第三講 數(shù)學史概論

1、數(shù)學史概論,主講： 楊鋒 上海市市東中學, 2.1 希臘文明, 2.2 從泰勒斯到柏拉圖學派-論證數(shù)學的發(fā)端,第二章 古代希臘數(shù)學,2.2.1 從泰勒斯到畢達哥拉斯學派 2.2.2 雅典時期的希臘數(shù)學 愛利亞學派 詭辯學派 柏拉圖學派 亞里士多德學派 三大幾何難題目 關(guān)于無限的迷思 邏輯演繹結(jié)構(gòu)的倡導(dǎo), 2.3 亞歷山大前期-希臘數(shù)學的黃金時代,2.3.1 歐幾里得 2.3.2 阿基米德 2.3.3 阿波羅尼斯, 2.4 亞歷山大后期與希臘數(shù)學的衰落,海倫 梅內(nèi)勞斯 托勒密 丟番圖 帕波斯 塞翁, 2.1 希臘文明, 2.2 從泰勒斯到柏拉圖學派-論證數(shù)學的發(fā)端,2.2.1 從泰勒斯到畢達哥拉

2、斯學派,（1）伊奧尼亞學派,從古代埃及、巴比倫的衰亡，到希臘文化的昌盛，這過渡時期留下來的數(shù)學史料很少。不過希臘數(shù)學的興起和希臘商人通過旅行交往接觸到古代東方的文化有密切關(guān)系。伊奧尼亞位于小亞細亞西岸，它比希臘其他地區(qū)更容易吸收巴比倫、埃及等古國積累下來的經(jīng)驗和文化。在伊奧尼亞，氏族貴族政治為商人的統(tǒng)治所代替，商人具有強烈的活動性，有利于思想自由而大膽地發(fā)展。城邦內(nèi)部的斗爭，幫助擺脫傳統(tǒng)信念。在希臘沒有特殊的祭司階層，也沒有必須遵守的教條，因此有相當程度的思想自由。這大大有助于科學和哲學從宗教中分離開來。,Thales of Miletus,（2）泰勒斯,米利都是伊奧尼亞的最大城市，也是泰勒斯

3、的故鄉(xiāng)。泰勒斯生于公元前624年，是公認的希臘哲學鼻祖。早年是一個商人，曾游訪巴比倫、埃及等地，很快就學會古代流傳下來的知識，并加以發(fā)揚。以后創(chuàng)立伊奧尼亞哲學學派，擺脫宗教，從自然現(xiàn)象中去尋找真理，以水為萬物的根源. 當時天文、數(shù)學和哲學是不可分的，泰勒斯同時也研究天文和數(shù)學。他曾預(yù)測到一次日食，促使米太(在今黑海、里海之南)、呂底亞(今土耳其西部)兩國停止戰(zhàn)爭。多數(shù)學者認為該次日食發(fā)生在公元前585年5月28日。他在埃及時曾利用日影及比例關(guān)系算出金字塔的高度，使法老大為驚訝。泰勒斯在數(shù)學方面的貢獻是開始了命題的證明，它標志著人們對客觀事物的認識從感性上升到理性，這在數(shù)學史上是一個不尋常的飛躍

4、。伊奧尼亞學派的著名學者還有阿納克西曼德和阿納克西米尼等。他們對后來的畢達哥拉斯有很大的影響。,泰勒斯是演繹幾何學的鼻祖，開數(shù)學證明之先河，據(jù)說他最先證明了如下的定理:,1.圓被任一直徑二等分； 2.等腰三角形的兩底角相等； 3.兩條直線相交，對頂角相等； 4.半圓的內(nèi)接三角形，一定是直角三角形； 5.如果兩個三角形有一條邊以及這條邊上的兩個角對應(yīng)相等，那么這兩個三角形全等。,泰勒斯在天文學方面也曾有不同凡響的工作，據(jù)說他曾測知公元前585年5月28日的一次日全食。當時正值戰(zhàn)爭之際，泰勒斯向世人宣告，若不停戰(zhàn)，到時天神震怒！到了那天下午，兩派將士仍激戰(zhàn)不已，霎時間，太陽在天空中消失，星辰閃爍，

5、大地一片漆黑。雙方將士見此景象，砍太陽神真的發(fā)怒了，要降罪于人類，于是立即罷兵休戰(zhàn)，從此鑄劍為犁，和睦相處。,另據(jù)傳說，泰勒斯醉心于鉆研哲學與科學，且可謂清貧守道，而遭市井嘲笑。他不以為然地說，君子愛財取之有道。他在對氣候預(yù)測的基礎(chǔ)上，估計來年油料作物會大豐收，于是壟斷了米利都和開奧斯兩地的所有油坊，到季節(jié)以高價出租。有了錢，科學研究可以做得更好。,這兩則傳說，如果是真實的話，那么泰勒斯確實不愧于其墓碑上所鐫刻的頌辭：“他是一位圣賢，又是一位天文學家，在日月星辰的王國里，他頂天立地、萬古流芳?！辈贿^，這也是一則傳說，因為泰勒斯生活的年代離我們太久遠了，沒有確切可靠的資料。,（3）畢達哥拉斯學派

