高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)指導(dǎo)系列-解析幾何

1、高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)指導(dǎo)系列-解析幾何緒言：解析幾何的本質(zhì)是用代數(shù)的方法研究幾何問題，其中蘊含豐富的數(shù)學(xué)思想：函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、分類與整合思想等因此，要注意數(shù)學(xué)思想方法在問題解決過程中的核心地位近幾年解析幾何內(nèi)容考查的題型歸納與分析如下： 考什么怎么考題型與難度1圓與圓錐曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程與性質(zhì)考查圓錐曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程與性質(zhì)題型：選擇題或填空題難度：基礎(chǔ)題2直線與(圓)圓錐曲線的位置關(guān)系主要考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系題型：解答題難度：中檔題或難題3與(圓)圓錐曲線有關(guān)的范圍與最值主要考查與圓錐曲線有關(guān)的范圍與最值問題，常與函數(shù)、不等式交匯命題題型：解答題難度：中

2、檔題或難題4定點、定值的探究與證明考查以直線、圓、圓錐曲線為載體，探究直線或曲線過定點；考查與圓錐曲線有關(guān)的定值問題題型：解答題難度：中檔題或難題5 (圓)圓錐曲線中的點、線、參數(shù)等存在性問題考查以圓錐曲線為載體，探究平分面積的線、平分線段的點等問題；來源:學(xué)+科+網(wǎng)Z+X+X+K來源:Z&xx&kCom考查某解析式成立的參數(shù)是否存在題型：解答題難度：中檔題或難題建議對以上幾類問題進(jìn)行整理，講關(guān)鍵處、 講重點、講難點、講思想、講規(guī)律、講方法，講存在的主要問題和相應(yīng)的解決方法與策略：1. 重視圓錐曲線的定義，利用圖形的幾何特征解題；2. 掌握基本量計算：如弦長，中點弦問題，梳理定點、定值問題的基

3、本思路以及有關(guān)面積的處理思路；3. 圓錐曲線問題的計算，首先是耐心演算，其次是算法、算理、算式的分析、滲透與強(qiáng)化，提高運算的準(zhǔn)確性；4. 讀題、審題，加強(qiáng)數(shù)學(xué)閱讀理解的指導(dǎo)，加強(qiáng)數(shù)學(xué)表達(dá)的規(guī)范訓(xùn)練一、存在的問題及原因分析：（一）缺乏科學(xué)規(guī)范的作圖意識，識圖、用圖能力待提高科學(xué)規(guī)范地畫出圖形是研究幾何問題的基礎(chǔ)，作圖的過程也是問題條件的理解與解題思路的探究過程【例1】（2016全國I卷理20）設(shè)圓的圓心為A，直線l過點B（1，0）且與x軸不重合，l交圓A于C，D兩點，過B作AC的平行線交AD于點E（I）證明為定值，并寫出點E的軌跡方程評析：由于作圖潦草、沒有使用尺規(guī)作圖、不夠精確，導(dǎo)致難以發(fā)現(xiàn)關(guān)

4、鍵的幾何特征信息識圖、用圖能力差，沒有從圖形中發(fā)現(xiàn)，以及究其原因在于課堂教學(xué)作圖環(huán)節(jié)缺失，教師多用手工繪制草圖、缺乏對圖形中幾何特征與數(shù)量關(guān)系的細(xì)致量化分析建議教師注意使用尺規(guī)規(guī)范作圖，示范指導(dǎo)，并要求學(xué)生當(dāng)堂作圖練習(xí)所給的練習(xí)，不給圖形，要求學(xué)生通過審題自己作圖，結(jié)合圖形從整體角度理解題意尋找解題思路（二）缺乏利用圓錐曲線的定義研究相關(guān)問題的意識與模式習(xí)慣定義是數(shù)學(xué)問題研究的起點圓錐曲線的定義蘊含了豐富的內(nèi)涵，對我們的問題的理解與思考有深刻的意義【例2】（2016全國I卷理20）設(shè)圓的圓心為A，直線l過點B（1，0）且與x軸不重合，l交圓A于C，D兩點，過B作AC的平行線交AD于點E（I）證

5、明為定值，并寫出點E的軌跡方程解答：圓的方程可化為的圓心為，半徑為4；動點C，D落在圓上，滿足；（點在圓上，根據(jù)圓的定義有）等腰三角形中，；由題設(shè)得，由橢圓定義可得點的軌跡方程為：（）（根據(jù)定義知點的軌跡是橢圓） 評析：未能從動點與定點的位置關(guān)系角度理解問題，去探究目標(biāo)“證明為定值”的證明思路，未能結(jié)合定義預(yù)判可能的軌跡類型，從而沒能聯(lián)系已有的幾何條件尋找突破口究其原因在于研究求軌跡方程這類問題時，沒有養(yǎng)成優(yōu)先站在“觀察發(fā)現(xiàn)動點運動變化過程中不變的幾何關(guān)系”的角度探究問題的意識；沒有養(yǎng)成“定義”的應(yīng)用意識，未能從圓錐曲線的定義審視動點滿足的不變的幾何關(guān)系，選擇簡便的方法實現(xiàn)幾何條件代數(shù)化建議復(fù)

6、習(xí)教學(xué)中凡涉及軌跡問題，均需先回顧梳理各種方法，結(jié)合問題背景比較、優(yōu)化方法；強(qiáng)調(diào)要在大問題（圓錐曲線的定義與幾何圖形中的位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系）下研究幾何性質(zhì)；加強(qiáng)邏輯嚴(yán)密的課堂推演與條理清晰試題剖析（三）缺乏對幾何條件代數(shù)化（坐標(biāo)化）方法策略的深入研究解析幾何就是用代數(shù)的方法研究幾何問題那么，對題目所給的幾何條件如何代數(shù)化（坐標(biāo)化）很值得研究，我們追求的是既要準(zhǔn)確轉(zhuǎn)化，又要簡便、減少運算量的轉(zhuǎn)化【例3】（唐山2017）已知為坐標(biāo)原點，是雙曲線的左焦點，分別為的左、右頂點，為上一點，且軸，過點的直線與線段交于點，與軸交于點，直線與軸交于點，若，則的離心率為（ ）A B C D解答： 從試題中的關(guān)鍵

