CUMCM歷年賽題1993-1999

1、附錄：1993年全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)模型競(jìng)賽試題（1993年10月15日-17日）a題 非線性交調(diào)的頻率設(shè)計(jì) 如果一非線性器件輸入u(t)gn 與輸出y(t)的關(guān)系是 y(t)=u(t)+u2(t)(其中t是時(shí)間)，那么當(dāng)輸入是包含頻率的信號(hào)時(shí)，輸出 中不公是包含輸入信號(hào)，而且還會(huì)出現(xiàn)等新的頻率成分，這些新的頻率稱為交調(diào)，如果交調(diào)出現(xiàn)在原有頻率的附近，就會(huì)形成噪聲干擾，因此工程設(shè)計(jì)中對(duì)交調(diào)的出現(xiàn)有一定的要求。 現(xiàn)有一scs（非線性）系統(tǒng)，其輸入輸出關(guān)系由如下一組數(shù)據(jù)給出輸入u 0 5 10 20 30 40 50 60 80 輸出y 0 2.25 6.80 20.15 35.70 56.40 75.

2、10 87.85 98.50 輸入信號(hào)為u(t)=a1cos2f1t+a2cos2f2t+a3cos2f3t， 其中a1=25,a2是輸入信號(hào)振幅的頻率f1,f2,f3的設(shè)計(jì)要求為: 1)36f140,41f250,46f353. 2)輸出中的交調(diào)均不得出現(xiàn)在fi5的范圍內(nèi)(i=1,2,3),此范圍稱為fi的接收帶。3)定義輸出中的信噪比snr=10log10(bi2(單位:分),其中是bi輸出中對(duì)應(yīng)于頻率為fn 信號(hào)的振幅,cn是某一頻率為的交調(diào)的振幅,若fn出現(xiàn)在fn=fi6處(i=1,2,3),則對(duì)應(yīng)的snr應(yīng)大于10分貝。4）fi不得出現(xiàn)在fi的接帶內(nèi)（i,j=1,2,3,ij) 5)

3、為簡(jiǎn)單起見，fi只取整數(shù)值，交調(diào)只考慮2階類型（即fifjfk,i,j,k=1,2,3），試按上述要求設(shè)計(jì)輸入信號(hào)頻率f1,f2,f3. 本題由北京大學(xué)謝衷潔提供。 b題 足球隊(duì)排名次 下表給出了我國(guó)12支足球隊(duì)在1988-1989年全國(guó)足球級(jí)聯(lián)賽中的成績(jī)，要求 1）設(shè)計(jì)一個(gè)依據(jù)這些成績(jī)排出諸隊(duì)名次的算法，并給出用該算法排名次的結(jié)果。 2）把算法推廣到任意n個(gè)隊(duì)的情況。 3）討論：數(shù)據(jù)應(yīng)具備什么樣的條件，用你的方法才能夠排出諸隊(duì)的名次。 對(duì)下表的說(shuō)明： 1）12支球隊(duì)依次記作t1,t2,，t12. 2）符號(hào)x表示兩隊(duì)未曾比賽。 3）數(shù)字表示兩隊(duì)比賽結(jié)果，如t3行與y8列交叉處的數(shù)字表示：t3與

4、t8比賽了2場(chǎng)；t3與t8的進(jìn)球之比為0：1和3：1。 本題由清華大學(xué)蔡大用提供。 1993年全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)模型競(jìng)賽總結(jié)及部分優(yōu)秀論文可參閱“數(shù)學(xué)的認(rèn)識(shí)與實(shí)踐”1994年第2期，71-96。 t1 t2 t3 t4 t5 t6 t7 t8 t9 t10 t11 t12t1x 0:1 2:2 2:0 3:1 1:0 0:1 0:2 1:0 1:1 x x1:0 1:0 3:1 1:3 2:1 4:0 1:10:0 0:2 1:0t22:0 0:0 1:1 2:1 1:1 0:0 2:0 0:2 x 0:1 2:0 1:1 0:0 1:1 0:0 x x 1:3 0:0 t3 4:2 2:1 3:

