橢圓中的最值種1

1、橢圓中的最值 一、的最值問題（為一焦點(diǎn)，為橢圓內(nèi)部一定點(diǎn)，為橢圓上一動(dòng)點(diǎn)） 例1 已知橢圓內(nèi)有一點(diǎn)，為橢圓的右焦點(diǎn)，為橢圓上一動(dòng)點(diǎn)，則的最大值為 ，最小值為 。 解析：如圖，設(shè)橢圓的另一左焦點(diǎn)為。由橢圓的定義及基本不等式得=。當(dāng)且僅當(dāng)M、P、共線在MF延長(zhǎng)線上時(shí)取得等號(hào)，即有(max=。 又=4，且僅當(dāng)M、P、共線在的延長(zhǎng)線上時(shí)取得等號(hào)，即有()min x y0 二、的最小值問題（為一焦點(diǎn)，為其內(nèi)部一點(diǎn)，為橢圓上一動(dòng)點(diǎn)） 例2 已知如圖，點(diǎn)為橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，為右焦點(diǎn)，點(diǎn)為其內(nèi)部一點(diǎn)，坐標(biāo)為（1，），則的最小值。x 小小 y0解析 作出橢圓的右準(zhǔn)線，易求其方程為，過作右準(zhǔn)線的垂線，垂足為。易知該橢

2、圓的離心率為，故=，即，所以。當(dāng)、三點(diǎn)共線時(shí)等號(hào)成立。即（）min=3 三、的最值問題（為橢圓上動(dòng)點(diǎn)，、為其焦點(diǎn)） 例3 已知、為橢圓的左右焦點(diǎn)，點(diǎn)為橢圓上動(dòng)點(diǎn)，則的最大值為 ，最小值為 。 解析 設(shè)點(diǎn)，則，由焦半徑公式有，=，所以=。易知當(dāng)時(shí)，max,當(dāng)或時(shí)，min 四、的最值問題 例4 已知，則的最大值為 ，最小值為 。 解析 不難發(fā)現(xiàn)，的幾何意義是動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)、的距離之和等于4，故動(dòng)點(diǎn)的軌跡應(yīng)為以、為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸為4的橢圓。所以方程等價(jià)于，化為參數(shù)方程為（為參數(shù)），故（。所以（）max,()min. 五、的最值問題（為橢圓上動(dòng)點(diǎn)，、為其焦點(diǎn)） 例5 已知橢圓，、為其左右焦點(diǎn)，在橢圓上是否存在一點(diǎn)，使，證明你的結(jié)論。 解析 為敘述簡(jiǎn)便起見，不妨設(shè)，則有，且。由余弦定理知，即。又（對(duì)任意橢圓而言），由余弦函數(shù)的單調(diào)性知，也即的最大值為，當(dāng)，即時(shí)，取到最大值，故符合條件的點(diǎn)不存在。注：依此方法不難驗(yàn)證，對(duì)于任