高考數學一輪復習 第四章 三角函數、解三角形 4.4 函數y=Asin（ωx+φ）的圖像及應用 理 北師大版

1、4.4函數y=Asin(x+)的 圖像及應用,考綱要求:1.了解函數y=Asin(x+)的物理意義;能畫出y=Asin(x+)的圖像,了解參數A,對函數圖像變化的影響.2.會用三角函數解決一些簡單實際問題,體會三角函數是描述周期變化現象的重要函數模型,1.“五點法”作三角函數圖像的五點 作圖的五點是三角函數圖像在一個周期內的最高點、最低點及與x軸的三個交點. 2.作函數y=Asin(x+)(A0,0)的簡圖的步驟 (1)定點:如下表所示. (2)作圖:在坐標系中描出這五個關鍵點,用平滑的曲線順次連接得到y(tǒng)=Asin(x+)在一個周期內的圖像. (3)擴展:將所得圖像,按周期向兩側擴展可得y=A

2、sin(x+)在R上的圖像,3.由y=sin x的圖像得y=Asin(x+)(A0,0)的圖像的兩種方法,4.函數y=Asin(x+)的物理意義 當函數y=Asin(x+)(A0,0),x0,+)表示某一個振動時,A叫做振幅, 叫做周期, 叫做頻率,x+叫做相位,叫做初相,2,3,4,1,5,2,3,4,1,5,答案,解析,2,3,4,1,5,3.若函數y=cos (N+)的一個對稱中心是 ,則的最小值為() A.1B.2C.4D.8,答案,解析,2,3,4,1,5,4.將函數y=8sin x的圖像上所有的點向右平移 個單位長度,再把所得各點的橫坐標伸長到原來的4倍(縱坐標不變),所得圖像的函

3、數解析式是,答案,解析,2,3,4,1,5,5.若將函數f(x)=sin 的圖像向右平移個單位,所得圖像關于y軸對稱,則的最小正值是,答案,解析,2,3,4,1,5,自測點評 1.利用圖像變換由y=sin x的圖像作y=Asin(x+)(A0,0)(xR)的圖像,若先平移后伸縮,平移的量是|個單位,而先伸縮再平移,平移的量是 個單位. 2.三角函數圖像的對稱中心就是圖像與x軸的交點坐標,若函數f(x)=Asin(x+)的對稱中心為(x0,0),則有f(x0)=0. 3.有關三角函數性質的題目,要將三角函數化為y=Asin(x+)的形式,最大值、最小值與A的符號有關.y=Asin(x+)的圖像的

4、兩個相鄰對稱軸間的距離是半個周期. 4.函數y=Asin(x+)的圖像橫向伸長,周期變大,x的系數變小;橫向縮短,周期變小,x的系數變大,考點1,考點2,考點3,知識方法,易錯易混,考點1函數y=Asin(x+)的圖像及變換 例1(2015湖北,理17)某同學用“五點法”畫函數f(x)=Asin(x+) 在某一個周期內的圖像時,列表并填入部分數據,如下表,考點1,考點2,考點3,知識方法,易錯易混,考點1,考點2,考點3,知識方法,易錯易混,考點1,考點2,考點3,知識方法,易錯易混,思考:作函數y=Asin(x+)(A0,0)的圖像有哪些方法? 解題心得:1.函數y=Asin(x+)(A0,

5、0)的圖像的兩種作法: (1)五點法:用“五點法”作y=Asin(x+)的簡圖,主要是通過變量代換,設z=x+,由z取 2來求出相應的x,通過列表,計算得出五點坐標,描點后得出圖像. (2)圖像變換法:由函數y=sin x的圖像通過變換得到y(tǒng)=Asin(x+)的圖像,有兩種主要途徑“先平移后伸縮”與“先伸縮后平移”. 2.變換法作圖像的關鍵是看x軸上是先平移后伸縮還是先伸縮后平移,對于后者可利用x+= 來確定平移單位,考點1,考點2,考點3,知識方法,易錯易混,對點訓練1已知函數y=2sin , (1)求它的振幅、周期、初相; (2)用“五點法”作出它在一個周期內的圖像; (3)說明y=2si

6、n 的圖像可由y=sin x的圖像經過怎樣的變換而得到,考點1,考點2,考點3,知識方法,易錯易混,考點1,考點2,考點3,知識方法,易錯易混,考點1,考點2,考點3,知識方法,易錯易混,考點2求函數y=Asin(x+)的解析式(多維探究) 類型一由函數的圖像求函數y=Asin(x+)的解析式 例2(2015課標全國,理8)函數f(x)=cos(x+)的部分圖像如圖所示,則f(x)的單調遞減區(qū)間為() 思考:由y=Asin(x+)+b(A0,0)的圖像求其解析式的方法和步驟是怎樣的,考點1,考點2,考點3,知識方法,易錯易混,考點1,考點2,考點3,知識方法,易錯易混,考點1,考點2,考點3,

7、知識方法,易錯易混,類型二由函數y=Asin(x+)的性質求解析式 例3已知角的終邊經過點P(1,-1)(|0)圖像上的任意兩點.當|f(x1)-f(x2)|=2時,若|x1-x2|的最小值為 ,則f(x)的解析式為,答案,解析,考點1,考點2,考點3,知識方法,易錯易混,思考:如何由函數y=Asin(x+)的性質確定A,? 解題心得:1.由圖像確定y=Asin(x+)+b(A0,0)的解析式的步驟和方法: 2.由函數y=Asin(x+)的性質確定其解析式的方法:由函數的最值確定A,由函數的周期性確定,由函數的奇偶性或對稱性確定,考點1,考點2,考點3,知識方法,易錯易混,對點訓練2(1)若函

8、數f(x)=2sin(x+) 的部分圖像如圖所示,則,的值分別是(,答案,解析,考點1,考點2,考點3,知識方法,易錯易混,2)已知函數y=Asin(x+)(A0,0,0)的兩個相鄰最值點為 ,則這個函數的解析式為,答案,解析,考點1,考點2,考點3,知識方法,易錯易混,考點3函數y=Asin(x+)性質的應用,考點1,考點2,考點3,知識方法,易錯易混,考點1,考點2,考點3,知識方法,易錯易混,思考:如何求解三角函數圖像與性質的綜合問題? 解題心得:解決三角函數圖像與性質綜合問題的方法:先將y=f(x)化為y=asin x+bcos x的形式,然后用輔助角公式化為y=Asin(x+)的形式

9、,再借助y=Asin(x+)的性質(如周期性、對稱性、單調性等)解決相關問題,考點1,考點2,考點3,知識方法,易錯易混,答案,考點1,考點2,考點3,知識方法,易錯易混,1.由函數y=Asin(x+)的圖像確定A,的題型,常常以“五點法”中的五個點作為突破口,要從圖像的升降情況找準第一個“零點”和第二個“零點”的位置.要善于抓住特殊量和特殊點. 2.函數y=Asin(x+)的圖像與x軸的每一個交點均為其對稱中心,若函數f(x)=Asin(x+)的圖像關于點(x0,0)成中心對稱,則x0+=k(kZ);經過函數y=Asin(x+)圖像的最高點或最低點,且與x軸垂直的直線都為其對稱軸.兩個相鄰對稱軸的距離是半個周期,若函數f(x)=Asin(x+)的圖像關于直線x=