5、0 1:0 0:1 1:0 0:1 x 1:1 1:4 3:1 2:3 2:0 x x 0:0t4 2:3 0:1 0:5 2:1 0:1 0:1 x 2:3 1:3 0:0 1:1 x x t5 0:1 1:0 0:1 x x x x x 1:2 1:1 t6 x x x x x x x t7 1:0 2:1 3:1 3:1 2:0x 2:0 3:0 3:0 0:0 1:0 2:2t8 0:1 1:1 3:1 0:0 x 1:2 1:0 2:0 0:1t9 3:0 1:0 1:0 x 1:0 0:0 t10 1:0 2:0 x t11 1:1 x 1:2 1:1t12 x1994年全國(guó)大學(xué)生

6、數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽題a題 逢山開路 要在一山區(qū)修建公路, 首先測(cè)得一些地點(diǎn)的高程, 數(shù)據(jù)見表1(平面區(qū)域0 x5600,0y4800,表中數(shù)據(jù)為坐標(biāo)點(diǎn)的高程, 單位:米).數(shù)據(jù)顯示: 在 y=3200 處有一東西走向的山峰; 從坐標(biāo) (2400,2400) 到 (4800,0) 有一西北 - 東南走向的山谷; 在 (2000,2800) 附近有一山口湖, 其最高水位略高于 1350 米, 雨季在山谷中形成一溪流. 經(jīng)調(diào)查知, 雨量最大時(shí)溪流水面寬度 w 與(溪流最深處) 的 x 坐標(biāo)的關(guān)系可近似表示為 w(x)=(x-2400 3/4 )/2 ) + 5 (2400x4000). 公路從山腳 (0,

7、800) 處開始, 經(jīng)居民點(diǎn) (4000,2000) 至礦區(qū) (2000,4000). 已知路段工程成本及對(duì)路段坡度 (上升高程與水平距離之比) 的限制如表 2. 1) 試給出一種線路設(shè)計(jì)方案, 包括原理、方法及比較精確的線路位置(含橋梁、隧道), 并估算該方案的總成本. 2) 如果居民點(diǎn)改為3600x4000, 2000y2400的居民區(qū), 公路只須經(jīng)過居民區(qū)即可, 那么你的方案有什么改變. 表一 北 _48001350 1370 1390 1400 1410 960 940 880 800 690 570 430 290 210 15 44001370 1390 1410 1430 144

8、0 1140 1110 1050 950 820 690 540 380 300 21 40001380 1410 1430 1450 1470 1320 1280 1200 1080 940 780 620 460 370 35 36001420 1430 1450 1480 1500 1550 1510 1430 1300 1200 980 850 750 550 50 32001430 1450 1460 1500 1550 1600 1550 1600 1600 1600 1550 1500 1500 1550 155 2800 950 1190 1370 1500 1200 1100

9、 1550 1600 1550 1380 1070 900 1050 1150 120 2400 910 1090 1270 1500 1200 1100 1350 1450 1200 1150 1010 880 1000 1050 110 2000 880 1060 1230 1390 1500 1500 1400 900 1100 1060 950 870 900 930 95 1600 830 980 1180 1320 1450 1420 1400 1300 700 900 850 840 380 780 75 1200 740 880 1080 1130 1250 1280 1230

10、 1040 900 500 700 780 750 650 55 800 650 760 880 970 1020 1050 1020 830 800 700 300 500 550 480 35 400 510 620 730 800 850 870 850 780 720 650 500 200 300 350 32 0 730 470 550 600 670 690 670 620 580 450 400 300 100 150 25 _ y/x 0 400 800 1200 1600 2000 2400 2800 3200 3600 4000 4400 4800 5200 560 b