7、條件出發(fā)，因為三點均在y軸上，從坐標(biāo)關(guān)系角度加以理解，從而引入關(guān)聯(lián)參數(shù)實現(xiàn)幾何條件代數(shù)化：設(shè)點，則直線，直線，聯(lián)立即可得：，答案：A評析：本題顯然是從2016年全國卷理11演變過來的題中的幾何條件（，）的轉(zhuǎn)化與使用是關(guān)鍵無從下手、找不到該幾何條件與探究目標(biāo)的聯(lián)系或結(jié)合點是主要原因究其原因是未能認(rèn)真分析幾何圖形，思考幾何關(guān)系的形成過程（相關(guān)點、由何而來，如何求得）以及從動態(tài)的角度理解幾何條件（），未能從求離心率的角度認(rèn)識問題中各個幾何量間的聯(lián)系本題是動態(tài)的、需要一個參變量，可以設(shè)，也可以設(shè)大凡兩直線上的交點或者動點問題，代數(shù)上多結(jié)合幾何條件或設(shè)點或列方程，進(jìn)而用方程思想求解問題，而求離心率，多是

8、從幾何圖形中抽象相關(guān)性質(zhì)并轉(zhuǎn)化為有關(guān)的等量關(guān)系或是方程（組）建議必須依題構(gòu)圖，結(jié)合曲線的性質(zhì)從題意與圖形中抽象出關(guān)鍵的幾何特征，并以簡潔的代數(shù)形式加以呈現(xiàn)，從而轉(zhuǎn)化為待求目標(biāo)關(guān)系式進(jìn)行變形演算【原題】（2016年全國卷理11）已知O為坐標(biāo)原點，F(xiàn)是橢圓C：的左焦點，A，B分別為C的左，右頂點P為C上一點，且軸過點A的直線l與線段交于點M，與y軸交于點E若直線BM經(jīng)過OE的中點，則C的離心率為AB C D解答：如圖可得，在中：，（1）在中：，（2），化簡得（四）缺乏對算法、算理、算式的分析，簡化運算的意識待加強(qiáng)有效運算、簡便運算是求解解析幾何問題必須重視的環(huán)節(jié)，包括如何設(shè)元、如何設(shè)方程、如何整體

9、代換、如何化簡等【例4】（2017全國卷理10）已知F為拋物線C：的焦點，過F作兩條互相垂直的直線，直線與C交于A、B兩點，直線與C交于D、E兩點，則|AB|+|DE|的最小值為A16B14C12D10解一：設(shè)直線的方程：，（這樣設(shè)方程減少一次的平方運算）并聯(lián)立拋物線方程得： ，（弦過拋物線的焦點，選用公式減少運算）因為，通過焦點且互相垂直，則同理得，（互相垂直，將換成即可，不必重復(fù)運算）解二：熟記二級結(jié)論，簡化運算（過拋物線的焦點弦長公式）解答：設(shè)直線的傾斜角為，則，所以評析：解題時將所求量|AB|+|DE|孤立的理解兩條含參的動弦長之和，感到運算量大，沒信心求解，只是瞎猜結(jié)果究其原因在于沒

10、能先從計算求解方法上用聯(lián)系的觀點認(rèn)識兩條含參的動弦長的區(qū)別與聯(lián)系（方法公式相同，斜率互為負(fù)導(dǎo)數(shù)），從而不懂得用等價代換的思想簡化運算建議不能只是談思路方法，應(yīng)通過課堂師生共同演算的體驗，增加實踐經(jīng)驗，進(jìn)行算法算理的指導(dǎo)在涉及求有關(guān)過一點的兩條斜率不同的直線的交點坐標(biāo)或弦長問題時，往往只需計算其中的一類交點坐標(biāo)或弦長，另一類只需等價代換結(jié)果中的參數(shù)即可【例5】（2015全國卷理20）已知橢圓，直線不過原點且不平行于坐標(biāo)軸，與有兩個交點，線段的中點為（）證明：直線的斜率與的斜率的乘積為定值；（略）（）若過點，延長線段與交于點，四邊形能否為平行四邊形？若能，求此時的斜率，若不能，說明理由解答：（）如

11、圖，設(shè)直線斜率存在且小于0，設(shè)直線：，中點，聯(lián)立方程組，得，則點或者若點，因為，所以（看出把消去，減少一個參數(shù)）又由（1）得，則有，（看出方程兩邊可以同除以后再兩邊平方，降低方程的次數(shù)），；當(dāng)點時，綜上評析：此題是含參的橢圓中某性質(zhì)轉(zhuǎn)化得到的一般性結(jié)論，由于參數(shù)多，計算量相對較大，必須結(jié)合圓錐曲線的定義并合理利用幾何特征設(shè)參，分析算式結(jié)構(gòu)合理消參、降次，才能準(zhǔn)確求得最終答案獲取直線的斜率的等量關(guān)系需通過平行四邊形成立的幾何條件獲得，如一組平行且對邊相等（兩條弦長及所對應(yīng)的斜率相等）；對角線互相平分（兩中點橫坐標(biāo)相等）；無論采用哪一種方法都要設(shè)直線與橢圓聯(lián)立的方程，選擇后者稍顯簡潔如果根據(jù)()得

