復變函數(shù)第四章泰勒級數(shù)

1、4.3 泰勒級數(shù),上節(jié)看到，一個冪級數(shù)在其收斂圓內(nèi)具有解析的和函數(shù)，即，它在收斂圓內(nèi)代表一個解析函數(shù),反過來，對于圓內(nèi)解析的函數(shù)是否可以展開為級數(shù)呢,定理4.7,泰勒展開式,D,證明思路,根據(jù)定理前提條件,知,2） 如果 f (z)在z0解析, 則使 f (z)在z0的泰勒展開式成立的圓域的半徑 R等于從z0到 f (z)的距z0最近一個奇點a 的距離, 即R=|a-z0,注：（1）泰勒展開式的唯一性?！径ɡ?.8】(采用反證 法證明,1）直接展開法,利用泰勒展開式, 我們可以直接通過計算系數(shù),把 f (z)在z0展開成冪級數(shù),例1,類似地,解,二）間接展開法,借助一些已知函數(shù)的展開式, 利用

2、冪級數(shù)的運算（加法，乘法，積分，求導等運算）和分析性質(zhì), 以唯一性為依據(jù)來得出一個函數(shù)的泰勒展開式,兩式相乘得,解,方法二 待定系數(shù)法,那么,同次冪系數(shù)相等,解 由于函數(shù)有一奇點z=-1, 而在|z|1內(nèi)處處解析, 所以可在|z|1內(nèi)展開成z的冪級數(shù),對于多值函數(shù)，要先求出單值分支（主值），再計算相應的泰勒展開式,ln(1+z)在從-1向左沿負實軸剪開的平面內(nèi)是解析的, -1是它的奇點, 所以可在|z|1展開為z的冪級數(shù),解,逐項積分得,而如果把函數(shù)中的x換成z, 在復平面內(nèi)來看函數(shù),1-z2+z4,它有兩個奇點i, 而這兩個奇點都在此函數(shù)展開式的收斂圓周上, 所以這個級數(shù)的收斂半徑只能等于1

3、. 因此, 即使我們只關(guān)心z的實數(shù)值, 但復平面上的奇點形成了限制,4.4 羅朗級數(shù),一個以z0為中心的圓域內(nèi)解析的函數(shù) f (z), 可以在該圓域內(nèi)展開成z-z0的冪級數(shù). 如果 f (z)在z0處不解析, 則在z0 的鄰域內(nèi)就不能用z-z0的冪級數(shù)來表示. 但是這種情況在實際問題中卻經(jīng)常遇到. 因此, 在本節(jié)中將討論在以 z0 為中心的圓環(huán)域內(nèi)的解析函數(shù)的級數(shù)表示法,例,4.4.1 羅朗級數(shù)的概念,定義4.6,在收斂圓環(huán)域內(nèi)也具有. 例如, 可以證明, 上述級數(shù)在收斂域內(nèi)其和函數(shù)是解析的, 而且可以逐項求積和逐項求導,冪級數(shù)在收斂圓內(nèi)的許多性質(zhì), 級數(shù),現(xiàn)在反問, 在圓環(huán)域內(nèi)解析的函數(shù)是否一定能夠展開成冪級數(shù),注,1)羅朗級數(shù)在形式上與泰勒級數(shù)類似,它的證明也是類似的,2)一般地,即使正冪項的系數(shù)也不能利用高階導數(shù)形式表示,此時,羅朗級數(shù)退化為泰勒級數(shù),柯西基本定理,高階導數(shù)公式,4）唯一性,解：