11、題 鎖具裝箱 某廠生產(chǎn)一種彈子鎖具, 每個(gè)鎖具的鑰匙有 5 個(gè)槽, 每個(gè)槽的高度從 1,2,3,4, 5,6 6 個(gè)數(shù) (單位略) 中任取一數(shù). 由于工藝及其它原因, 制造鎖具時(shí)對(duì) 5 個(gè)槽的高度 還有兩個(gè)限制: 至少有 3 個(gè)不同的數(shù); 相鄰兩槽高度之差不能為 5. 滿足以上條件制造 出來(lái)的所有互不相同的鎖具稱為一批. 出來(lái)的所有互不相同的鎖具稱為一批. 從顧客的利益出發(fā), 自然希望在每批鎖具中一把鑰匙開一把鎖. 但是在當(dāng)前工 藝條件下, 對(duì)于同一批中兩個(gè)鎖具是否能夠互開, 有以下試驗(yàn)結(jié)果: 若二者相對(duì)應(yīng)的 5個(gè) 槽的高度中有 4個(gè)相同, 另一個(gè)的高度差為 1, 則可能互開; 在其它情形下,

12、 不可能互開. 原來(lái), 銷售部門在一批鎖具中隨意地取每 60個(gè)裝一箱出售. 團(tuán)體顧客往往購(gòu)買 幾箱到幾十箱, 他們抱怨購(gòu)得的鎖具會(huì)出現(xiàn)互相開的情形. 現(xiàn)聘聘請(qǐng)你為顧問, 回答并解 決以下問題: 1) 每一批鎖具有多少個(gè), 裝多少箱. 2) 為銷售部門提供一種方案, 包括如何裝箱(仍是60個(gè)鎖具一箱),如何給箱子以標(biāo)志, 出售時(shí)如何利用這些標(biāo)志, 使團(tuán)體顧客不再或減少抱怨. 3) 采取你提出的方案, 團(tuán)體顧客的購(gòu)買量不超過多少箱, 就可以保證一定不會(huì)出現(xiàn)互開。 4) 按照原來(lái)的裝箱辦法, 如何定量地衡量團(tuán)體顧客抱怨互開的程度 (試對(duì)購(gòu)買一、二 箱者給出具體結(jié)果). 1995年全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)

13、賽a題 一個(gè)飛行管理模型 在約10,000米高空的某邊長(zhǎng)160公里的正方形區(qū)域內(nèi), 經(jīng)常有若干架飛機(jī)作水平飛行。區(qū)域內(nèi)每架飛機(jī)的位置和速度均由計(jì)算機(jī)記錄其數(shù)據(jù)，以便進(jìn)行飛行管理。當(dāng)一架欲進(jìn)入該區(qū)域的飛機(jī)到達(dá)區(qū)域邊緣, 記錄其數(shù)據(jù)后，要立即計(jì)算并判斷是否會(huì)與區(qū)域內(nèi)的飛機(jī)發(fā)生碰撞。如果會(huì)碰撞，則應(yīng)計(jì)算如何調(diào)整各架(包括新進(jìn)入的)飛機(jī)飛行方向角，以避免碰撞。現(xiàn)假定條件如下: 1) 不碰撞的標(biāo)準(zhǔn)為任意兩架飛機(jī)的距離大于8公里; 2) 飛機(jī)飛行方向角調(diào)整的幅度不應(yīng)超過30度; 3) 所有飛機(jī)飛行速度均為每小時(shí)800公里; 4) 進(jìn)入該區(qū)域的飛機(jī)在到達(dá)區(qū)域邊緣時(shí), 與區(qū)域內(nèi)飛機(jī)的距離應(yīng)在60公里以上; 5

14、) 最多需考慮6架飛機(jī); 6) 不必考慮飛機(jī)離開此區(qū)域后的狀況。 請(qǐng)你對(duì)這個(gè)避免碰撞的飛行管理問題建立數(shù)學(xué)模型，列出計(jì)算步驟，對(duì)以下數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算(方向角誤差不超過0.01度)，要求飛機(jī)飛行方向角調(diào)整的幅度盡量小。設(shè)該區(qū)域4個(gè)頂點(diǎn)的座標(biāo)為(0,0)，(160,0)，(160,160)，(0,160)。記錄數(shù)據(jù)為: 飛機(jī)編號(hào) 橫座標(biāo)x 縱座標(biāo)y 方向角(度) 1 150 140 243 2 85 85 236 3 150 155 220.5 4 145 50 159 5 130 150 230 新進(jìn)入 0 0 52 注: 方向角指飛行方向與x軸正向的夾角。試根據(jù)實(shí)際應(yīng)用背景對(duì)你的模型進(jìn)行評(píng)價(jià)與推廣

