第五章--連續(xù)時(shí)間模型和Black-Scholes公式課件

1、第五章 連續(xù)時(shí)間模型和Black-Scholes公式,金融市場(chǎng)學(xué),第五章-連續(xù)時(shí)間模型和Black-Scholes公式,5.1 連續(xù)時(shí)間股票模型,令S（t）代表某股票在t時(shí)刻的價(jià)格，假設(shè) S（t）服從幾何布朗運(yùn)動(dòng)，即股票價(jià)格變動(dòng)由模型 來決定。其中S代表股票價(jià)格， 代表期望回報(bào)率， 代表資產(chǎn)波動(dòng)率，dW代表標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng),5.2 離散模型,首先看離散資產(chǎn)價(jià)格模型。設(shè)在時(shí)刻 時(shí)的資產(chǎn)價(jià)格為 ，然后設(shè) 得到在0t T上離散時(shí)間的資產(chǎn)價(jià)格模型： 其次看連續(xù)資產(chǎn)價(jià)格模型，由(2)式分別表示 ，得到極限形式,第五章-連續(xù)時(shí)間模型和Black-Scholes公式,由 對(duì)（3）用中心極限定理，則 可表示為具有

2、數(shù)學(xué)期 望 和方差 的正態(tài)隨機(jī)變量。即： 由此，在t時(shí)刻資產(chǎn)價(jià)格的動(dòng)態(tài)連續(xù)時(shí)間可表達(dá)為： 還能離散地得到任意時(shí)間序列0=t0t1t2tm的資產(chǎn)價(jià)格為,第五章-連續(xù)時(shí)間模型和Black-Scholes公式,資產(chǎn)價(jià)格路徑的隨機(jī)模擬 可以用（5）計(jì)算資產(chǎn)價(jià)格路徑的計(jì)算機(jī)模擬。假設(shè)以0=t0t1t2tm =T模擬S（t）的值，則可根據(jù)公式： 來計(jì)算故軌跡 就是離散資本幾個(gè)路徑，也可以用公式： 由于在風(fēng)險(xiǎn)中性世界里，所以資產(chǎn)的期望收益率等于無風(fēng)險(xiǎn)利率r 故（7）可以重寫為： 通常以通過產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)或擬隨機(jī)數(shù)來模擬資產(chǎn)的幾個(gè)路徑，不妨設(shè) 為n資產(chǎn)價(jià)格路徑（n=1，2，N）則由（8）可得,第五章-連續(xù)時(shí)間模型

3、和Black-Scholes公式,其中 代表t-1到t的時(shí)間間隔，r代表無風(fēng)險(xiǎn)利率， 代表資產(chǎn)波 動(dòng)率， 代表相互獨(dú)立的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布隨機(jī)數(shù)。在估計(jì)期權(quán)價(jià)格 時(shí)，我們需要估計(jì)到期日的現(xiàn)金流，可以通過多次價(jià)格路徑模擬 來估計(jì)。下面通過一些例子來看一看離散方法在模擬資產(chǎn)價(jià)格路 徑等方面的應(yīng)用。 對(duì)數(shù)正態(tài)模型 其中WT是均值為0，方差為T的隨機(jī)正態(tài)分布變量， 將圍繞該直線波動(dòng)，因此，如果 我們（采用對(duì)數(shù)紙）描述股價(jià)的對(duì)數(shù)圖，我們可以看見這些點(diǎn)落在 一條直線上，如果模型更接近現(xiàn)實(shí)的話，會(huì)有一些點(diǎn)偏離直線,第五章-連續(xù)時(shí)間模型和Black-Scholes公式,5.3 連續(xù)時(shí)間模型的分析,方程 是一個(gè)隨機(jī)微

4、分方程（SDE），大多數(shù)的SDE沒有簡(jiǎn)潔的的封閉形式的解，但幸運(yùn)的是這個(gè)方程存在。其解就是幾何布朗運(yùn)動(dòng)。 這正是具有連續(xù)時(shí)間變量T的離散模型（5.7） 這里，Bt是均值為0，方差為t的正態(tài)隨機(jī)變量。由此得到的是股價(jià)的幾何布朗運(yùn)動(dòng)模型（GBM）。注意： 右邊的表達(dá)式是一個(gè)均值為 ，方差為 的正態(tài)隨機(jī)變量。 在幾何布朗運(yùn)動(dòng)模型中，有兩個(gè)變量：波動(dòng)率 和漂移率 ，但在定價(jià)歐式看漲期權(quán)時(shí)只需要估計(jì) 。公式中并沒有用到 但這兩個(gè)值如何來用股票價(jià)格估計(jì)我們還需要給出,第五章-連續(xù)時(shí)間模型和Black-Scholes公式,幾何布朗運(yùn)動(dòng)參數(shù)估計(jì) 假設(shè)有一段時(shí)間0,T內(nèi)的股價(jià)記錄。這段時(shí)間由n個(gè)長(zhǎng)度相等的子區(qū)間