12、到兩直線的斜率積可設(shè)得兩對角線的斜率分別為，也可以通過解兩個二次方程組得到中點橫坐標(biāo)的有關(guān)的關(guān)系式，但是式子復(fù)雜、運算繁瑣較難化簡聯(lián)想題中的關(guān)聯(lián)參數(shù)，容易得到的斜率為定值是一般性的結(jié)論，在運算求解過程中的某個環(huán)節(jié)，參數(shù)能被消去；若采取先求得中點的坐標(biāo)，再由四點共線轉(zhuǎn)化為斜率相等，避免再次聯(lián)立求弦中點坐標(biāo)的繁雜運算（五）缺乏參數(shù)的選擇與解題過程中的優(yōu)化意識我們往往需要設(shè)元引參，但選擇什么作為參數(shù)對問題的解決影響較大，【例6】（2017廈門高二理11）拋物線與橢圓 有相同焦點，兩條曲線在第一象限內(nèi)的交點為若直線的斜率為2，則橢圓的離心率為A B C D解答：因為直線的斜率為2，設(shè)點，代入拋物線中，

13、求得點，依此作圖，發(fā)現(xiàn)是，在橢圓中通徑一半，消元得到有關(guān)離心率的方程，評析：求得點并發(fā)現(xiàn)是是關(guān)鍵。如果僅從代數(shù)角度認(rèn)識問題，直接聯(lián)立直線、橢圓、拋物線方程去求點的坐標(biāo)，發(fā)現(xiàn)計算量非常龐大耗時耗力，難以消參未充分理解題意、未能發(fā)現(xiàn)“兩曲線有相同焦點與直線的斜率為2”共同“作用”反應(yīng)在幾何圖形中的現(xiàn)象-需從“兩曲線有相同焦點與直線的斜率為2”這條件去分析思考圖形的特性，發(fā)現(xiàn)是，這是一般性的結(jié)論，我們要理解我們也可以寫出直線的方程，聯(lián)立直線與拋物線求得，注意到點A的特性也可以發(fā)現(xiàn)是再回歸橢圓定義與性質(zhì)分析三角形中邊角關(guān)系，獲取參數(shù)的等量關(guān)系式，從而求得結(jié)論二、解決問題的思考與對策：（一）立足概念，返

14、璞歸真-適度挖掘圖形的特征，善于運用圓錐曲線的定義數(shù)形結(jié)合思想為指導(dǎo)，把定量的計算與定性的分析（圖形的幾何性質(zhì)）有機(jī)結(jié)合，可簡化計算量上圓錐曲線的定義是根本，利用定義解題是高考的一個重要命題點圓錐曲線的定義反映了它們的圖形特點，是畫圖的依據(jù)和基礎(chǔ)，也是問題研究的基礎(chǔ)，正確利用定義可以使問題的解決更加靈活已知圓錐曲線上的點以及焦點，應(yīng)考慮使用圓錐曲線的定義【例7】（2015重慶理21）如圖所示，橢圓的左、右焦點分別為，過的直線交橢圓于，兩點，且（1）若，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程（2）若，求橢圓的離心率分析：問題歸結(jié)-利用橢圓的定義求其方程和離心率；策略突破-利用橢圓的定義，構(gòu)建三角形，轉(zhuǎn)化為求的值或齊次

15、方程，從而求方程和離心率解答：（1）由橢圓的定義，故設(shè)橢圓的半焦距為，由已知，因此，即，從而故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（2）如圖所示，連接，由橢圓的定義，從而由，有又由，知，因此，得從而由，知，因此反思?xì)w納：1定義是事物本質(zhì)屬性的概括和反映，圓錐曲線許多性質(zhì)都是由定義派生出來的對某些圓錐曲線問題，采用“回歸定義”的策略，把定量的計算和定性的分析有機(jī)地結(jié)合起來，則往往能獲得題目所固有的本質(zhì)屬性，達(dá)到準(zhǔn)確判斷、合理運算、靈活解題的目的2求圓錐曲線方程常用的方法有定義法、待定系數(shù)法、軌跡方程法用待定系數(shù)法求圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程時，要“先定型，后計算”所謂“定型”，是指確定類型，也就是確定橢圓、雙曲線的焦點

16、所在的坐標(biāo)軸是x軸還是y軸，拋物線的焦點是在x軸的正半軸、負(fù)半軸，還是y軸的正半軸、負(fù)半軸，從而設(shè)出相應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)方程的形式；“計算”就是指利用待定系數(shù)法求出方程中的a2、b2、p的值，最后代入寫出橢圓、雙曲線、拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程3求解離心率的時候，應(yīng)該尋求三角形中的邊角之間的關(guān)系，從而建立a、c的齊次方程（求值）或者齊次不等式（求范圍）（二）利用圖形，巧妙轉(zhuǎn)化-實現(xiàn)幾何條件代數(shù)化解析幾何就是用代數(shù)方法來研究幾何問題，即：幾何問題代數(shù)問題代數(shù)結(jié)論幾何結(jié)論所以，它的兩大任務(wù)是：（1）把幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，（2）研究代數(shù)問題，得出代數(shù)結(jié)論怎樣將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題？（1）要主動去理解幾何對象的本質(zhì)

17、特征；（2）善于將幾何條件、幾何性質(zhì)用代數(shù)的形式表達(dá)出來；（3）恰當(dāng)選擇代數(shù)化的形式，這點是關(guān)鍵：一要研究具體的幾何對象具有什么樣的幾何特征（如果幾何特征不清楚，就不可能準(zhǔn)確將其代數(shù)化），這就要在審題上下功夫；二是選擇最簡潔的代數(shù)形式（方便后續(xù)的代數(shù)研究），這需要大局觀；（4）注意等價轉(zhuǎn)化例如：平行四邊形（矩形，菱形，正方形）平行四邊形幾何性質(zhì)代數(shù)表現(xiàn)對邊平行斜率相等，或向量平行對邊相等長度相等，橫（縱）坐標(biāo)差相等對角線互相平分中點重合例如：直角三角形直角三角形幾何性質(zhì)代數(shù)表現(xiàn)（1）兩邊垂直斜率乘積為-1，或向量數(shù)量積為0（2）勾股定理兩點的距離公式（3）斜邊中線性質(zhì)（中線等于斜邊一半）兩點的