15、。 b題 天車與冶煉爐的作業(yè)調(diào)度 某鋼鐵廠冶煉車間的廠房布局是，地面沿一直線依次安置著7個(gè)工作點(diǎn)輔料供應(yīng)處p；a組3座轉(zhuǎn)爐(冶煉成品鋼)a1, a2, a3；b組2座冶煉爐(冶煉半成品鋼，簡(jiǎn)稱半鋼)b1, b2；原料供應(yīng)處q。這些設(shè)備的上方貫通著一條運(yùn)送物料的天車軌道，上面布置著若干天車t1，t2，.，tn爐了作業(yè)服務(wù)。布局示意如下。 |-t1-t2-tn-| p a1 a2 a3 b1 b2 q 天車與冶煉爐的作業(yè)過程與工序?yàn)椋禾燔噺膓處吊起原料一罐（吊罐時(shí)間ty）運(yùn)至b1或b2處放下（放罐時(shí)間ti），并將上一爐的原料空罐吊起（吊空時(shí)間to）返回q處放下（放空罐時(shí)間tk）。b組爐的原料罐放下

16、后即可在輔助作業(yè)下開始冶煉（冶煉時(shí)間tb），由天車吊起半鋼罐(吊罐時(shí)間td）運(yùn)至a1或a2、a3處將半鋼倒入轉(zhuǎn)爐（倒入時(shí)間te），并將空罐返回b1或b2處放下（放空罐時(shí)間tc）。再由天車從p處吊起輔料一槽（吊起時(shí)間tg）運(yùn)至a1或a2、a3處加入轉(zhuǎn)爐（加入時(shí)間tf），并將空槽返回p處放下（放空槽時(shí)間th）。a組爐在半鋼和輔料加入后即可開始冶煉（冶煉時(shí)間ta），冶煉后成品鋼人輸出不用天車（輸出時(shí)間記人ta）。天車通過相鄰兩個(gè)工作點(diǎn)人運(yùn)行時(shí)間都相同，記為tx。由于各臺(tái)天車在同一軌道上運(yùn)行，因此其順序位置t1, t2, .,tn不可交換。在同一時(shí)間同一座爐子上只能允許一臺(tái)天車作業(yè)；但p、q兩處可以允

17、許多臺(tái)天車同時(shí)作業(yè)。在p，a1，.，q每?jī)蓚€(gè)相鄰工作點(diǎn)之間最多能容納2臺(tái)天車同時(shí)停放。天車與冶煉爐作業(yè)調(diào)度的要求為： (1) 成品鋼產(chǎn)量盡量高； (2)各臺(tái)天車的作業(yè)率（天車作業(yè)時(shí)間所占比例）盡量均衡（考慮到設(shè)備人員安全等因素，一般天車作業(yè)率不超過70）； (3)絕不允許天車相撞等事故； (4)調(diào)度規(guī)則盡量簡(jiǎn)明，以利于現(xiàn)場(chǎng)人員使用。 現(xiàn)設(shè)定：ta=48，tb=27，ti=3，to=2，tc=2，td=3，te=5，tf=2，tg=2，th=1，ty=3，tk=2（單位：分鐘），tx=15秒；a組爐平均每爐產(chǎn)量wa=120噸。在不超過5臺(tái)天車的條件下，設(shè)計(jì)一種滿足上述要求的 天車與冶煉爐的作業(yè)調(diào)