6、,畢達哥拉斯公元前580年左右生于薩摩斯(今希臘東部小島)。為了擺脫暴政，移居意大利半島南部的克羅頓。在那里組織一個政治、宗教、哲學、數(shù)學合一的秘密團體。后來在政治斗爭中遭到破壞，畢達哥拉斯被殺害，但他的學派還繼續(xù)存在兩個世紀(約公元前500前300)之久。 畢達哥拉斯非常重視數(shù)學，企圖用數(shù)來解釋一切這個學派不僅僅認為萬物都包含數(shù)，而且說萬物都是數(shù)u這學派有一種習慣，就是一切發(fā)明都歸功于學派的領(lǐng)認而且常常是秘而不宣所以后人很難知道究競是誰在什么時候發(fā)明的,Plutarch(約46-120)的面積證明法,a b b a,b a b a,a c c b b c b,b c c,a a c a,畢達

7、哥拉斯本人發(fā)現(xiàn)人所共知的“勾股定理”的時候，歡欣之情不可言狀傳說還宰了一百頭牲畜來祭繆斯女神(Muses，神話中掌管文藝、科學的女神)，以酬謝神的默示。 勾股定理早己為巴比倫人所知不過最早的證明，大概還應(yīng)歸功于畢達哥拉斯學派。有的學者猜想這證明是從研究垛積數(shù)(figu rate numbcr) 的關(guān)系得出來的可惜證法已失傳現(xiàn)在教科書所采用的面積證法，如歐幾里得幾何原本卷1的47題，是歐兒里得首先給出。,有些古代學者如斯特技博(St rzbo， 公元前6624年，希臘地理學家)說畢達哥拉斯曾在巴比倫學習過，有的甚至說他到過印度“他對數(shù)字的神秘觀點類似早期的巴比倫，而整個暫學的氣氛十分接近印度值得

8、注意的是，勾股定理在畢達哥斯之前巴比倫等國都早已知道，和畢達哥拉斯有什么關(guān)系，有待進一步研究,畢達哥拉斯學派特點之一，是將算術(shù)與幾何緊密聯(lián)系起如他們發(fā)現(xiàn)用豐個整數(shù)表示直角三角形邊長的一種公式：2n十1，2n2十2n分則是二直角邊，則斜邊是2 n22 n十1這公式屆于算術(shù)，又屬于幾何。這學派又將自然數(shù)分為苦干類：奇數(shù)，偶數(shù)；奇數(shù)乘奇數(shù)，偶數(shù)乘偶數(shù)；素數(shù)，完全數(shù)(一個數(shù)等于除它本身以外的所有因子之和，如281十2十4十7十14)；三角數(shù)(1，3，6，l0，)；平方數(shù)(1，4，9，16，)；五角數(shù)(I，5，12，22，35，5l，)等等又注意到連續(xù)的奇數(shù)和必為平方數(shù) 112 1十322 1十3十53

9、2 1十3十5十742 這都和幾何有關(guān)。,希帕蘇斯 Hippasus(公元前470年左右）,第一次數(shù)學危機,不可公度量的發(fā)現(xiàn) 自然數(shù)是一切的基礎(chǔ) 素數(shù): 數(shù)的原子 不可公度: 數(shù)的原子？,根據(jù)勾股定理，導(dǎo)致了無理量的發(fā)現(xiàn)假設(shè)直角三角形是等腰的，直角邊是1，那么弦是，它不可能用任何的“數(shù)”(有理數(shù))表示出來，即直角邊與弦是不可通約的這發(fā)現(xiàn)是畢達哥拉斯學派最卓越的功乾也是整個數(shù)學史上一項重大發(fā)現(xiàn)根據(jù)勾股定理，導(dǎo)致了無理量的發(fā)現(xiàn)假設(shè)直角三角形是等腰的，直角邊是1，那么弦是，它不可能用任何的“數(shù)”(有理數(shù))表示出來，即直角邊與弦是不可通約的這發(fā)現(xiàn)是畢達哥拉斯學派最卓越的功乾也是整個數(shù)學史上一項重大發(fā)現(xiàn)

10、。,無理數(shù)的發(fā)現(xiàn),x、y互素,1,1,2,幾何方面，他們證明了平面可用正三角形、正方形或正六邊形填滿，空間可用立方體填滿又知道正四面體、六面體、八面體和二十面體，并用這四種正多面休來表示火、風、土、水“四大元素”后來又發(fā)現(xiàn)了正十二灑性但沒有相應(yīng)的第五種元素，于是就用來代表宇宙全體,這個學派在天文方面的貢獻也不少首創(chuàng)地圓說，認為日、月、五星都是球形，懸在太空中，他們認為球是最完美的立體，圓是最完美的平面圖。畢達哥拉斯還是音樂理論的始祖，他闡明了單弦的調(diào)和樂音與弦長的關(guān)系,2.2.2 雅典時期的希臘數(shù)學,（1）埃利亞學派,德莫克里特(Democritus，JvA6xPc?oc，約公元前460357

11、飼。：生于圓圓型(從der3，LlJ北劇他和他的老師旦莖坦(LeuciPPu，Jc6KMn。e)是原子論學派的創(chuàng)始人倔度克利特不僅是數(shù)學家、哲學家，而且有關(guān)于物理、氣象、動物和控學的豐富若作，是幾乎達到百歲高齡的學者可惜他的書流傳下來的很少他到過東方旅行，在埃及住過，并說自己在作闖和證明方面已超過了埃及的測量者(h“叩ed。“叩te) 德漠克利特認為萬物的始源只有兩個原子與虛空“原子” (atom，拉丁文atomu3來自希臘文5?。A。s，是不可分割的思)是不可分的物質(zhì)粒子，永遠處于運動狀態(tài)之中這種見解給宗教以毀滅性的打擊 在數(shù)學方面，德設(shè)克利特應(yīng)用了原子的觀點他認為線段、面積和立體，是由有限