18、距離公式例如：等腰三角形（等邊三角形）等腰三角形幾何性質(zhì)代數(shù)表現(xiàn)（1）兩邊相等兩點的距離公式（2）兩角相等底邊水平或豎直時，兩腰斜率之和為0（3）三線合一（垂直且平分）垂直：斜率或向量；平分：中點坐標(biāo)公式例如：角的特征角幾何性質(zhì)代數(shù)表現(xiàn)（1）銳角，直角，鈍角角的余弦（向量數(shù)量積）的符號（2）倍角，半角，平分角角平分線性質(zhì)，等腰，距離相等（3）等角（角的大?。┤呛瘮?shù)線段比或斜率例如：圓圓幾何性質(zhì)代數(shù)表現(xiàn)（1）點在圓上點與直徑端點向量數(shù)量積為零（2）點在圓外點與直徑端點向量數(shù)量積為正數(shù)（3）點在圓內(nèi)點與直徑端點向量數(shù)量積為負(fù)數(shù)【例8】（2016年省質(zhì)檢理9）若橢圓上存在三點，使得這三點與橢圓中心

19、恰好是一個正方形的四個頂點，則該橢圓的離心率為（A） （B） （C） （D）分析：問題歸結(jié)-利用橢圓的圖像，求解離心率；策略突破-本題的關(guān)鍵詞“若存在”，因此，如果能找到這個特殊的位置，就可以直接解題根據(jù)橢圓以及正方形的對稱特性，易知正方形有一個端點在橢圓的長軸端點上引申思考這種情況是唯一的嗎？換個說法，若本題是解答題，應(yīng)如何作答？巧用幾何條件的轉(zhuǎn)換：正方形對角線互相垂直平分，對角線相等反思?xì)w納：1本題的學(xué)習(xí)要明確兩點：若正方形的三個頂點在橢圓上且不是橢圓的端點（即正方形的頂點沒有關(guān)于軸或軸對稱），那么橢圓上就有8個點到原點的距離相等（即以原點為圓心的圓與橢圓有8個交點），這是不可能2橢圓上與

20、坐標(biāo)軸不平行的弦的垂直平分線一定不過橢圓的中心 （三）巧用平幾，事半功倍-關(guān)注平面幾何知識方法與性質(zhì)在問題轉(zhuǎn)化中的應(yīng)用，關(guān)注幾何圖形（特別是三角形）相關(guān)方法在運算中的應(yīng)用解析幾何的研究對象就是幾何圖形及其性質(zhì)，所以在處理解析幾何問題時，除了運用代數(shù)方程外，充分挖掘幾何條件，結(jié)合平面幾何知識，這往往能減少計算量數(shù)學(xué)試題中很多圖形性質(zhì)就和“平幾”知識相關(guān)聯(lián)，要抓住關(guān)鍵，適時引用，問題就會迎刃而解提高學(xué)生等價轉(zhuǎn)化的能力實現(xiàn)復(fù)雜問題簡單化，陌生問題熟悉化例如：沒有圖形，不妨畫個圖形，以便直觀思考；“設(shè)列驗”是求軌跡的通法；消元轉(zhuǎn)化為一元二次函數(shù)（方程），判別式，韋達(dá)定理，中點，弦長公式等要把握好；多感

21、悟“設(shè)列解”，“設(shè)”：設(shè)什么？坐標(biāo)、方程、角、斜率、截距?“列”：列的前提是找關(guān)系，“解”：解就是轉(zhuǎn)化、化簡、變形，向目標(biāo)靠攏；緊扣題意，聯(lián)系圖形，數(shù)形結(jié)合；一旦與自己熟悉的問題接軌立即入位【例9】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓C：，點A是軸上的一個動點，AP，AQ分別切圓C于P，Q兩點，則線段PQ長的取值范圍為 分析：問題歸結(jié)-定直線上的動點與圓上一點距離問題；策略突破-解直角三角形，化歸為圓心到直線的距離求解過程分析：1明確目標(biāo)所在三角形及與圓的相關(guān)幾何特性：根據(jù)圓的垂徑定理，在等腰與中，2結(jié)合解三角形，問題溯源，選定較為直觀的幾何變量，構(gòu)建的目標(biāo)函數(shù)解析式：，3回歸題意確定變量的范圍，

22、計算求解：又，所以，因此線段長的取值范圍為反思?xì)w納：直線與圓的三種位置關(guān)系：相切，相交，相離解決直線與圓的問題時，一方面，要運用解析幾何的一般方法，即代數(shù)化方法，把它轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題；另一方面，由于直線與圓和平面幾何聯(lián)系非常緊密，因此，準(zhǔn)確地作出圖形，挖掘幾何圖形中所隱含的條件，利用幾何知識使問題較為簡捷地得到解決【例10】如圖所示，過點（1，0）的直線與拋物線交于A、B兩點，射線OA和OB分別和圓交于D、E兩點，若，則的最小值等于A B C D 分析：問題歸結(jié)-求面積之比，需要把表示成某個變量（斜率）的函數(shù)，從而把問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值；策略突破-通過圖像，發(fā)現(xiàn)直線AB過定點（1，0），可得（

23、這是關(guān)鍵），從而得到，最后轉(zhuǎn)化為，求得最值解答：設(shè)、，由得，即又， ，即設(shè)、，直線OA：，直線OB：，則由得，同理由得，同理，反思?xì)w納：1解析幾何研究的對象是幾何圖形，善用巧用幾何圖形的特征，把幾何特征轉(zhuǎn)化為代數(shù)表示，從而縮短思維鏈條，簡化運算過程；2在幾何圖形中，利用解三角形和三角形相似等知識，轉(zhuǎn)化為邊角之間的關(guān)系解決解析幾何問題其中，解三角形的畫圖寫圖，體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的思想；利用角或邊的關(guān)系消角（邊），體現(xiàn)了消元的思想；用正弦、余弦定理列方程組求三角函數(shù)值，體現(xiàn)了方程思想（四）設(shè)而不求，參數(shù)歸一-立足目標(biāo)意識，尋求點的坐標(biāo)之間的關(guān)系，剖析變量內(nèi)在的幾何意義，通過整體代換的思想，簡化運算過程，