18、度方案： (1) 各臺(tái)天車負(fù)責(zé)那些作業(yè)（列出工序清單）； (2) 在所給方案的一個(gè)周期內(nèi)，每一時(shí)刻天車和冶煉爐處于什么狀態(tài)（畫出天車爐子作業(yè)運(yùn)行圖）； (3) 一份供現(xiàn)場(chǎng)人員使用的調(diào)度規(guī)則說(shuō)明書； (4) 在所給方案下計(jì)算各臺(tái)天車的作業(yè)率。 并按每天冶煉爐數(shù)估計(jì)該車間成品鋼的年產(chǎn)量（扣除設(shè)備維修日，每臺(tái)轉(zhuǎn)爐作業(yè)日每年按300天計(jì)算）。實(shí)際生產(chǎn)中，ta, tb, ., tk都是隨機(jī)的（上面設(shè)定的數(shù)值可視為平均值），討論你的調(diào)度方案如何適用于實(shí)際生產(chǎn)過程。試提出該車間提高鋼產(chǎn)量到年產(chǎn)300萬(wàn)噸以上的建議。1997年全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽試題 a題 零件的參數(shù)設(shè)計(jì) 一件產(chǎn)品由若干零件組裝而成，標(biāo)志產(chǎn)

19、品性能的某個(gè)參數(shù)取決于 這些零件的參數(shù)。零件參數(shù)包括標(biāo)定值和容差兩部分。進(jìn)行成批生產(chǎn) 時(shí)，標(biāo)定值表示一批零件該參數(shù)的平均值，容差則給出了參數(shù)偏離其 標(biāo)定值的容許范圍。若將零件參數(shù)視為隨機(jī)變量，則標(biāo)定值代表期望 值，在生產(chǎn)部門無(wú)特殊要求時(shí)，容差通常規(guī)定為方差的3 倍。 進(jìn)行零件參數(shù)設(shè)計(jì)，就是要確定其標(biāo)定值和容差。這時(shí)要考慮兩方面因素：一是當(dāng)各零件組裝成產(chǎn)品時(shí)，如果產(chǎn)品參數(shù)偏離預(yù)先設(shè)定 的目標(biāo)值，就會(huì)造成質(zhì)量損失，偏離越大，損失越大；二是零件容? 的大小決定了其制造成本容差設(shè)計(jì)得越小，成本越高。 試通過如下的具體問題給出一般的零件參數(shù)設(shè)計(jì)方法。粒子分離器某參數(shù)(記作y)由7個(gè)零件的參數(shù)(記作)決定

20、,經(jīng)驗(yàn)公式為: y的目標(biāo)值(記作)為1.50.當(dāng)y偏離0.1時(shí),質(zhì)量損失為1 000(元);當(dāng)y偏離0.3時(shí),損失為9 000(元).零件參數(shù)的標(biāo)定值有一定的容許變化范圍;容差分為a,b,c三個(gè)等級(jí),用與標(biāo)定值的相對(duì)值表示,a等為1%,b等為5%,c等為10%.7個(gè)零件參數(shù)標(biāo)定值的容許范圍,及不同容差等級(jí)零件的成本(元)如表1 (符號(hào)/表示無(wú)此等級(jí)零件): 表1 零件參數(shù)標(biāo)定值容許范圍及成本標(biāo)定值容許范圍a等成本b等成本c等成本0.075,0.125/25/0.225,0.3752050/0.075,0.125/502000.075,0.12550100/1.125,1.87550/12,20

21、/251000.5625,0.935/25100 現(xiàn)進(jìn)行成批生產(chǎn),每批產(chǎn)量1 000個(gè).在原設(shè)計(jì)中,7個(gè)零件參數(shù)的標(biāo)定值為:= 0.1,= 0.3,= 0.1, = 0.1,= 1.5, = 16, = 0.75;容差均取最便宜的等級(jí).請(qǐng)你綜合考慮y偏離造成的損失和零件成本,重新設(shè)計(jì)零件參數(shù)(包括標(biāo)定值和容差),并與原設(shè)計(jì)比較,總費(fèi)用降低了多少.b題 寶石切割 某些工業(yè)部門（如貴重石材加工等）采用截?cái)嗲懈畹募庸し绞?。這里“截?cái)嗲懈睢笔侵笇⑽矬w沿某個(gè)切割平面分成兩部分。從一個(gè)長(zhǎng)方體中加工出一個(gè)已知尺寸、位置預(yù)定的長(zhǎng)方體（這兩個(gè)長(zhǎng)方體畝雜礱?br 是平行的），通常要經(jīng)過6次截?cái)嗲懈?。設(shè)水平切割單位