12、個不可再分的原子構(gòu)成的計算體積就等于將這些原子集合起來這種不接嚴格的想法驟然看來好象不大合理，但是這種“原子法”和前面授到安提豐的“窮蝸法”卻是古代數(shù)學家發(fā)現(xiàn)新結(jié)果的重要線索阿基米德說德濱克利特是第一個得出圓錐或棱錐體積是等底等高的圓柱或棱柱的13的人這命題的最早證明屬于位多克薩斯(Eudoxus，別6。5。97約公元前408355年)阿基米德自己也用過這種方法尋找問題的答案，然后再用嚴密的理論使其精確化，直到16世紀的刻L勒，將園看作無數(shù)頂點在圓心上的三角形的和，還帶有“原子法”的遺風*,芝諾,（2）智人學派與尺規(guī)作圖問題,公元前5世紀，雅典成為人文薈萃的中心，人們崇尚公開的精神。在公開的討

13、論或辯論中，必須具有雄辯、修辭、哲學及數(shù)學等知識，于是“智人學派”(sophist school,或譯巧辯學派、哲人學派)應(yīng)運而生。他們以教授文法、邏輯、數(shù)學、天文、修辭、雄辯等科目為業(yè)。在數(shù)學上，他們提出“三大問題”： 三等分任意角； 倍立方，即求作一立方體，使其體積是已知立方體的二倍； 化圓為方，即求作一正方形，使其面積等于一已知圓。 問題的難處，是作圖只許用直尺(沒有刻度的尺)和圓規(guī)。希臘人的興趣并不在于圖形的實際作出，而是在尺規(guī)的限制下從理論上去解決這些問題。這是幾何學從實際應(yīng)用向系統(tǒng)理論過渡所邁出的重要的一步。這個學派的安提豐(約公元前430)提出用“窮竭法”去解決化圓為方問題，是近

14、代極限理論的雛形。先作圓內(nèi)接正方形，以后每次邊數(shù)加倍，得8，16，32、邊形，這樣繼續(xù)下去，安提豐深信“最后”的多邊形與圓的“差”必會“窮竭”。這提供了求圓面積的近似方法，和中國的劉徽(約263年前后)的割圓術(shù)思想不謀而合。,柏拉圖學派,公元前4000年，古希臘哲學進入系統(tǒng)化階段，其代表人物有柏拉圖和亞里士多德。 公元前427年柏拉圖生于雅典的一個名門望族。他的父親名叫阿里斯東，母親叫柏里克蒂娥尼，是改革家梭倫的后裔。 柏拉圖本名阿里斯托克利，據(jù)說因為他生有一個闊額頭，所以得了個渾號“柏拉圖”，后來這個名字也就叫出了名。 柏拉圖青年時代，正當伯羅奔尼撒戰(zhàn)爭，18歲時他應(yīng)征入伍。他青年時期象其他

15、貴族子弟一樣受過良好的教育，富于文學興趣和才能。20歲時成為蘇格拉底的學生。 公元前399年蘇格拉底被已經(jīng)腐敗的雅典民主派處死，柏拉圖因此受到沉重的打擊。 蘇格拉底被處死后，柏拉圖不得不暫離雅典，大約從28至40歲，他作了一次海外游歷。,他先到鄰邦墨加拉，從那里渡海去北非。他先后到過希臘殖民城市昔倫尼和金字塔之鄉(xiāng)埃及。然后來到南意大利，在那里接觸到畢達哥拉斯派門徒如阿基達等；這些人才哲學有著堅定信念，知識淵博，又執(zhí)掌著政權(quán)，給他留下了深刻的印象。 柏拉圖曾經(jīng)有三次西西里之行，他試圖把政治理想付諸現(xiàn)實，但都以失敗而告終。第一次是公元前387年柏拉圖到達西西里島，在敘拉古宮廷會見僭主狄奧尼修一世，

16、賓主交談并不投機；僭主信奉軍事實力，柏拉圖談?wù)撐ㄐ恼撜軐W，結(jié)果不歡而散。 第二次是公元前367年，柏拉圖應(yīng)戴昂邀請去敘拉古擔任新即位的狄奧尼修二世的教師。 第三次是公元前361年狄奧尼修二世再邀柏拉圖前往敘拉古,結(jié)果仍不順利，敗興而歸。 據(jù)說柏拉圖在返國途中被人賣為奴隸，幸得熟人慷慨解囊，以二十明那替他贖身。 公元前386年，柏拉圖在雅典近郊凱菲索區(qū)的阿卡德米體育場開辦了一所學校，他一邊教學，一邊著作，做了一名教師。他在阿卡德米的入口處寫了“不懂幾何學者勿入”的字樣，告訴人們，沒有幾何學的知識休想登上柏拉圖的哲學殿堂。 柏拉圖主持學園約40載，學園的建立是他生命史上的轉(zhuǎn)折點，在某些方面還是西歐

17、科學史上最值得紀念的事件。對于柏拉圖來說，這意味著在長期等待之后，已經(jīng)找到了他一生真正的工作。 柏拉圖的著作大都是以對話體裁寫成的。主要有：辯訴篇，克利托篇，普羅塔戈拉篇，高吉亞篇，曼諾篇，共和國篇，(即理想國)，菲多篇，宴話篇，菲德羅篇，智者篇，法律篇等。,拉斐爾圣齊奧 (1483-1520) 所繪油畫雅典學派,A Roman mosaic showing Platos Academy,不懂幾何者不得入內(nèi),柏拉圖的理想國是柏拉圖的一部代表作，涉及他思想體系的各個方面，包括哲學、倫理、教育、文藝、政治等內(nèi)容，但主要地是討論所謂“正義國家”的問題。柏拉圖生活的時代，希臘城邦開始發(fā)生危機，于是他留