24、實現(xiàn)設(shè)而不求，簡潔明了、準(zhǔn)確解題運算繁雜是解析幾何最突出的特點首先，解題中要指導(dǎo)學(xué)生克服只重視思路、輕視動手運算的缺點運算能力差是學(xué)生普遍存在的問題，不僅在解析幾何問題中要加強(qiáng)訓(xùn)練，在其它板塊中也要加強(qiáng)訓(xùn)練，只有把提高學(xué)生的運算能力貫徹于教學(xué)的過程之中，才能受到較好的效果其次，要培養(yǎng)學(xué)生運算的求簡意識，尤其是“設(shè)而不求”，充分發(fā)揮圓錐曲線的定義和利用平面幾何知識化難為易、化繁為簡的作用譬如圓錐曲線中的定點、定值問題，解決的基本思想從變量中尋求不變，即先用變量表示所求的量或點的坐標(biāo)，再通過推理計算，導(dǎo)出這些量或點的坐標(biāo)和變量無關(guān)其基本策略：定點和定值問題就是在運動變化中尋找不變量的問題，基本思想

25、是使用參數(shù)表示要解決的問題，證明要解決的問題與參數(shù)無關(guān)在這類試題中選擇消元的方向是非常關(guān)鍵的另外，對于某些定點問題的證明，可以先通過特殊情形探求定點坐標(biāo)，然后對一般情況進(jìn)行證明，這種方法在填空題中更為實用【例11】過拋物線的焦點的直線交拋物線于、兩點，分別過、兩點作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為，兩點，以線段為直徑的圓過點，則圓的方程為（ ）A B C D分析一：問題歸結(jié)-確定圓的方程的基本要素：過焦點的直線AB的方程及與拋物線的交點坐標(biāo)；策略突破-圓的兩個關(guān)鍵量的代數(shù)形式：圓心和半徑，確定參變量，引入關(guān)聯(lián)變量斜率的倒數(shù)t，可設(shè)直線AB：；轉(zhuǎn)化為參數(shù)t的等量關(guān)系式；求解過程分析：聯(lián)立方程組，消元；由韋

26、達(dá)定理得，則，直徑；求半徑，由得方程，則回歸圓：圓心，半徑的平方，答案選B分析二：問題歸結(jié)-確定圓的方程的最基本要素：過焦點的直線AB的方程及與拋物線的交點坐標(biāo)；策略突破-圓的兩個關(guān)鍵量的幾何性質(zhì)：作弦的中垂線，求其與直徑所在直線的交點回歸確定圓心，作圖如下，求解過程分析：1立足拋物線的概念認(rèn)識：直角梯形中，有兩個等腰與，結(jié)合平行性質(zhì)與三角形內(nèi)角和定理可得；2立足圓的概念整體認(rèn)識所得：點與點均在圓上；3回顧確定圓心的位置基本方法：作弦的中垂線，求其與直徑所在直線的交點；4計算求解：設(shè)，的中點為，則，所以，所以圓心的坐標(biāo)為；半徑為，故選B反思?xì)w納：1 兩種二次曲線的交匯需分清“主次”，充分利用相

27、關(guān)概念與性質(zhì)分步朝探究目標(biāo)化歸；2兩支圓錐曲線交匯是全國卷高考常見的考查方式，本題涉及圓錐曲線的概念、圓的切線問題，解決這類問題主要以方程思想和數(shù)形結(jié)合的方法來處理，還應(yīng)注意恰當(dāng)運用平面幾何知識對其進(jìn)行求解【例12】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓，過坐標(biāo)原點的直線交橢圓于P、A兩點，其中點P在第一象限，過P作軸的垂線，垂足為C，連接AC，并延長交橢圓于點B，設(shè)直線PA的斜率為求證：對任意0，都有PAPB分析一：問題歸結(jié)-討論與橢圓有關(guān)的多條直線的位置關(guān)系；策略突破-通過設(shè)線PA，聯(lián)立直線與橢圓方程，得到點P，A，C的坐標(biāo)，從而得到直線AB的方程，再得到PB的斜率，從而證明，證明到PAPB解

28、答：將直線PA的方程代入，解得，記，則，于是，故直線AB的斜率為，其方程為，代入橢圓方程得，解得或，因此，于是直線PB的斜率，因此，所以PAPB分析二：問題歸結(jié)-討論與橢圓有關(guān)的多條直線的位置關(guān)系；策略突破-目標(biāo)是證明PAPB，即只需證明解答：設(shè)，則，且，兩式相減得，即，即，故，所以，所以PAPB反思?xì)w納：1方法一，利用直線與橢圓聯(lián)立，求點坐標(biāo)，再轉(zhuǎn)化求直線點斜率，最后利用斜率乘積等于-1證明垂直，這是常規(guī)方法，思維比較自然，但計算量大；方法二，利用點A、C在橢圓上，所以滿足橢圓方程，利用點差法，先求出，再利用，得到結(jié)論，方法很巧妙；2設(shè)出點的坐標(biāo)，但目的不是求出坐標(biāo)，而是通過它作為媒介尋求變

