灰色系統(tǒng)理論

1、灰色系統(tǒng)理論學(xué)科簡(jiǎn)介,灰色系統(tǒng)理論（Grey System Theory）的創(chuàng)立源于20世紀(jì)80年代。鄧聚龍教授在1981年上海中-美控制系統(tǒng)學(xué)術(shù)會(huì)議上所作的“含未知數(shù)系統(tǒng)的控制問(wèn)題”的學(xué)術(shù)報(bào)告中首次使用了“ 灰色系統(tǒng)”一詞,灰色理論的創(chuàng)立,1982年，鄧聚龍發(fā)表了“參數(shù)不完全系統(tǒng)的最小信息正定”、“灰色系統(tǒng)的 控制問(wèn)題”等系列論文，奠定了灰色系統(tǒng)理論的基礎(chǔ)。他的論文在國(guó)際上引起了高度的重視，美國(guó)哈佛大學(xué)教授、系統(tǒng)與控制通信,雜志主編布羅克特（Brockett）給予灰色系統(tǒng)理論高度評(píng)價(jià)，因而，眾多的中青年學(xué)者加入到灰色系統(tǒng)理論的研究行列，積極探索灰色系統(tǒng)理論及其應(yīng)用研究,鄧聚龍系統(tǒng)理論則主張從

2、事物內(nèi)部，從系統(tǒng)內(nèi)部結(jié)構(gòu)及參數(shù)去研究系統(tǒng)，以消除“黑箱”理論從外部研究事物而使已知信息不能充分發(fā)揮作用的弊端，因而，被認(rèn)為是比“黑箱”理論更為準(zhǔn)確的系統(tǒng)研究方法,灰色系統(tǒng)理論與概率論、模糊數(shù)學(xué)一起并稱為 研究不確定性系統(tǒng)的三種常用方法，具有能夠利用“少數(shù)據(jù)” 建模尋求現(xiàn)實(shí)規(guī)律的良好特 性，克服了數(shù)據(jù)不足或系統(tǒng)周期短的矛盾,所謂灰色系統(tǒng) 是指部分信息已知而部分信息未知的系統(tǒng)，灰色系統(tǒng)理論所要考察和研究的是對(duì)信息不完備的系統(tǒng)，通過(guò)已知信息來(lái)研究和預(yù)測(cè)未知領(lǐng)域從而達(dá)到了解整個(gè)系統(tǒng)的目的,灰色系統(tǒng),灰色系統(tǒng) 理論應(yīng)用,目前，灰色系統(tǒng)理論得到了極為廣泛的應(yīng)用，不僅成功地應(yīng)用于工程控制、經(jīng)濟(jì)管理、社會(huì)系統(tǒng)

3、、生態(tài)系統(tǒng)等領(lǐng)域，而且在復(fù)雜多變的農(nóng)業(yè)系統(tǒng)，如在水利、氣象、生物防治、農(nóng)機(jī)決策、農(nóng)業(yè)規(guī)劃、農(nóng)業(yè)經(jīng)濟(jì)等方面也取得了可喜的成就?；疑到y(tǒng)理論在管理學(xué)、決策學(xué)、戰(zhàn)略學(xué)、預(yù)測(cè)學(xué)、未來(lái)學(xué)、生命科學(xué)等領(lǐng)域展示了極為廣泛的應(yīng)用前景,灰色理論的發(fā)展,灰色預(yù)測(cè)理論,1.1 灰色預(yù)測(cè)理論 1.2 GM(1,1)模型 1.3 GM(1,1)殘差模型及GM (n, h)模型,1 灰色預(yù)測(cè)法,1.1 灰 色 預(yù) 測(cè) 理 論,一、灰色預(yù)測(cè)的概念,1）灰色系統(tǒng)、白色系統(tǒng)和黑色系統(tǒng),白色系統(tǒng)是指一個(gè)系統(tǒng)的內(nèi)部特征是完全 已知的，即系統(tǒng)的信息是完全充分的,回總目錄,回本章目錄,黑色系統(tǒng)是指一個(gè)系統(tǒng)的內(nèi)部信息對(duì)外界 來(lái)說(shuō)是一無(wú)所