18、心于探索一個普遍性的問題：究竟定下一套什么樣的原則，采取什么樣的具體措施，才能夠建立起稱得上是理想的國家?這種國家在本質(zhì)上既可以克服某些城邦(如雅典)所固有的“弊病”，又可以作為一切城邦(甚至外邦)理應(yīng)仿效的“范型”。大概這就是柏拉圖在殫心竭力地構(gòu)造他的理想國家時，所面臨和考慮的主要課題。 公元前347年，柏拉圖以80歲卒其天年。是在參加一個弟子的婚禮中，小睡一憩竟長眠而未起的。柏拉圖死后，他所創(chuàng)立的學園由門徒主持代代相傳，繼續(xù)存在了數(shù)世紀之久。,柏拉圖非常重視數(shù)學，傳說在他的學因門口寫著；“不但幾何者不得入內(nèi)”。 柏拉圖鑒于畢達哥拉斯所給出點的定義(點是方位置的單位)不夠明確，于是另立定義

19、“點是直線的開端”，或“點是不可分割的線”這兩個定義和我因墨經(jīng)中的“端，體之無厚而最前者也”及“體，若二之一，尺之端也”極其相似。 柏拉圖在教學中為科學奠定了基礎(chǔ)，堅持準確的定義、清楚的假設(shè)和邏輯的證明。他對數(shù)學有很大的功勞,在他的倡導(dǎo)下,柏拉圖學派中產(chǎn)生了不少數(shù)學家。 歐多克薩斯曾一度是柏拉圖的學生在天文、幾何、醫(yī)學和法律方面都有值得稱道的成就他是最早介紹球面天文和描述星座的希臘科學家。在數(shù)學方面，最大的功勞是創(chuàng)立了比例論。歐幾里得幾何原本第5卷比例論大部分來自他多克薩期的工作他多克薩斯的比例論完全排除了畢達哥拉斯學派只能適用于可通約量的算術(shù)方法，純粹用公理法建立理論，因此沒有區(qū)別可邁約和不

20、可通約的必要,柏拉圖學派及其他學術(shù)中心 柏拉圖(約公元前427前347)在雅典建立學派，創(chuàng)辦學園。他非常重視數(shù)學，但片面強調(diào)數(shù)學在訓練智力方面的作用，而忽視其實用價值。他主張通過幾何的學習培養(yǎng)邏輯思維能力，因為幾何能給人以強烈的直觀印象，將抽象的邏輯規(guī)律體現(xiàn)在具體的圖形之中。這個學派培養(yǎng)出不少數(shù)學家，如歐多克索斯就曾就學于柏拉圖，他創(chuàng)立了比例論，是歐幾里得的前驅(qū)。柏拉圖的學生亞里士多德也是古代的大哲學家，是形式邏輯的奠基者。他的邏輯思想為日后將幾何學整理在嚴密的邏輯體系之中開辟了道路。,Aristotle,亞里斯多德，古希臘著名哲學家、自然科學家，西方文藝理論的真正奠基者。公元前384年生于愛

21、琴海北岸的哈爾基迪凱半島上的達吉羅斯，其父是馬其頓國王阿明塔斯二世的御醫(yī)。母親法伊斯提來自優(yōu)卑亞島的哈爾基斯。亞里斯多德早年喪父，由監(jiān)護人“撫養(yǎng)”。17歲赴雅典就讀于柏拉圖的“學園”，受教20年。為學員中出類拔萃者。 柏拉圖去世后，亞里斯多德曾受馬其頓王之聘，教育太子亞歷山大。回雅典后，亞里斯多德在呂刻翁自立學園，專心教育和著述，經(jīng)常在走廊邊走邊講授，后世稱他的弟子為“逍遙學派”。恩格斯稱他是古代“最博學的人”。,公元前335年，亞里斯多德返回雅典，在雅典東郊的一所名叫呂凱伊昂的體育場開辦了自己的學校。13個年頭里，他一邊教學，一邊寫作。這是他最為成熟也最有成就的時期，他遺存的大部分作品完成于

22、此時。弟子分兩班。他每天上午教高級班，人數(shù)有限，課程包括哲學、物理學、辯證術(shù)等。下午教普通班，講授修辭學、政治學等課目。因他經(jīng)常率領(lǐng)一群弟子在校園的林蔭道上踱著方步授課，所以他的學派得名“逍遙學派”。 亞里斯多德的研究工作得到了亞歷山大的贊助。據(jù)說這位躍馬東方的“大王”派了成千的人員供他支配，有打獵的、捕魚的、養(yǎng)蜂的、喂鳥的，等等，分布在希臘和亞洲的各個地區(qū)。這樣便幫助他建成了一座規(guī)模可觀的生物實驗室。亞歷山大還下令為亞里斯多德搜集各邦各城的法律政治資料，為他提供800塔蘭特的研究費用。 公元前323年，亞歷山大的死耗從巴比倫傳來，雅典人一時間將自己對馬其頓人的怒氣發(fā)泄到亞里斯多德的頭上。他被