29、量間的關(guān)系，確立解題目標(biāo)，簡化運算和快速準(zhǔn)確解決問題，這就是設(shè)而不求3對于橢圓，有如下結(jié)論：若是橢圓上關(guān)于原點對稱兩點，P為橢圓上動點（不同于），則=，特殊地，若是橢圓長軸的頂點，更有此結(jié)論，該結(jié)論還可推廣到橢圓弦中點，以及雙曲線也有類似結(jié)論（五）函數(shù)思想，方程互化-整體意識下利用方程思想處理求值，利用函數(shù)思想求范圍和最值【例13】（2015天津理19）已知橢圓的左焦點為，離心率為，點在橢圓上且位于第一象限，直線被圓截得的線段的長為，（1）求直線的斜率；（2）求橢圓的方程；（3）設(shè)動點在橢圓上，若直線的斜率大于，求直線（為原點）的斜率的取值范圍分析：問題歸結(jié)-通過幾何圖形，求直線的斜率，橢圓的

30、離心率以及直線的斜率范圍；策略突破-(1)由橢圓知識先求出的關(guān)系，設(shè)直線的方程為，求出圓心到直線的距離，由勾股定理可求斜率的值；(2)由(1)設(shè)橢圓方程為，直線與橢圓方程聯(lián)立，求出點的坐標(biāo)，由可求出，從而可求橢圓方程；(3)設(shè)出直線：，與橢圓方程聯(lián)立，求得，求出的范圍，即可求直線的斜率的取值范圍解答：(1)由已知有，又由，可得，設(shè)直線的斜率為，則直線的方程為，由已知有，解得(2)由(1)得橢圓方程為，直線的方程為，兩個方程聯(lián)立，消去，整理得，解得或，因為點在第一像限，可得的坐標(biāo)為，由，解得，所以橢圓方程為(3)設(shè)點的坐標(biāo)為，直線的斜率為，得，即，與橢圓方程聯(lián)立，消去，整理得，又由已知，得，解得

31、或，設(shè)直線的斜率為，得，即，與橢圓方程聯(lián)立，整理可得當(dāng)時，有，因此，于是，得；當(dāng)時，有，因此，于是，得綜上所述，直線的斜率的取值范圍是【例14】（2015四川理20）如圖所示，橢圓：的離心率是，過點的動直線與橢圓相交于兩點，當(dāng)直線平行于軸時，直線被橢圓截得的線段長為（1）求橢圓的方程；（2）在平面直角坐標(biāo)系中，是否存在與點不同的定點，使得恒成立？若存在，求出點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由分析：問題歸結(jié)-通過幾何圖形，求直線的斜率，橢圓的離心率以及直線的斜率范圍；策略突破-（1）根據(jù)橢圓的對稱性，當(dāng)直線與軸平行時，將這個點的坐標(biāo)代入橢圓的方程，得再根據(jù)離心率得，又，三者聯(lián)立，解方程組即可得，進(jìn)而

32、得橢圓的方程為；（2）先特殊化直線（平行和垂直），求出特殊況下的點坐標(biāo)為接下來聯(lián)立直線與橢圓的方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系證明：對任意的直線，均有設(shè)，由圖可看出，為了證明，只需證明，為此作點關(guān)于軸對稱的點，這樣將問題轉(zhuǎn)化為證三點共線解答：（1）由已知點在橢圓上所以，解得，所以橢圓方程為（2）當(dāng)直線與軸平行時，設(shè)直線與橢圓相交于兩點如果存在定點滿足條件，則，即所以點在軸上，可設(shè)點的坐標(biāo)為當(dāng)直線與軸垂直時，設(shè)直線與橢圓相交于兩點則，由，有，解得或所以，若存在不同于點的定點滿足條件，則點的坐標(biāo)只可能為下面證明：對任意的直線，均有當(dāng)直線的斜率不存在時，由上可知，結(jié)論成立當(dāng)直線的斜率存在時，可設(shè)直線的方程為

33、，的坐標(biāo)分別為，聯(lián)立，得所以， ，因此易知，點關(guān)于軸對稱的點的坐標(biāo)為又，所以，即三點共線所以故存在與點不同的定點，使得恒成立反思?xì)w納：1求軌跡方程要注意利用圓錐曲線的定義解題涉及多個動點時，可用動點代入法或參數(shù)法求解，分清主動點和從動點與圓錐曲線有關(guān)的軌跡求解，也要注意取值范圍和“雜點”的去除2對于最值、定值問題的處理，常采用幾何法：利用圖形性質(zhì)來解決；代數(shù)法：建立目標(biāo)函數(shù)，再求函數(shù)的最值，確定某幾何量的值域或取值范圍，一般需要建立起方程或不等式，或利用圓錐曲線的有界性來求解三、典型問題剖析：圓的問題主要是定義和性質(zhì)；圓錐曲線（橢圓、拋物線、雙曲線）主要是曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、曲線性質(zhì)（焦點、

34、離心率、準(zhǔn)線、漸近線）；綜合性問題主要是位置關(guān)系、范圍、面積、定點、定值等。下面舉幾個例子說明（一）離心率問題：【例15】（2017全國卷理15）已知雙曲線C：（a0，b0）的右頂點為A，以A為圓心，b為半徑作圓A，圓A與雙曲線C的一條漸近線交于M、N兩點若MAN=60，則C的離心率為_解析：如圖所示，MAN為等腰三角形，因為，所以，所以，又因為，所以，解得所以評析：本題主要考查以離心率為背景的雙曲線的概念與性質(zhì)解題的關(guān)鍵是：合理構(gòu)建符合題意的圖像，挖掘幾何性質(zhì)，從中轉(zhuǎn)化抽象出參數(shù)的等量關(guān)系式；注意用好雙曲線中與參數(shù)有關(guān)的幾個不變量：（1）雙曲線的焦點到漸近線的距離是；（2）雙曲線的頂點到漸近

