偏導(dǎo)數(shù)和全微分

1、1.偏導(dǎo)數(shù)的概念和計(jì)算,10.2 偏導(dǎo)數(shù)與全微分,工程和科學(xué)技術(shù)中，遇到的大部分是多變量的問(wèn)題，在處理時(shí)，往往需要知道在其它變量不變，只有某一個(gè)變量變化時(shí)，引起的事物的反應(yīng),對(duì)于二元函數(shù)z=f(x,y)，如果只有自變量x變化， 而自變量y固定，這時(shí)它就是x的一元函數(shù)，這是對(duì) x的導(dǎo)數(shù)，就稱為二元函數(shù)z=f(x,y)對(duì)于x的偏導(dǎo)數(shù),偏增量,全增量,其中,定義1 設(shè)函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)的某一鄰域內(nèi)有定義,當(dāng)y固定在y0而x在x0處有增量x時(shí)，相應(yīng)地函數(shù)有增量,如果極限,存在，則稱此極限為函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)處對(duì)x的偏導(dǎo)數(shù)，記作,同樣，函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x

2、0,y0)處對(duì)y的偏導(dǎo)數(shù)為,記作,如果函數(shù)z=f(x,y)在區(qū)域D內(nèi)每一點(diǎn)都有對(duì)x的偏導(dǎo)數(shù)，那么這個(gè)偏導(dǎo)數(shù)仍是x、y的函數(shù)，稱為z=f(x,y)對(duì)x的偏導(dǎo)函數(shù)，記為,通常，偏導(dǎo)函數(shù)簡(jiǎn)稱為偏導(dǎo)數(shù),同樣，函數(shù)z=f(x,y)對(duì)y的偏導(dǎo)函數(shù)也仍是x、y的函數(shù)，記為,注】 1、求z=f(x,y)對(duì)x的偏導(dǎo)函數(shù)時(shí)，將y看成常數(shù)，對(duì)x求導(dǎo)數(shù)；求z=f(x,y)對(duì)x的偏導(dǎo)函數(shù)時(shí)，將x看成常數(shù)，對(duì)y求導(dǎo)數(shù),3,2、偏導(dǎo)數(shù)的符號(hào),是一個(gè)整體，不像,可以看成dy除以dx,從偏導(dǎo)數(shù)的定義可以清楚地知道，求多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)，求多元函數(shù)對(duì)哪個(gè)變量的偏導(dǎo)數(shù)，就是將其他自變量看成常量，而將多元函數(shù)看成一元函數(shù)的求導(dǎo)即可,偏

3、導(dǎo)數(shù)的概念還可以推廣到二元以上的函數(shù)，例如三元函數(shù)u=f(x,y,z)在點(diǎn)(x,y,z)處對(duì)x的偏導(dǎo)數(shù)定義為,其中(x y z)是函數(shù)uf(x y z)的定義域的內(nèi)點(diǎn) 它們的求法也仍舊是一元函數(shù)的微分法問(wèn)題,解,證,原結(jié)論成立,解,例4 求函數(shù) 點(diǎn)O(0,0)處的 偏導(dǎo)數(shù),解：根據(jù)偏導(dǎo)數(shù)定義，有,需要注意的是：“一元函數(shù)在其可導(dǎo)點(diǎn)上一定連續(xù)”這個(gè)結(jié)論，對(duì)于多元函數(shù)是不成立的.這是因?yàn)楦髌珜?dǎo)數(shù)存在只能保證當(dāng)P(x,y)沿著平行坐標(biāo)軸的方向趨近P0 (x0,y0)時(shí),函數(shù)值f(x,y)趨近于f(x0 ,y0)，但不能保證當(dāng)P(x,y)以任意方式趨近P0(x0 ,y0)時(shí)，f(x,y)都趨近于f (