23、控犯了“瀆神罪”。他眼見禍之將至，匆匆避居于哈爾基斯。次年辭世，享年63歲。 他的著作相傳有400余卷，但大多散失，傳者也殘缺不全。他的著述可分為形而上學、物理學、倫理學、政治學和美學五個部分.批判地繼承了柏拉圖的全部學說。 柏拉圖破壞多于建樹，亞里斯多德批判多于繼承，建樹多于破壞；兩人處處針鋒相對。 亞里斯多德實踐了自己的名言：“我愛我的老師，我更愛真理?！彼麑Ｕ撐乃嚭兔缹W的著作，今傳有詩學和修辭學，是古希臘文藝輝煌成就的總結(jié)。,詩學是講課提綱，是所謂“秘傳本”，現(xiàn)存僅有26章，主要論述了悲劇和史詩，對喜劇所論甚簡，對抒情詩根本沒提，這是第一部。 據(jù)傳還有系統(tǒng)論述藝術(shù)一般問題的第二部，可惜已

24、遺失。修辭學是發(fā)表的作品，即“外傳本”。此外相傳還有論修詞、論詩人、戲劇研究和荷馬問題四部著作，都已散失。 車爾尼雪夫斯基評價亞里斯多德是“第一個以獨立體系闡明美學概念的人，他的概念竟雄霸了2000余年”。稱他的詩學“是第一篇最重要的美學論文，也是迄至前世紀末葉一切美學概念的根據(jù)”。他的文藝理論在歐洲文藝史上具有“法典”的權(quán)威，影響極為深遠。 亞里斯多德還是邏輯科學的創(chuàng)立者，有名的邏輯推理“三段論”就是他提出來的。亞里斯多德的形式邏輯為傳統(tǒng)邏輯打下了堅實的基礎(chǔ)。,三等分任意角； 倍立方，即求作一立方體，使其體積是已知立方體的二倍； 化圓為方，即求作一正方形，使其面積等于一已知圓。 問題的難處，

25、是作圖只許用直尺(沒有刻度的尺)和圓規(guī)。希臘人的興趣并不在于圖形的實際作出，而是在尺規(guī)的限制下從理論上去解決這些問題。這是幾何學從實際應(yīng)用向系統(tǒng)理論過渡所邁出的重要的一步。這個學派的安提豐(約公元前430)提出用“窮竭法”去解決化圓為方問題，是近代極限理論的雛形。先作圓內(nèi)接正方形，以后每次邊數(shù)加倍，得8，16，32、邊形，這樣繼續(xù)下去，安提豐深信“最后”的多邊形與圓的“差”必會“窮竭”。這提供了求圓面積的近似方法，和中國的劉徽(約263年前后)的割圓術(shù)思想不謀而合。,（1）三大幾何作圖問題,歐多克斯Eudoxus （409356 BC),芝諾悖論,芝諾 Zeno 約495 BC 430 BC,

26、（2）關(guān)于無限的迷思,芝諾與運動悖論,這個時期的希臘數(shù)學中心還有以芝諾(約公元前496前430)為代表的埃利亞學派，他提出四個悖論，給學術(shù)界以極大的震動。這四個悖論是：,他提出四個悖論，給學術(shù)界以極大的震動。這四個悖論是：,二分說，一物從甲地到乙地，永遠不能到達。因為想從甲到乙，首先要通過道路的一半，但要通過這一半，必須先通過一半的一半，這樣分下去，永無止境。結(jié)論是此物的運動被道路的無限分割阻礙著，根本不能前進一步。,Zeno of Elea,阿基琉斯(善跑英雄)追龜說，阿基琉斯追烏龜，永遠追不上。因為當他追到烏龜?shù)某霭l(fā)點時，龜已向前爬行了一段，他再追完這一段，龜又向前爬了一小段。這樣永遠重復(fù)

27、下去，總也追不上。,飛箭靜止說，每一瞬間箭總在一個確定的位置上，因此它是不動的。,芝諾悖論: 飛矢不動,運動場問題，芝諾論證了時間和它的一半相等。,（3）邏輯結(jié)構(gòu)的倡導(dǎo), 2.3 亞歷山大前期-希臘數(shù)學的黃金時代,亞歷山大前期從公元前4世紀到公元前146年古希臘滅亡，羅馬成為地中海區(qū)域的統(tǒng)治者為止，希臘數(shù)學以亞歷山大為中心，達到它的全盛時期。這里有巨大的圖書館和濃厚的學術(shù)空氣，各地學者云集在此進行教學和研究。其中成就最大的是亞歷山大前期三大數(shù)學家歐幾里得、阿基米德和阿波羅尼奧斯。 歐幾里得的幾何原本是一部劃時代的著作。其偉大的歷史意義在于它是用公理法建立起演繹體系的最早典范。過去所積累下來的數(shù)

28、學知識，是零碎的、片斷的，可以比作磚瓦木石；只有借助于邏輯方法，把這些知識組織起來，加以分類、比較，揭露彼此間的內(nèi)在聯(lián)系，整理在一個嚴密的系統(tǒng)之中，才能建成宏偉的大廈。幾何原本體現(xiàn)了這種精神，它對整個數(shù)學的發(fā)展產(chǎn)生深遠的影響。阿基米德是物理學家兼數(shù)學家，他善于將抽象的理論和工程技術(shù)的具體應(yīng)用結(jié)合起來，又在實踐中洞察事物的本質(zhì)，通過嚴格的論證，使經(jīng)驗事實上升為理論。他根據(jù)力學原理去探求解決面積和體積問題，已經(jīng)包含積分學的初步思想。阿波羅尼奧斯的主要貢獻是對圓錐曲線的深入研究。 除了三大數(shù)學家以外，埃拉托斯特尼(約公元前276前195)的大地測量和以他為名的 “素數(shù)篩子” 也很出名。天文學家喜帕恰