22、面積的費(fèi)用是垂直切割單位面積費(fèi)用的r 倍，且當(dāng)先后兩次垂直切割的平面(不管它們之間是否穿插水平切割)不平行時(shí)，因調(diào)整刀具需額外費(fèi)用e。試為這些部門設(shè)計(jì)一種安排各面加工次序（稱“切割方式”）的方法，使加工費(fèi)用最少。（由工藝要求，與水平工作臺(tái)接觸的長(zhǎng)方體底面是事先指定的） 詳細(xì)要求如下：1）需考慮的不同切割方式的總數(shù)。2）給出上述問題的數(shù)學(xué)模型和求解方法。3）試對(duì)某部門用的如下準(zhǔn)則作出評(píng)價(jià)：每次選擇一個(gè)加工費(fèi)用最少的待切割面進(jìn)行切割。4）對(duì)于e = 0的情形有無(wú)簡(jiǎn)明的優(yōu)化準(zhǔn)則。5）用以下實(shí)例驗(yàn)證你的方法：待加工長(zhǎng)方體和成品長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為10、14.5、 19和3、2、4，二者左側(cè)面、正面

23、、底面之間的距離分別為6、7、9（單位均為厘米）。垂直切割費(fèi)用為每平方厘米1元，r和e的數(shù)據(jù)有以下4組：a. r =1, e = 0; b. r =1.5, e =0; c. r =8, e =0; d. r =1.5; 2 = e = 15.對(duì)最后一組數(shù)據(jù)應(yīng)給出所有最優(yōu)解，并進(jìn)行討論。1998年全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽試題 a題 投資的收益和風(fēng)險(xiǎn)市場(chǎng)上有n種資產(chǎn)（如股票、債券、）si ( i=1,n) 供投資者選擇，某公司有數(shù)額為m的一筆相當(dāng)大的資金可用作一個(gè)時(shí)期的投資。公司財(cái)務(wù)分析人員對(duì)這n種資產(chǎn)進(jìn)行了評(píng)估，估算出在這一時(shí)期內(nèi)購(gòu)買si的平均收益率為，并預(yù)測(cè)出購(gòu)買si的風(fēng)險(xiǎn)損失率為。考慮到投資

24、越分散，總的風(fēng)險(xiǎn)越小，公司確定，當(dāng)用這筆資金購(gòu)買若干種資產(chǎn)時(shí)，總體風(fēng)險(xiǎn)可用所投資的si中最大的一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)來(lái)度量。購(gòu)買si要付交易費(fèi)，費(fèi)率為，并且當(dāng)購(gòu)買額不超過給定值時(shí)，交易費(fèi)按購(gòu)買計(jì)算（不買當(dāng)然無(wú)須付費(fèi)）。另外，假定同期銀行存款利率是, 且既無(wú)交易費(fèi)又無(wú)風(fēng)險(xiǎn)。（=5%）1.已知n = 4時(shí)的相關(guān)數(shù)據(jù)如下：si (%)(%)(%)(元) s1282.51103s2211.52198s3235.54.552s4252.66.540試給該公司設(shè)計(jì)一種投資組合方案，即用給定的資金m，有選擇地購(gòu)買若干種資產(chǎn)或存銀行生息，使凈收益盡可能大，而總體風(fēng)險(xiǎn)盡可能小。2.試就一般情況對(duì)以上問題進(jìn)行討論，并利用以下數(shù)

25、據(jù)進(jìn)行計(jì)算。si(%)(%)(%)(元)s19.6422.1181s218.5543.2407s349.4606.0428s423.9421.5549s58.11.27.6270s614393.4397s740.7685.6178s831.233.43.1220s933.653.32.7475s1036.8402.9248s1111.8315.1195s1295.55.7320s1335462.7267s149.45.34.5328s1515237.6131b題 災(zāi)情巡視路線 下圖為某縣的鄉(xiāng)（鎮(zhèn)）、村公路網(wǎng)示意圖，公路邊的數(shù)字為該路段的公里數(shù)。今年夏天該縣遭受水災(zāi)。為考察災(zāi)情、組織自救，縣領(lǐng)導(dǎo)