35、線的距離是（3）本題從特殊值角度令關(guān)聯(lián)基本量，則可大幅度減小計算量（二）面積最值：【例16】（2016全國卷理20）已知橢圓E:的焦點在軸上，是的左頂點，斜率為的直線交于，兩點，點在上，（1）當(dāng)，時，求的面積；（2）當(dāng)時，求的取值范圍解析：（1）解法一：當(dāng)時，由于，根據(jù)對稱性可知，所以 ，得，所以又，所以，所以解法二：設(shè)點，且交軸于點 因為，且，所以， 由，得又，所以，解之得或所以 ，所以（2）設(shè)直線，則，所以； 同理因為，所以，所以評析：解決圓錐曲線中最值、范圍問題的基本思想是建立目標(biāo)函數(shù)和建立不等關(guān)系，根據(jù)目標(biāo)函數(shù)和不等式求最值、范圍，因此這類問題的難點，就是如何建立目標(biāo)函數(shù)和不等關(guān)系建立

36、目標(biāo)函數(shù)或不等關(guān)系的關(guān)鍵是選用一個合適變量，其原則是這個變量能夠表達(dá)要解決的問題，這個變量可以是直線的斜率、直線的截距、點的坐標(biāo)等，要根據(jù)問題的實際情況靈活處理（三）定點問題：【例17】（2017福建省質(zhì)檢）已知點，直線，直線垂直于點，線段的垂直平分線交于點（1）求點的軌跡的方程；（2）已知點，過且與軸不垂直的直線交于兩點，直線分別交于點，求證：以為直徑的圓必過定點【解析】（1）依題意得，即到直線的距離與到點的距離相等，所以點的軌跡是以為焦點， 為準(zhǔn)線的拋物線設(shè)拋物線方程為，則，即點的軌跡的方程是 （2）由題意可設(shè)直線，代入，得，設(shè)，則；又，設(shè)直線的斜率分別為，則，設(shè)，令，得，同理，得，從而；

37、又以為直徑的圓的方程為： ，即，即，令，解得或，從而以為直徑的圓恒過定點和評析: 該類問題多以直線與圓錐曲線為背景，常與函數(shù)與方程、向量等知識交匯，形成了過定點、定值等問題的證明難度較大定點、定值問題是在變化中所表現(xiàn)出來的不變的量，那么就可以用變化的量表示問題的直線方程、數(shù)量積、比例關(guān)系等，這些直線方程、數(shù)量積、比例關(guān)系不受變化的量所影響的一個點、一個值，就是要求的定點、定值化解這類問題難點的關(guān)鍵就是引進(jìn)變的參數(shù)表示直線方程、數(shù)量積、比例關(guān)系等，根據(jù)等式的恒成立、數(shù)式變換等尋找不受參數(shù)影響的量（四）定值問題：【例18】如圖，點，分別為橢圓的左右頂點，為橢圓上非頂點的三點，直線的斜率分別為，且，

38、（）求橢圓的方程；（）判斷的面積是否為定值？若為定值，求出該定值；若不為定值，請說明理由解析:（），橢圓（）設(shè)直線的方程為，的面積為定值1評析：圓錐曲線中的定值問題的常見類型及解題策略(1)求代數(shù)式為定值依題意設(shè)條件，得出與代數(shù)式參數(shù)有關(guān)的等式，代入代數(shù)式、化簡即可得出定值；(2)求點到直線的距離為定值利用點到直線的距離公式得出距離的解析式，再利用題設(shè)條件化簡、變形求得；(3)求某線段長度為定值利用長度公式求得解析式，再依據(jù)條件對解析式進(jìn)行化簡、變形即可求得結(jié)語：近幾年解析幾何的試題在難度、計算的復(fù)雜程度等方面都有所下降，但突出對解析幾何基本思想和基本方法的考查，重點要掌握解析幾何的一些基本方

39、法來解決問題，解析幾何中解題的基本方法有解析法、待定系數(shù)法、變換法、參數(shù)法等方法在復(fù)習(xí)時應(yīng)做到牢固掌握圓錐曲線定義；重視基礎(chǔ)知識，基本題型的訓(xùn)練；注意課本典型例題、習(xí)題的延伸，教材中的例題、習(xí)題雖然大多比較容易，但其解法往往具有示范性，可延伸性，適當(dāng)?shù)鼐帞M題組進(jìn)行復(fù)習(xí)訓(xùn)練，有利于系統(tǒng)地掌握知識，融會貫通；注意轉(zhuǎn)化條件，優(yōu)化解題方法解析幾何中有一些基本問題，如兩直線垂直的證明、求弦的中點、弦長的計算等等，對這些問題的處理方法要熟知但有不少題目，所給的條件無法直接使用，或者使用起來比較困難，此時，可考慮對條件進(jìn)行適當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)化，使解題過程納入到學(xué)生所熟悉的軌道強(qiáng)化數(shù)學(xué)思想方法的訓(xùn)練和運用，譬如：函數(shù)與

40、方程思想，解析幾何的研究對象和方法決定了它與函數(shù)、方程的“不解之緣”，很多解析幾何問題實際上就是建立方程后研究方程的解或建立函數(shù)后研究函數(shù)的性質(zhì)又如：分類討論思想 ，解析幾何中，有些公式，性質(zhì)是有適用條件的，解題時必須注意分類討論、區(qū)別處理例如直線方程的點斜式、斜截式中斜率必須存在，截距式只適用在兩軸上的截距存在且不為零的情況，兩點式不適用于與坐標(biāo)軸垂直的直線再如：數(shù)形結(jié)合思想 ，解析幾何的本質(zhì)就是將“數(shù)”與“形”有機(jī)地聯(lián)系起來，曲線的幾何特征必然在方程、函數(shù)或不等式中有所反映，而函數(shù)、方程或不等式的數(shù)字特征也一定體現(xiàn)出曲線的特性總之解析幾何題綜合性強(qiáng)，對思維能力和運算能力要求較高，所以在高三