29、斯(公元前2世紀)制作“弦表”，是三角學的先導(dǎo)。,亞歷山大帝國,2.3.1 歐幾里得與幾何原本,歐幾里得(活動于約前300-)古希臘數(shù)學家。以其所著的幾何原本(簡稱原本）聞名于世。關(guān)于他的生平，現(xiàn)在知道的很少。早年大概就學于雅典,深知柏拉圖的學說。公元前300年左右，在托勒密王（公元前364前283）的邀請下，來到亞歷山大，長期在那里工作。他是一位溫良敦厚的教育家，對有志數(shù)學之士，總是循循善誘。但反對不肯刻苦鉆研、投機取巧的作風，也反對狹隘實用觀點。據(jù)普羅克洛斯（約410485）記載，托勒密王曾經(jīng)問歐幾里得，除了他的幾何原本之外，還有沒有其他學習幾何的捷徑。歐幾里得回答說：“在幾何里，沒有專為

30、國王鋪設(shè)的大道?！边@句話后來成為傳誦千古的學習箴言。斯托貝烏斯（約500）記述了另一則故事,說一個學生才開始學第一個命題，就問歐幾里得學了幾何學之后將得到些什么。歐幾里得說：給他三個錢幣，因為他想在學習中獲取實利。 歐幾里得將公元前 7世紀以來希臘幾何積累起來的豐富成果整理在嚴密的邏輯系統(tǒng)之中，使幾何學成為一門獨立的、演繹的科學。除了幾何原本之外，他還有不少著作，可惜大都失傳。已知數(shù)是除原本之外惟一保存下來的他的希臘文純粹幾何著作，體例和原本前6卷相近，包括94個命題,指出若圖形中某些元素已知,則另外一些元素也可以確定。圖形的分割現(xiàn)存拉丁文本與阿拉伯文本，論述用直線將已知圖形分為相等的部分或成

31、比例的部分。光學是早期幾何光學著作之一，研究透視問題，敘述光的入射角等于反射角，認為視覺是眼睛發(fā)出光線到達物體的結(jié)果。還有一些著作未能確定是否屬于歐幾里得，而且已經(jīng)散失。,希臘數(shù)學史上，歐幾里得具有承前啟后的作用。他是希臘論證幾何學的集大成者，更是亞歷山大數(shù)學學派的奠基人。他對數(shù)學，或者說整個人類文明史的貢獻，主要體現(xiàn)在他的鴻篇巨制原本當中。這部杰作的出臺亮相，使以前所有有關(guān)數(shù)學原理的書冊黯然退出了歷史舞臺。從問世之日起，它便倍受推崇，直到如今，世界各國的初等幾何課本還在講授它的內(nèi)容。它被廣泛使用和研究的程度完全可追圣經(jīng)，而它對于科學思想的重大影響更是無與倫比。 “原本”的希臘文原意是指一個學

32、科中最重要的定理，如同字母之于語言的作用一樣，它們必須具有最一般最廣泛的應(yīng)用。原本所包含的正是這樣一些數(shù)學定理。歐幾里得在這里運用公理法則對當時的數(shù)學知識進行了系統(tǒng)化、理論化的總結(jié)。其書共分13卷，包括5條公理、5條公設(shè)、119個定義和465條命題，構(gòu)成了人類文明史上第一個演繹數(shù)學的公理化體系。 在內(nèi)容上，原本總結(jié)并推廣了畢達哥拉斯學派的幾何成就，歐多克斯的比例理論，以及幾乎所有以前的立體幾何知識，此外，還有大量的初等數(shù)論定理。在方法上，原本則通過完善安提豐的窮竭法，使其在面積、體積理論方面成為一種有力的、成熟的證明工具，展現(xiàn)了古希臘數(shù)學的思想精髓和典型意義。利用幾何形式處理代數(shù)問題的思想也是

33、它的一個顯著特點。（歐幾里得對畢達哥拉斯定理的證明） 歐多克斯對比例的界定并未限制涉及到的量是否可以公度，從而巧妙地回避了無理量問題，因而能夠適用于更加廣泛的幾何命題證明。原本對歐多克斯比例理論的精彩闡述。這被認為是該書的最大成就之所在，因為它在當時的認識水平上，消除了由不可公度量引起的數(shù)學危機。,原本給出了有關(guān)整數(shù)性質(zhì)的若干定理及其證明。其中包括素數(shù)分解唯一性定理和素數(shù)個數(shù)無窮的定理。求兩數(shù)最大公因子的輾轉(zhuǎn)相除法，現(xiàn)今稱為歐幾里得算法。此外，還有和連比有關(guān)的幾何級數(shù)，以及關(guān)于完全數(shù)的定理等。所有這些內(nèi)容說明，將原本僅僅看成是一部純幾何著作多少有點不夠全面客觀。 不過，原本最大的功績應(yīng)在于它確

34、立了數(shù)學中的演繹范式，這種范式要求一門科學中的每個命題必須是在它之前已建立的一些命題的邏輯結(jié)論，而所有邏輯鏈的共同出發(fā)點,只是一些基本定義和被認為是不證自明的基本原理：公設(shè)或公理。這就是后來所謂的公理化思想。正是在這一點上，歐幾里得原本可以說是數(shù)學史上的第一座理論豐碑。,幾何原本 1482年 威尼斯,2.3.2 阿基米德,阿基米德公元前287年出生在意大利半島南端西西里島的敘拉古。父親是位數(shù)學家兼天文學家。阿基米德從小有良好的家庭教養(yǎng)，11歲就被送到當時希臘文化中心的亞歷山大城去學習。在這座號稱“智慧之都”的名城里，阿基米德博閱群書，汲取了許多的知識，并且做了歐幾里得學生埃拉托塞和卡農(nóng)的門生，