26、決定，帶領(lǐng)有關(guān)部門負(fù)責(zé)人到全縣各鄉(xiāng)（鎮(zhèn)）、村巡視。巡視路線指從縣政府所在地出發(fā)，走遍各鄉(xiāng)（鎮(zhèn)）、村，又回到縣政府所在地的路線。1.若分三組（路）巡視，試設(shè)計(jì)總路程最短且各組盡可能均衡的巡視路線。2.假定巡視人員在各鄉(xiāng)（鎮(zhèn)）停留時(shí)間t=2小時(shí)，在各村停留時(shí)間t=1小時(shí)，汽車行駛速度v=35公里/小時(shí)。要在24小時(shí)內(nèi)完成巡視，至少應(yīng)分幾組；給出這種分組下你認(rèn)為最佳的巡視路線。3.在上述關(guān)于t , t和v的假定下，如果巡視人員足夠多，完成巡視的最短時(shí)間是多少；給出在這種最短時(shí)間完成巡視的要求下，你認(rèn)為最佳的巡視路線。4.若巡視組數(shù)已定(如三組），要求盡快完成巡視，討論t，t和v改變對(duì)最佳巡視路線的影

27、響。1999年創(chuàng)維杯全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽試題 a題 自動(dòng)化車床管理 一道工序用自動(dòng)化車床連續(xù)加工某種零件，由于刀具損壞等原因該工序會(huì)出現(xiàn)故障，其中刀具損壞故障占95%, 其它故障僅占5%。工序出現(xiàn)故障是完全隨機(jī)的, 假定在生產(chǎn)任一零件時(shí)出現(xiàn)故障的機(jī)會(huì)均相同。工作人員通過檢查零件來(lái)確定工序是否出現(xiàn)故障?，F(xiàn)積累有100次刀具故障記錄，故障出現(xiàn)時(shí)該刀具完成的零件數(shù)如附表?，F(xiàn)計(jì)劃在刀具加工一定件數(shù)后定期更換新刀具。 已知生產(chǎn)工序的費(fèi)用參數(shù)如下： 故障時(shí)產(chǎn)出的零件損失費(fèi)用 f=200元/件； 進(jìn)行檢查的費(fèi)用 t=10元/次； 發(fā)現(xiàn)故障進(jìn)行調(diào)節(jié)使恢復(fù)正常的平均費(fèi)用 d=3000元/次(包括刀具費(fèi))； 未

28、發(fā)現(xiàn)故障時(shí)更換一把新刀具的費(fèi)用 k=1000元/次。 1)假定工序故障時(shí)產(chǎn)出的零件均為不合格品，正常時(shí)產(chǎn)出的零件均為合格品, 試對(duì)該工序設(shè)計(jì)效益最好的檢查間隔（生產(chǎn)多少零件檢查一次）和刀具更換策略。 2)如果該工序正常時(shí)產(chǎn)出的零件不全是合格品，有2%為不合格品；而工序故障時(shí)產(chǎn)出的零件有40%為合格品，60%為不合格品。工序正常而誤認(rèn)有故障仃機(jī)產(chǎn)生的損失費(fèi)用為1500元/次。對(duì)該工序設(shè)計(jì)效益最好的檢查間隔和刀具更換策略。 3）在2)的情況, 可否改進(jìn)檢查方式獲得更高的效益。 附:100次刀具故障記錄(完成的零件數(shù)) 459 362 624 542 509 584 433 748 815 505

29、612 452 434 982 640 742 565 706 593 680 926 653 164 487 734 608 428 1153 593 844 527 552 513 781 474 388 824 538 862 659 775 859 755 649 697 515 628 954 771 609 402 960 885 610 292 837 473 677 358 638 699 634 555 570 84 416 606 1062 484 120 447 654 564 339 280 246 687 539 790 581 621 724 531 512 577