4、知的，只能通過(guò)它與外界的 聯(lián)系來(lái)加以觀測(cè)研究,灰色系統(tǒng)內(nèi)的一部分信息是已知的，另一 部分信息是未知 的，系統(tǒng)內(nèi)各因素間有不 確定的關(guān)系,回總目錄,回本章目錄,灰色預(yù)測(cè)法是一種對(duì)含有不確定因素的系 統(tǒng)進(jìn)行預(yù)測(cè)的方法。 灰色預(yù)測(cè)是對(duì)既含有已知信息又含有不確定 信息的系統(tǒng)進(jìn)行預(yù)則，就是對(duì)在一定范圍內(nèi) 變化的、與時(shí)間有關(guān)的灰色過(guò)程進(jìn)行預(yù)測(cè),2）灰色預(yù)測(cè)法,回總目錄,回本章目錄,灰色預(yù)測(cè)通過(guò)鑒別系統(tǒng)因素之間發(fā)展趨 勢(shì)的相異程度，即進(jìn)行關(guān)聯(lián)分析，并對(duì) 原始數(shù)據(jù)進(jìn)行生成處理來(lái)尋找系統(tǒng)變動(dòng) 的規(guī)律，生成有較強(qiáng)規(guī)律性的數(shù)據(jù)序列， 然后建立相應(yīng)的微分方程模型，從而預(yù) 測(cè)事物未來(lái)發(fā)展趨勢(shì)的狀況,灰色預(yù)測(cè)法用等時(shí)距觀

5、測(cè)到的反映預(yù)測(cè)對(duì) 象特征的一系列數(shù)量值構(gòu)造灰色預(yù)測(cè)模型， 預(yù)測(cè)未來(lái)某一時(shí)刻的特征量，或達(dá)到某一 特征量的時(shí)間,3）灰色預(yù)測(cè)的四種常見(jiàn)類(lèi)型,灰色時(shí)間序列預(yù)測(cè) 即用觀察到的反映預(yù)測(cè)對(duì)象特征的時(shí)間序列來(lái)構(gòu)造灰色預(yù)測(cè)模型，預(yù)測(cè)未來(lái)某一時(shí)刻的特征量，或達(dá)到某一特征量的時(shí)間。 畸變預(yù)測(cè) 即通過(guò)灰色模型預(yù)測(cè)異常值出現(xiàn)的時(shí)刻，預(yù)測(cè)異常值 什么時(shí)候出現(xiàn)在特定時(shí)區(qū)內(nèi),系統(tǒng)預(yù)測(cè) 通過(guò)對(duì)系統(tǒng)行為特征指標(biāo)建立一組相互關(guān)聯(lián)的灰色預(yù)測(cè)模型，預(yù)測(cè)系統(tǒng)中眾多變量間的相互協(xié)調(diào)關(guān)系的變化。 拓?fù)漕A(yù)測(cè) 將原始數(shù)據(jù)做曲線，在曲線上按定值尋找該定值發(fā)生的所有時(shí)點(diǎn)，并以該定值為框架構(gòu)成時(shí)點(diǎn)數(shù)列，然后建立模型預(yù)測(cè)該定值所發(fā)生的時(shí)點(diǎn),二、生成