35、鉆研幾何原本。 后來阿基米德成為兼數(shù)學家與力學家的偉大學者，并且享有“力學之父”的美稱。其原因在于他通過大量實驗發(fā)現(xiàn)了杠桿原理，又用幾何演澤方法推出許多杠桿命題，給出嚴格的證明。其中就有著名的“阿基米德原理”，他在數(shù)學上也有著極為光輝燦爛的成就。盡管阿基米德流傳至今的著作共只有十來部，但多數(shù)是幾何著作，這對于推動數(shù)學的發(fā)展，起著決定性的作用。,（1）阿基米德的著作,論螺線，是阿基米德對數(shù)學的出色貢獻。他明確了螺線的定義，以及對螺線的面積的計算方法。在同一著作中，阿基米德還導(dǎo)出幾何級數(shù)和算術(shù)級數(shù)求和的幾何方法。,砂粒計算，是專講計算方法和計算理論的一本著作。阿基米德要計算充滿宇宙大球體內(nèi)的砂粒數(shù)

36、量，他運用了很奇特的想象，建立了新的量級計數(shù)法，確定了新單位，提出了表示任何大數(shù)量的模式，這與對數(shù)運算是密切相關(guān)的。,圓的度量，利用圓的外切與內(nèi)接96邊形，求得圓周率為： ，這是數(shù)學史上最早的，明確指出誤差限度的值。他還證明了圓面積等于以圓周長為底、半徑為高的正三角形的面積；使用的是窮舉法。,球與圓柱，熟練地運用窮竭法證明了球的表面積等于球大圓面積的四倍；球的體積是一個圓錐體積的四倍，這個圓錐的底等于球的大圓，高等于球的半徑。阿基米德還指出，如果等邊圓柱中有一個內(nèi)切球，則圓柱的全面積和它的體積，分別為球表面積和體積的 。在這部著作中，他還提出了著名的“阿基米德公理”。,拋物線求積法，研究了曲線

37、圖形求積的問題，并用窮竭法建立了這樣的結(jié)論：“任何由直線和直角圓錐體的截面所包圍的弓形（即拋物線），其面積都是其同底同高的三角形面積的三分之四?！彼€用力學權(quán)重方法再次驗證這個結(jié)論，使數(shù)學與力學成功地結(jié)合起來。,浮體，是流體靜力學的第一部專著，阿基米德把數(shù)學推理成功地運用于分析浮體的平衡上，并用數(shù)學公式表示浮體平衡的規(guī)律。,論錐型體與球型體，講的是確定由拋物線和雙曲線其軸旋轉(zhuǎn)而成的錐型體體積，以及橢圓繞其長軸和短軸旋轉(zhuǎn)而成的球型體的體積。,平面的平衡，是關(guān)于力學的最早的科學論著，講的是確定平面圖形和立體圖形的重心問題。,（2）阿基米德的數(shù)學,A 關(guān)于球體積公式的獲得,T N x-R S,A B

38、,C,R,B 關(guān)于拋物線弓形面積,G,T,H,F,K,A,O,D,C,M,E,N,P,W,B,V,V1,P1,P1,V1,Q,q,P,1系統(tǒng)總結(jié)并嚴格證明了杠桿定律，為靜力學奠定了基礎(chǔ)。在總結(jié)前人經(jīng)驗的基礎(chǔ)上，阿基米德系統(tǒng)地研究了物體的重心和杠桿原理，提出了精確地確定物體重心的方法，指出在物體的重心處支起來，就能使物體保持平衡。在論平面圖形的平衡一書中，進一步確定了各種平面圖形的重心，并對杠桿平衡條件做了嚴格的數(shù)學證明。得出重物的重量比和它們離支點的距離成反比的杠桿定律。運用這一定律，阿基米德設(shè)計過杠桿滑輪系統(tǒng)，創(chuàng)造了用小力把大船拉到水里等奇跡。 2在著名的論浮體一書中，他總結(jié)出了著名的阿基米

39、德原理；放在液體中的物體受到向上的浮力，其大小等于物體所排開的液體重力。從此使人們對物體的沉浮有了科學的認識，從而奠定了流體靜力學的基礎(chǔ)。 3確定各種幾何圖形的面積和物體的表面積、體積的計算方法，創(chuàng)立“窮竭法”。他精通幾何學，先后發(fā)現(xiàn)了幾十條定理。在圓的度量等著作中，提出了計算圓的周長、面積及扇形面積的準確公式；他用圓內(nèi)接多邊形與外切多邊形邊數(shù)增多、面積逐漸接近的方法精確求出在這些計算中，他創(chuàng)立的“窮竭法”，實質(zhì)上與現(xiàn)代數(shù)學積分計算的基本思想相同。在論拋物線形的求積法、論球和圓柱等著作中，阿基米德在計算拋物線弓形面積和球、橢球、旋轉(zhuǎn)拋物體等的表面積與體積時，進一步發(fā)展了“窮竭法”,以說是現(xiàn)代微