30、 496 468 499 544 645 764 558 378 765 666 763 217 715 310 851 b題 鉆井布局 勘探部門在某地區(qū)找礦。初步勘探時(shí)期已零散地在若干位置上鉆井，取得了地質(zhì)資料。進(jìn)入系統(tǒng)勘探時(shí)期后，要在一個(gè)區(qū)域內(nèi)按縱橫等距的網(wǎng)格點(diǎn)來(lái)布置井位，進(jìn)行“撒網(wǎng)式”全面鉆探。由于鉆一口井的費(fèi)用很高，如果新設(shè)計(jì)的井位與原有井位重合（或相當(dāng)接近），便可利用舊井的地質(zhì)資料，不必打這口新井。因此，應(yīng)該盡量利用舊井，少打新井，以節(jié)約鉆探費(fèi)用。比如鉆一口新井的費(fèi)用為500萬(wàn)元，利用舊井資料的費(fèi)用為10萬(wàn)元，則利用一口舊井就節(jié)約費(fèi)用490萬(wàn)元。 設(shè)平面上有n個(gè)點(diǎn)pi，其坐標(biāo)為(ai

31、,bi),i=1,2,n，表示已有的n個(gè)井位。新布置的井位是一個(gè)正方形網(wǎng)格n的所有結(jié)點(diǎn)（所謂“正方形網(wǎng)格”是指每個(gè)格子都是正方形的網(wǎng)格；結(jié)點(diǎn)是指縱線和橫線的交叉點(diǎn)）。假定每個(gè)格子的邊長(zhǎng)（井位的縱橫間距）都是1單位（比如100米）。整個(gè)網(wǎng)格是可以在平面上任意移動(dòng)的。若一個(gè)已知點(diǎn)pi與某個(gè)網(wǎng)格結(jié)點(diǎn)xi的距離不超過給定誤差（=0.05單位），則認(rèn)為pi處的舊井資料可以利用，不必在結(jié)點(diǎn)xi處打新井。 為進(jìn)行輔助決策，勘探部門要求我們研究如下問題： 1)假定網(wǎng)格的橫向和縱向是固定的（比如東西向和南北向），并規(guī)定兩點(diǎn)間的距離為其橫向距離（橫坐標(biāo)之差絕對(duì)值）及縱向距離（縱坐標(biāo)之差絕對(duì)值）的最大值。在平面上平

32、行移動(dòng)網(wǎng)格n，使可利用的舊井?dāng)?shù)盡可能大。試提供數(shù)值計(jì)算方法，并對(duì)下面的數(shù)值例子用計(jì)算機(jī)進(jìn)行計(jì)算。 2)在歐氏距離的誤差意義下，考慮網(wǎng)格的橫向和縱向不固定（可以旋轉(zhuǎn)）的情形，給出算法及計(jì)算結(jié)果。 3)如果有n口舊井，給出判定這些井均可利用的條件和算法（你可以任意選定一種距離）。 數(shù)值例子n=12個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)如下表所示： i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ai 0.50 1.41 3.00 3.37 3.40 4.72 4.72 5.43 7.57 8.38 8.98 9.50 bi 2.00 3.50 1.50 3.51 5.50 2.00 6.24 4.10 2.01 4

33、.50 3.41 0.80 1999年創(chuàng)維杯全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽題目（大專組）c題 煤矸石堆積 煤礦采煤時(shí)，會(huì)產(chǎn)出無(wú)用廢料煤矸石。在平原地區(qū)，煤礦不得不征用土地堆放矸石。通常矸石的堆積方法是： 架設(shè)一段與地面角度約為 =25 的直線形上升軌道（角度過大，運(yùn)矸車無(wú)法裝滿），用在軌道上行駛的運(yùn)矸車將矸石運(yùn)到軌道頂端后向兩側(cè)傾倒，待矸石堆高后，再借助矸石堆延長(zhǎng)軌道，這樣逐漸堆起如下圖所示的一座矸石山來(lái)?，F(xiàn)給出下列數(shù)據(jù)： 矸石自然堆放安息角（矸石自然堆積穩(wěn)定后，其坡面與地面形成的夾角）=55； 矸石容重（碎矸石單位體積的重量）約2噸/米3； 運(yùn)矸車所需電費(fèi)為 0.50元/度（不變）； 運(yùn)矸車機(jī)械效率（只考慮堆積坡道上的運(yùn)輸）初始值（在地平面上）