5、 組成，再假設(shè)已知每個(gè)子區(qū)間末的股價(jià)，將股價(jià)表示為： ：第i個(gè)子區(qū)間末的股價(jià)，樣本觀測(cè)值為n+1個(gè)。 第一步：計(jì)算時(shí)間序列值： 由幾何布朗運(yùn)動(dòng)模型 值滿足如下等式： 幾何布朗運(yùn)動(dòng)模型 具有下面的性質(zhì)： 1、是一個(gè)正態(tài)隨機(jī)變量，方差為 ，均值為0； 2、這些差是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量,第五章-連續(xù)時(shí)間模型和Black-Scholes公式,第二步：計(jì)算系列數(shù)值 的均值和方差。 令 表示均值，則 樣本方差 表示為： U的觀測(cè)值均值為 方差為 第二步：解方程 和 得到 很容易得到,第五章-連續(xù)時(shí)間模型和Black-Scholes公式,5.4 Black-Scholes公式,我們先介紹與B-S期權(quán)定價(jià)理論有

6、關(guān)的一些預(yù)備知識(shí)，這些知識(shí)主要是圍繞著股票價(jià)格的變化過程而展開的，內(nèi)容包括維納過程、伊藤過程、伊藤引理、幾何布朗運(yùn)動(dòng)、對(duì)數(shù)正態(tài)分布等等這些內(nèi)容是理解期權(quán)定價(jià)和更加復(fù)雜的衍生證券定價(jià)的基礎(chǔ)。 維納過程 在介紹維納過程之前，先簡(jiǎn)單介紹一下馬爾科夫過程。它是一種特殊的隨機(jī)過程，在該過程中，變量的變化僅依賴于該變量前一瞬間的狀態(tài)。當(dāng)變量遵從馬爾科夫過程時(shí)，變量在相鄰時(shí)間內(nèi)變化的方差具有可加性，但標(biāo)準(zhǔn)差不具有可加性。馬爾科夫過程的重要特征是：變量的隨機(jī)變化是獨(dú)立同分布的。 維納過程是馬爾科夫過程的特殊形式。如果變量服從維納過程，則該變量的期望為0，方差為1.股票價(jià)格模型通常用維納過程表達(dá)。在物理學(xué)中，這

7、種過程也被稱為布朗運(yùn)動(dòng),第五章-連續(xù)時(shí)間模型和Black-Scholes公式,如果變量z=z(t)服從維納過程，則其增量 必須滿足如下兩個(gè) 基本性質(zhì)： 性質(zhì)1： 之間滿足關(guān)系 其中 為從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布中抽取的一個(gè)隨機(jī)值。 性質(zhì)2：對(duì)任何兩個(gè)不同的時(shí)間間隔的值相互獨(dú)立。 由性質(zhì)1，得出 服從期望值為0，方差為 ，標(biāo)準(zhǔn)差為 的正態(tài)分布。 性質(zhì)2意味著變量z=z(t)服從馬爾科夫過程。 再由性質(zhì)1，當(dāng),第五章-連續(xù)時(shí)間模型和Black-Scholes公式,一般維納過程 變量x服從一般維納過程的定義如下： dx=adt+bdz （3） a是一般維納過程的預(yù)期漂移率，b是波動(dòng)率。 式（3）由兩項(xiàng)組成，如果

8、不考慮bdz，則有dx=adt或 x=x0+at。其中x0為x在0時(shí)刻的值，經(jīng)過t時(shí)刻后，x增加值為at。 如果僅考慮bdz，則dx=bdz，其中bdz可以看作是附加在變量x 軌跡上的噪聲或者波動(dòng)，這些噪聲或波動(dòng)是維納過程的b倍。 將adt和bdz一并來考慮，則有dx=adt+bdz 。經(jīng)過時(shí)間增量 之 后，x的增量為 。將（1）代入上式，有 如前所述， 是自標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布中隨機(jī)抽取的值，因此 服從正 態(tài)分布，期望值是 ，方差是 ，標(biāo)準(zhǔn)差是,第五章-連續(xù)時(shí)間模型和Black-Scholes公式,伊藤過程和伊藤引理 如果上面隨機(jī)過程中的a與b是x和t的函數(shù)，則可得到伊藤過程: dx=a(x,t)d

