差；試檢驗(yàn)平差模型是否正確。（）7.9某一礦區(qū)三等平面控制網(wǎng)，多余觀測數(shù)，平差求得的測角中誤差為，試檢驗(yàn)平差模型是否正確