6、列,為了弱化原始時(shí)間序列的隨機(jī)性，在 建立灰色預(yù)測(cè)模型之前，需先對(duì)原始時(shí)間 序列進(jìn)行數(shù)據(jù)處理，經(jīng)過(guò)數(shù)據(jù)處理后的時(shí) 間序列即稱為生成列,回總目錄,回本章目錄,累加,累加是將原始序列通過(guò)累加得到生成列,灰色系統(tǒng)常用的數(shù)據(jù)處理方式有累加 和累減兩種,1）數(shù)據(jù)處理方式,累加的規(guī)則,將原始序列的第一個(gè)數(shù)據(jù)作為生成 列的第一個(gè)數(shù)據(jù)，將原始序列的第二個(gè) 數(shù)據(jù)加到原始序列的第一個(gè)數(shù)據(jù)上，其 和作為生成列的第二個(gè)數(shù)據(jù)，將原始序 列的第三個(gè)數(shù)據(jù)加到生成列的第二個(gè)數(shù) 據(jù)上，其和作為生成列的第三個(gè)數(shù)據(jù)， 按此規(guī)則進(jìn)行下去，便可得到生成列,回總目錄,回本章目錄,記原始時(shí)間序列為,生成列為,上標(biāo)1表示一次累加，同理，可作

7、m次累加,對(duì)非負(fù)數(shù)據(jù)，累加次數(shù)越多則隨機(jī)性弱化 越多，累加次數(shù)足夠大后，可認(rèn)為時(shí)間序 列已由隨機(jī)序列變?yōu)榉请S機(jī)序列。 一般隨機(jī)序列的多次累加序列，大多可用 指數(shù)曲線逼近,累減,將原始序列前后兩個(gè)數(shù)據(jù)相減得到累減生成列,累減是累加的逆運(yùn)算，累減可將累加生成 列 還原為非生成列，在建模中獲得增量信息,一次累減的公式為,三、關(guān)聯(lián)度,關(guān)聯(lián)度分析是分析系統(tǒng)中各因素關(guān)聯(lián)程度的方法，在計(jì)算關(guān)聯(lián)度之前需先計(jì)算關(guān)聯(lián)系數(shù),1）關(guān)聯(lián)系數(shù),設(shè),則關(guān)聯(lián)系數(shù)定義為,回總目錄,回本章目錄,式中,為第k個(gè)點(diǎn),稱為分辨率，01,一般取=0.5,對(duì)單位不一，初值不同的序列，在計(jì)算相關(guān)系數(shù)前應(yīng)首先進(jìn)行初始化，即將該序列所有數(shù)據(jù)分別

8、除以第一個(gè)數(shù)據(jù),的絕對(duì)誤差,和,為兩級(jí)最小差,為兩級(jí)最大差,2）關(guān)聯(lián)度,和,的關(guān)聯(lián)度為,一個(gè)計(jì)算關(guān)聯(lián)度的例子,工業(yè)、農(nóng)業(yè)、運(yùn)輸業(yè)、商業(yè)各部門(mén)的行為數(shù)據(jù)如下,工業(yè),農(nóng)業(yè),運(yùn)輸業(yè),商業(yè),參考序列分別為,被比較序列為,試求關(guān)聯(lián)度,解答,以,為參考序列求關(guān)聯(lián)度,第一步：初始化，即將該序列所有數(shù)據(jù)分別 除以第一個(gè)數(shù)據(jù)。得到,第二步：求序列差,第三步：求兩極差,第四步：計(jì)算關(guān)聯(lián)系數(shù),取=0.5，有,從而,第五步：求關(guān)聯(lián)度,計(jì)算結(jié)果表明，運(yùn)輸業(yè)和工業(yè)的關(guān)聯(lián)程度 大于農(nóng)業(yè)、商業(yè)和工業(yè)的關(guān)聯(lián)程度,為參考序列時(shí)，計(jì)算類(lèi)似，這里略去,1.2 GM(1,1)模型,一、GM（1，1）模型的建立,設(shè)時(shí)間序列,有n個(gè)觀,察