9、t+b(x,t)dz （5） 其中dz是維納過程。伊藤過程中的預(yù)期漂移率和波動(dòng)率隨時(shí)間而變化。 定理5.4.1（伊藤引理）假設(shè)變量x服從伊藤過程，設(shè)G=G(x,t)是x的二次連續(xù)可微函數(shù)，則G(x,t)遵從如下過程,第五章-連續(xù)時(shí)間模型和Black-Scholes公式,證明：由二元函數(shù)的泰勒展開公式有： 因?yàn)?由該式有結(jié)果： 根據(jù)（6）有 將（6）（7）和（8）代入（5），得到 令 得到,第五章-連續(xù)時(shí)間模型和Black-Scholes公式,再將dx=a(x,t)dt+b(x,t)dz，代入（9）得到： 由伊藤定理可知，如果x,t服從伊藤過程，則x,t的函數(shù)G也服從 伊藤過程，不過漂移率和波動(dòng)

10、率分別為,第五章-連續(xù)時(shí)間模型和Black-Scholes公式,不支付紅利股票價(jià)格的行為過程 如果假設(shè)股票價(jià)格服從一般維納過程，則有不變的期望漂移率 和波動(dòng)率，這不符合實(shí)際。所以，一般假設(shè)股票價(jià)格變化的比例 dS/S服從一般維納過程，即： 因此，股票價(jià)格S可用漂移率 和波動(dòng)率 的伊藤過程描述，即： 其離散形式為： 如果 為常數(shù)，則稱式（10）為幾何布朗運(yùn)動(dòng)。幾何布朗 運(yùn)動(dòng)是最廣泛的描繪股票價(jià)格行為的模型。 如果S服從伊藤過程，則S和t的函數(shù)G也服從伊藤過程,第五章-連續(xù)時(shí)間模型和Black-Scholes公式,注意，S和G都受dz的影響，我們定義G=lnS，因?yàn)椋?則（12）可簡(jiǎn)化為 因?yàn)?為

11、常數(shù)，所以（13）也是維納過程，其漂移率是 波動(dòng)率是 。因此lnS在t與T時(shí)刻之間的變化服從正態(tài)分 布，其期望值為 方差為 。這意味著,第五章-連續(xù)時(shí)間模型和Black-Scholes公式,5.5 Black-Scholes公式的推導(dǎo),修正的模型 構(gòu)造一個(gè)只包括股票和現(xiàn)金的簡(jiǎn)單組合，假設(shè)買了a股價(jià)格為S0 的股票，現(xiàn)金為b元，則投資額為： 經(jīng)過時(shí)間t后，投資的資金將變?yōu)?用無風(fēng)險(xiǎn)利率r貼現(xiàn)該值，得到 ，將（5.11） 變?yōu)?并代入上式得到： 所以： 所以能夠用投資組合未來價(jià)值的折現(xiàn)值計(jì)算0，即 修正后的股價(jià)模型滿足： 因此修正的股價(jià)模型是,第五章-連續(xù)時(shí)間模型和Black-Scholes公式,

12、二叉樹模型參數(shù)的確定 目的：在衍生證券定價(jià)中，根據(jù)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的波動(dòng)情況確定 二叉樹模型中的參數(shù)（待定參數(shù)為：N，rf，u，d） 簡(jiǎn)單的：N， rf 周期數(shù)N自定，若衍生證券的有效期限為T，則每周期時(shí)間長(zhǎng) 度為 無風(fēng)險(xiǎn)利率 rf ，若按連續(xù)復(fù)利計(jì)算，則單周期的無風(fēng)險(xiǎn)利率 為 麻煩的：u, d 由風(fēng)險(xiǎn)中性概率的存在性，記 得,從衍生證券定價(jià)的二叉樹模型出發(fā)推導(dǎo)B-S公式,第五章-連續(xù)時(shí)間模型和Black-Scholes公式,但風(fēng)險(xiǎn)中性概率是未知的，這個(gè)方程提供了p,u,d之間的一個(gè)關(guān)系， 另一個(gè)關(guān)系方程需要從股票價(jià)格的統(tǒng)計(jì)量來得到。 股票的連續(xù)復(fù)利增長(zhǎng)率（對(duì)數(shù)收益率） 再假定的風(fēng)險(xiǎn)中性概率下，增