40、積分法的先導(dǎo)。他還首創(chuàng)記任意大數(shù)的方法，突破了當時用希臘字母記數(shù)最大數(shù)不能超過一萬的局限等。,（3）阿基米德的主要科學貢獻,和他的前輩及同時代的一些學者相比，阿基米德的學術(shù)活動有一個顯著的特點，就是他既極為重視科學的嚴密性、準確性，要求對每一個問題都進行精確的、合乎邏輯的證明；又非常注意科學知識的實際應(yīng)用，親自設(shè)計制造過多種機械裝置和建筑物，開創(chuàng)理論研究和實際應(yīng)用密切結(jié)合的學風。 流傳下來的阿基米德的著作除上文提到的外，尚有螺線、論錐體和球體、沙的計算等。據(jù)現(xiàn)在所知，他失傳的著作有天球儀的制造、論杠桿、支持、原理和反射光學等。在他死后差不多兩千年，在公元1670年，英國牛津出版了阿基米德遺著全

41、集。經(jīng)歷了這么多世紀而保留下來的阿基米德的著作，就全部收在這部全集中了。,美國的E.T.貝爾在數(shù)學人物上是這樣評價阿基米德的：任何一張開列有史以來三個最偉大的數(shù)學家的名單之中，必定會包括阿基米德，而另外兩們通常是牛頓和高斯。不過以他們的宏偉業(yè)績和所處的時代背景來比較，或拿他們影響當代和后世的深邃久遠來比較，還應(yīng)首推阿基米德。,2.3.3 阿波羅尼斯與圓錐曲線,阿波羅尼斯(Apollonius of Perga,前262前190)古希臘數(shù)學家。生于小亞細亞的帕加(今土耳其安塔利亞省內(nèi))，青年時去亞歷山大城學習數(shù)學。其主要著作圓錐曲線在數(shù)學史上占有重要的地位。該書系統(tǒng)地討論了拋物線,阿波羅尼奧斯是

42、亞歷山大時期希臘數(shù)學史上的又一位杰出人物。他的貢獻涉及幾何學和天文學，但最為重要的是他在前人工作的基礎(chǔ)上創(chuàng)立了相當完美的圓錐曲線論。他以歐幾里得式的嚴謹風格所寫就的傳世之作圓錐曲線論，在研究圓錐曲線上所達到的理論高度，直到笛卡爾、帕斯卡出場之前，始終無人能夠超越。圓錐曲線論共分八卷，含487個命題。前四卷是基礎(chǔ)部分，后四卷為拓廣的內(nèi)容，可惜末卷現(xiàn)已失傳。 阿波羅尼奧斯一改希臘人通過三種圓錐面構(gòu)導(dǎo)圓錐曲線的傳統(tǒng)方法，僅從一個對頂錐出發(fā)便得到了所有的圓錐曲線。橢圓、拋物線、雙曲線這些詞的通用名稱就是他在這部書中首先提出來的。在使用統(tǒng)一的方式引出三種圓錐曲線后，他便展開了對它們性質(zhì)的廣泛討論，內(nèi)容涉

43、及圓錐曲線的直徑、共軛直徑、切線、中心、雙曲線的漸近線、橢圓與雙曲線的焦點、以及處在各種不同位置的圓錐曲線的交點數(shù)等等。, 2.4 亞歷山大后期與希臘數(shù)學的衰落,亞歷山大后期公元前146年以后，在羅馬統(tǒng)治下的亞歷山大學者仍能繼承前人的工作，不斷有所發(fā)明。海倫(約公元62)、門納勞斯(約公元100)、帕普斯等人都有重要貢獻。天文學家C.托勒密(約85165)將喜帕恰斯的工作加以整理發(fā)揮，奠定了三角學的基礎(chǔ)。 晚期的希臘學者在算術(shù)和代數(shù)方面也頗有建樹，代表人物有尼科馬霍斯(約公元100)和丟番圖(約250)。前者是杰拉什(今約旦北部)地方的人。著有算術(shù)入門，后者的算術(shù)是講數(shù)的理論的，而大部分內(nèi)容可

44、以歸入代數(shù)的范圍。它完全脫離了幾何的形式，在希臘數(shù)學中獨樹一幟，對后世影響之大，僅次于幾何原本。 325年，羅馬帝國的君士坦丁大帝開始利用宗教作為統(tǒng)治的工具，把一切學術(shù)都置于基督教神學的控制之下。529年，東羅馬帝國皇帝查士丁尼下令關(guān)閉雅典的柏拉圖學園以及其他學校，嚴禁傳授數(shù)學。許多希臘學者逃到敘利亞和波斯等地。數(shù)學研究受到沉重的打擊。641年，亞歷山大被阿拉伯人占領(lǐng)，圖書館再次被毀，希臘數(shù)學至此告一段落。,即使按今天的標準來衡量，圓錐曲線論中乃有不少深奧的結(jié)果，尤為突出的是第五卷對從定點到圓錐曲線間最長和最短線段的探討，這在實質(zhì)上給出了圓錐曲線的法線包絡(luò)即漸屈線概念，它們是近代微分幾何的課題。第三、四兩卷對圓錐曲線極點與極線調(diào)和性質(zhì)的論述，則包含了射影幾何學的思想萌芽。 圓錐曲線論可以說是希臘演繹幾何的最高成就。阿波羅尼奧斯用純幾何的手段達到了今日解析幾何的一些主要結(jié)論，著實令人驚嘆。但這種手段也給許多復(fù)雜命題的敘述與證明帶來了麻煩，使其顯得晦澀難懂，從而影響到其后十幾個世紀里幾何學的裹足不前。幾何學中的新時代直到17世紀才遲遲到來。,2.4.1 海倫,2.4.2 梅內(nèi)勞斯,亞歷山大后期的希臘幾何，已失去前期的光輝。該時期開始階段值得提及的幾何學家恐怕只有海倫，其量度（Metrica）一書主要討論各