9、值，通過(guò)累加生成新序列,則GM（1，1）模型相應(yīng)的微分方程為,其中：稱為發(fā)展灰數(shù)；稱為內(nèi)生控制灰數(shù),回總目錄,回本章目錄,設(shè),為待估參數(shù)向量,最小二乘法求解。解得,求解微分方程，即可得預(yù)測(cè)模型,可利用,灰色預(yù)測(cè)檢驗(yàn)一般有殘差檢驗(yàn)、關(guān)聯(lián)度檢,二、模型檢驗(yàn),1）殘差檢驗(yàn),按預(yù)測(cè)模型計(jì)算,并將,累減生成,然后計(jì)算原始序列,與,的絕對(duì)誤差序列及相,對(duì)誤差序列,驗(yàn)和后驗(yàn)差檢驗(yàn),2）關(guān)聯(lián)度檢驗(yàn),根據(jù)前面所述關(guān)聯(lián)度的計(jì)算方法算出,與原始序列,的關(guān)聯(lián)系數(shù)，然后計(jì)算出關(guān)聯(lián),度，根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，當(dāng)=0.5時(shí)，關(guān)聯(lián)度大于0.6便 滿意了,3）后驗(yàn)差檢驗(yàn),a.計(jì)算原始序列標(biāo)準(zhǔn)差,回總目錄,回本章目錄,b. 計(jì)算絕對(duì)誤差序列

10、的標(biāo)準(zhǔn)差,c. 計(jì)算方差比,回本章目錄,d. 計(jì)算小誤差概率,令,則,P 0.95 0.80 0.70 0.70,C 0.35 0.50 0.65 0.65,好 合格 勉強(qiáng)合格 不合格,1.3 GM(1,1)殘差模型及GM (n, h)模型,一、殘差模型,若用原始經(jīng)濟(jì)時(shí)間序列,模型檢驗(yàn)不合格或精度不理想時(shí)，要對(duì)建立的 GM（1，1）模型進(jìn)行殘差修正或提高模型的預(yù) 測(cè)精度。修正的方法是建立GM（1，1）的殘差 模型,建立的GM(1,1,二、 GM（n，h）模型,GM（n，h）模型是微分方程模型，可用 于對(duì)描述對(duì)象做長(zhǎng)期、連續(xù)、動(dòng)態(tài)的反映。從原則上講，某一灰色系統(tǒng)無(wú)論內(nèi)部機(jī)制如何，只要能將該系統(tǒng)原

11、始表征量表示為時(shí)間,并有,N表示自然數(shù)集），即可用GM模型對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行描述,序列,例題：某單位近年的火災(zāi)損失如下。 表 某油田的火災(zāi)損失金額 （單位：萬(wàn)元） 序 號(hào) 1997 1998 1999 2000 2001 X(0) 2.874 3.278 3.337 3.390 3.679 X(1) 2.874 6.152 9.489 12.879 6.558 代入上面的公式后得到,第二步，計(jì)算矩陣和 的值,第三步，計(jì)算參數(shù),第四步，建立灰色模型,推導(dǎo)出時(shí)間響應(yīng)函數(shù),第五步，對(duì)生成數(shù)列進(jìn)行誤差（殘差）檢驗(yàn),第六步，還原原始數(shù)列：根據(jù)公式， 可得數(shù)據(jù)如下,5.4 灰色系統(tǒng)的GM(1,1)殘差模型,假使按照原始數(shù)據(jù),建立的GM(1,1)模型如果檢驗(yàn)不合格，或者是為了提高模型的精度， 可以考慮建立殘差的GM(1,1)模型，對(duì)原模型進(jìn)行修正。 如果按一鄰域已得到下述的GM(1,1)模型的時(shí)間響應(yīng)函數(shù),從模型得到的數(shù)據(jù)列為,已知原有的生成數(shù)據(jù)數(shù)列AGO為,定義殘差為,如果，便有殘差列,為了便于計(jì)算，令,上式改寫(xiě)為,對(duì),建立GM(1,1)模型，有時(shí)間響應(yīng)為,對(duì)上式求導(dǎo)數(shù)，有,將上述的GM(