4、x0 ,y0,二、二元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義,二元函數(shù)z=f(x ,y)在點(diǎn)M0(x0 ,y0)處關(guān)于x的偏導(dǎo) 數(shù),就是空間曲線z=f(x,y0)(即平面y=y0與曲面的交線) 在點(diǎn)M0(x0 ,y0)處切線關(guān)于x軸正向夾角的正切值， 即空間曲線過(guò)空間點(diǎn)M0(x0 ,y0 ,z0)的切線M0T1對(duì)x軸 的斜率,關(guān)于y的偏導(dǎo)數(shù)，就是空間曲線z=f(x0, y) (即平面x=x0與曲面的交線)在點(diǎn)M0(x0 ,y0)處切線關(guān)于y軸正 方向夾角的正切值，即空間曲線過(guò)空間點(diǎn)M0(x0 ,y0 ,z0)的切線M0T2對(duì)y軸的斜率,x,y,z,O,在平面,上,就是平面,上的曲線,在點(diǎn),即點(diǎn),處切線的斜率,在

5、平面,上,就是平面,上的曲線,在點(diǎn),即點(diǎn),處切線的斜率,同理,二元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)存在，只是表明函數(shù)沿 x 軸和 y 軸方向是連續(xù)的，而二元函數(shù)在一點(diǎn)處連續(xù)必須是沿空間的任何方向均連續(xù)，故由偏導(dǎo)數(shù)存在不能推出函數(shù)連續(xù),三、偏導(dǎo)數(shù)存在與連續(xù)的關(guān)系,但函數(shù)在該點(diǎn)處并不連續(xù),偏導(dǎo)數(shù)存在 連續(xù),一元函數(shù)中在某點(diǎn)可導(dǎo) 連續(xù),多元函數(shù)中在某點(diǎn)偏導(dǎo)數(shù)存在 連續(xù),二元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)存在，只是表明函數(shù)沿x 軸和y 軸方向是連續(xù)的，而二元函數(shù)在一點(diǎn)處連續(xù)必須是沿空間的任何方向均連續(xù)，故由偏導(dǎo)數(shù)存在不能推出函數(shù)連續(xù),四、高階偏導(dǎo)數(shù),函數(shù)z=f(x,y)的偏導(dǎo)數(shù),還是x、y的二元函數(shù).如果這兩個(gè)函數(shù)對(duì)自變量x和y的偏導(dǎo)數(shù)也

6、存在，則稱這些偏導(dǎo)數(shù)為z=f(x,y)的二階偏導(dǎo)數(shù)，記作,其中第2、4兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)稱為混合偏導(dǎo)數(shù). 同樣我們可得三階、四階、以及n階偏導(dǎo)數(shù). 二階及二階以上的偏導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階偏導(dǎo)數(shù),注,高階偏導(dǎo)數(shù)還可使用下列記號(hào),解,問(wèn)題,混合偏導(dǎo)數(shù)都相等嗎？具備怎樣的條件才相等,答：兩個(gè)混合偏導(dǎo)數(shù)相等，這個(gè)結(jié)論并不是對(duì)任何 函數(shù)都是成立的,解,證明,解,定義 如果函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x,y)的全增量,五、全微分,可表示為,其中而A、B不依賴于 x, y.僅與x、y有關(guān),則稱函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x,y) 可微分,而A x + B y稱為函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x,y)的全微分， 記為dz，即,如果

7、函數(shù)在區(qū)域D內(nèi)各點(diǎn)處都可以微分，那么稱這函數(shù)在D內(nèi)可微分,可微的必要條件,若,在點(diǎn),處可微,則其兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù),均存在，且,證明,若函數(shù)可微，則,由,的任意性,取,則,即,同理,從而，定理獲證,稱為函數(shù)關(guān)于 x 的偏微分,稱為函數(shù)關(guān)于 y 的偏微分,函數(shù)的全微分等于各偏微分之和,在點(diǎn)(0,0)處有,則,證明,依偏導(dǎo)數(shù)的連續(xù)性,同理,多元函數(shù)連續(xù)、可導(dǎo)、可微的關(guān)系,習(xí)慣上，記全微分為,全微分的定義可推廣到三元及三元以上函數(shù),通常我們把二元函數(shù)的全微分等于它的兩個(gè)偏微分之和這件事稱為二元函數(shù)的微分符合疊加原理,疊加原理也適用于二元以上函數(shù)的情況,注】（1）討論函數(shù),若,可微分的方法,則z=f(x,y)在P(x,y)