41、復(fù)習(xí)中，既要注重基礎(chǔ)，又要有所創(chuàng)新提高；既要有通析通法，又要注意技巧鍛煉；做到靈活多變，培養(yǎng)學(xué)生養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，自覺地運用數(shù)學(xué)思想方法進(jìn)行分析、推理、運算，指導(dǎo)同學(xué)的復(fù)習(xí)，提高效率四、過關(guān)練習(xí)：1若坐標(biāo)原點在圓的內(nèi)部，則實數(shù)m的取值范圍是( )A B C D2已知雙曲線（）的漸近線方程為， 則雙曲線的離心率為( )A B C D 3已知雙曲線的兩條漸近線與拋物線的準(zhǔn)線分別交于 兩點， 為坐標(biāo)原點若雙曲線的離心率為2，的面積為，則（ ）A 1 B C 2 D 34拋物線的準(zhǔn)線與雙曲線的左、右支分別交于兩點， 為雙曲線的右頂點， 為坐標(biāo)原點，若，則雙曲線的離心率為（ ）A B C D5下列雙曲

42、線中，焦點在軸上且漸近線方程為的是（ ）A B C D6若在圓上，總存在相異兩點到原點的距離等于1，則實數(shù)的取值范圍是（ ）A B C D7過拋物線焦點的直線與拋物線交于、兩點，以為直徑的圓的方程為，則（ ）A B C或 D8已知雙曲線兩漸近線的夾角滿足，焦點到漸進(jìn)線的距離，則該雙曲線的焦距為（ ）A B或 C或 D或9已知拋物線：和動直線：（，是參變量，且， ）相交于，兩點，直角坐標(biāo)系原點為，記直線，的斜率分別為，若恒成立，則當(dāng)變化時直線恒經(jīng)過的定點為（ ）A B C D10若雙曲線的漸近線將圓平分，則雙曲線的離心率為（ ）A B C D11已知分別為雙曲線的右焦點和右頂點，過作軸的垂線在第

43、一象限與雙曲線交于點，的延長線與雙曲線在第一象限的漸近線交于點，若，則雙曲線的離心率為（ ）A B C D12已知拋物線的焦點為，準(zhǔn)線為，為上一點，垂直，垂足為，分別為，的中點，與軸相交于點，若，則等于（ ）A B1 C2 D413設(shè)、分別為橢圓與雙曲線的公共焦點，它們在第一象限內(nèi)交于點，若橢圓的離心率，則雙曲線的離心率的取值范圍為_14過拋物線的焦點的直線交該拋物線于、兩點，若，為坐標(biāo)原點，則_15在平面四邊形中，連接對角線，已知， ， ， ，則對角線的最大值為_16已知橢圓G：的兩個焦點分別為和，短軸的兩個端點分別為和，點P在橢圓G上，且滿足當(dāng)變化時，給出下列三個命題：點P的軌跡關(guān)于軸對稱

44、；存在使得橢圓上滿足條件的點僅有兩個；的最小值為，其中，所有正確命題的序號是_17已知橢圓的一個焦點為，其左頂點A在圓上（）求橢圓的方程；（）直線交橢圓于兩點，設(shè)點關(guān)于軸的對稱點為（點與點不重合），且直線與軸的交于點，試問的面積是否存在最大值？若存在，求出這個最大值；若不存在，請說明理由18已知橢圓E的右焦點與拋物線的焦點重合，點M在橢圓E上（）求橢圓E的方程；（）設(shè)，直線與橢圓E交于A，B兩點，若直線PA，PB均與圓相切，求的值19 已知橢圓的左、右焦點分別為、，離心率，點在橢圓上，設(shè)過點且不與坐標(biāo)軸垂直的直線交橢圓于、兩點，線段的垂直平分線與軸交于點（）求點的橫坐標(biāo)的取值范圍；（）求面積的

45、最大值20在直角坐標(biāo)系xOy上取兩個定點再取兩個動點，且（）求直線與交點M的軌跡C的方程；（）過的直線與軌跡C交于P，Q，過P作軸且與軌跡C交于另一點N，F(xiàn)為軌跡C的右焦點，若，求證：21過點作拋物線的兩條切線，切點分別為， () 證明: 為定值;() 記的外接圓的圓心為點， 點是拋物線的焦點， 對任意實數(shù)， 試判斷以為直徑的圓是否恒過點? 并說明理由22 已知：與：，以，分別為左右焦點的橢圓：經(jīng)過兩圓的交點（）求橢圓的方程；（），分別為橢圓的左右頂點，是橢圓上非頂點的三點，若，試問的面積是否為定值？若是，求出這個定值；若不是，請說明理由解析幾何過關(guān)練習(xí)參考答案1C2B3C【解析】求出雙曲線的

46、漸近線，利用三角形面積建立方程求解因為雙曲線的離心率，所以，所以雙曲線的漸近線方程為，與拋物線的準(zhǔn)線相交于，所以的面積為，解得4C【解析】 因拋物線的準(zhǔn)線是，故，則，由題設(shè)若可得，則，即，所以，應(yīng)選答案C 5D【解析】由題意雙曲線焦點在y軸上，排除A，B選項，C項，漸近線為，錯誤，故選D6C【解析】圓心 與原點之間的距離為 ，當(dāng)原點在圓外時，則 ；當(dāng)原點在圓外時，則；當(dāng)點在圓上， 顯然符合，綜上3種情況有，解得 或 ，選C7A【解析】過拋物線焦點的直線與拋物線交于兩點，以為直徑的圓的方程為，可得弦長的坐標(biāo)橫坐標(biāo)為，圓的半徑為可得弦長為，設(shè)直線與拋物線的交橫坐標(biāo)為則，可得，故選A8C【解析】雙曲線兩漸近線的夾角滿足，或，設(shè)焦點為(c，0)，漸近線方程為，則，又，解得或，則有焦距為或故選C9D【解析】由可得，則， ，所以，又即，所以代入整理可得，直線方程可化為，故選D 10B【解析】 由圓的方程可知圓心坐標(biāo)為，雙曲線