13、長(zhǎng)率的期望為： 增長(zhǎng)率的方差為 當(dāng)T=1時(shí)，年增長(zhǎng)率的方差為,第五章-連續(xù)時(shí)間模型和Black-Scholes公式,股票波動(dòng)率股票年增長(zhǎng)率的標(biāo)準(zhǔn)差 這個(gè)統(tǒng)計(jì)量在現(xiàn)實(shí)中可由股票數(shù)據(jù)和統(tǒng)計(jì)方法得到，于是成為關(guān)于p、u、d的第二個(gè)關(guān)系方程。 聯(lián)立方程有,第五章-連續(xù)時(shí)間模型和Black-Scholes公式,常見參數(shù)選擇方式 第三個(gè)方程的給出 （1）JR樹p=q=0.5 （2）CRR樹 u=1/d 在這個(gè)模型當(dāng)中，方程被另外兩個(gè)方程所代替： 這樣結(jié)合ud=1可得,第五章-連續(xù)時(shí)間模型和Black-Scholes公式,3）Trigeorgis樹ud=1 與CRR樹類似，但僅將方程用 代替，結(jié) 合方程與u

14、d=1可解出： 對(duì)這些參數(shù)確定方式，在數(shù)值計(jì)算中繼續(xù)討論,第五章-連續(xù)時(shí)間模型和Black-Scholes公式,二叉樹模型的極限形式BS公式,二叉樹主要是刻畫股票價(jià)格變化過程 此時(shí)股票對(duì)數(shù)收益率 為獨(dú)立同 分布的隨機(jī)變量 的和，而其期望與方差分別為 故期望與方差為： 當(dāng) 時(shí)，忽略一些無窮小項(xiàng)之后，可以說明 從而由中心極限定理可知，當(dāng) 時(shí)，y的極限概率分布是一 個(gè)均值為 ，方差為 的正態(tài)分布,第五章-連續(xù)時(shí)間模型和Black-Scholes公式,從而對(duì)t時(shí)刻的股票價(jià)格St有 即 T時(shí)刻的股票價(jià)格St服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布，這與連續(xù)模型中假定股 票價(jià)格為幾何布朗運(yùn)動(dòng)是一致的,第五章-連續(xù)時(shí)間模型和Bla

15、ck-Scholes公式,獨(dú)立同分布的中心極限定理】設(shè)隨機(jī)變量X1、 X2 XN獨(dú)立同分 布則隨機(jī)變量： 的分布函數(shù)FN（x）滿足： 即當(dāng)N很大時(shí)，yN近似服從N（0,1,第五章-連續(xù)時(shí)間模型和Black-Scholes公式,二叉樹模型的風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)公式 考慮一個(gè)有效期為T，到期值復(fù)位F(S)的歐式衍生證券，在風(fēng) 險(xiǎn)中性概率測(cè)度下，其價(jià)值為： 若F(S)為線性函數(shù)，則當(dāng) 時(shí)，F(xiàn)(ST)近似服從對(duì)數(shù)正態(tài)分 布，于是采用對(duì)應(yīng)的連續(xù)方法來求即得到二叉樹模型的對(duì)數(shù)正 態(tài)逼近模型： 下面利用上面的公式對(duì)歐式看漲期權(quán)進(jìn)行定價(jià)，此時(shí),第五章-連續(xù)時(shí)間模型和Black-Scholes公式,首先計(jì)算（5.17）括號(hào)中的表達(dá)式，當(dāng) 成立時(shí)，括號(hào)中的表達(dá)式非零。那么，通過解,第五章-連續(xù)時(shí)間模型和Black-Scholes公式,第五章-連續(xù)時(shí)間模型和Black-Scholes公式,5.6 看漲期權(quán)與看跌期權(quán)平價(jià),以S的價(jià)格買入一股股票，同時(shí)由于擔(dān)心股價(jià)下跌，以C的價(jià)格 賣出一份看漲期權(quán)（到期時(shí)間和執(zhí)行價(jià)任意）。注意股價(jià)有可能 下跌，所以又買了一份價(jià)格為P，到期時(shí)間和執(zhí)行價(jià)與看漲期權(quán)相 同的看跌期權(quán)，那么：今天頭寸的成本=S+P-C 設(shè)看漲看跌期權(quán)的執(zhí)行價(jià)都是X，那么到期時(shí)的收益多少？ 解：如果SX，則到期收益為X，看跌期權(quán)價(jià)值為0.我們以X的價(jià)格 將股票賣給看漲期權(quán)的購(gòu)買者。 如果SX，則到期