高中競賽-電像法+靜電場練習題

1、第一章靜電場,鏡象法 Image Method and Electric Axis Method,小結(jié)：求空間電場分布的方法 場源積分法 積分困難，對大多數(shù)問題不能得出解析解。 應(yīng)用高斯定理求解 只能應(yīng)用于電荷成對稱分布的問題。 間接求解法 先求解空間電位分布，再求解空間電場。 在實際工程應(yīng)用中，間接求解法應(yīng)用最為廣泛，適用于邊值問題的求解,用解析方法直接求解電位微分方程的定解問題常常不是一件容易的事。 基于靜電場的唯一性定理，形成間接的求解方法，能把復(fù)雜問題等效為簡單問題來求解，能使某些復(fù)雜問題得到很好地解決。唯一性定理的典型應(yīng)用之一鏡像法和電軸法 鏡像法和電軸法的實質(zhì)是把實際上分片均勻媒質(zhì)

2、看成均勻，并在所研究的場域外的適當?shù)攸c用虛設(shè)的較簡單的電荷分布代替實際邊界上復(fù)雜的電荷分布。只有虛設(shè)的電荷分布與邊界內(nèi)的實際電荷一起產(chǎn)生的電場能滿足給定的邊界條件,鏡像法,幾個實例,q,q,非均勻感應(yīng)電荷,等效電荷,非均勻感應(yīng)電荷產(chǎn)生的電位很難求解，可以用等效電荷的電位替代,求解位于接地導(dǎo)體板附近的點電荷產(chǎn)生的電位,接地導(dǎo)體球附近有一個點電荷，如圖,q,非均勻感應(yīng)電荷,q,等效電荷,非均勻感應(yīng)電荷產(chǎn)生的電位很難求解，可以用等效電荷的電位替代,邊值問題,導(dǎo)板及無窮遠處,除 q 所在點外的區(qū)域,S 為包圍q 的閉合面,1.平面導(dǎo)體的鏡像,鏡像法最簡單的例子：接地無限大導(dǎo)體平面上方一個點電荷，根據(jù)唯

3、一性定理，導(dǎo)體平面上半空間的電為分布應(yīng)滿足,q,q,等效電荷,鏡像法: 用虛設(shè)的電荷分布等效替代媒質(zhì)分界面上復(fù)雜電荷分布,虛設(shè)電荷的個數(shù)、大小與位置使場的解答滿足唯一性定理,除 q 所在點外的區(qū)域,導(dǎo)板及無窮遠處,S 為包圍q 的閉合面,上半場域邊值問題,點電荷對無限大平面導(dǎo)體邊界的鏡像,等效問題： 要求：與原問題邊界條件相同 原電荷：q（d，0，0） 鏡像電荷(等效電荷):-q（-d，0，0）(在求解域外) 取消導(dǎo)體邊界面，空間媒質(zhì)充滿整個空間,d,d,例1 求空氣中一個點電荷 在地面引起的感應(yīng)電荷分布情況,方向指向地面,例1 求空氣中一個點電荷 在地面引起的感應(yīng)電荷分布情況,解: 設(shè)點電荷

4、 離地面高度為h，則,整個地面上感應(yīng)電荷的總量為,2. 導(dǎo)體球面鏡像,設(shè)在點電荷附近有一接地導(dǎo)體球，求導(dǎo)體球外空間的電位及電場分布,1) 邊值問題,除q點外的導(dǎo)體球外空間,2)設(shè)鏡像電荷-q 位于球內(nèi),球面上任一點電位為,由疊加原理，接地導(dǎo)體球外任一點P的電位與電場分別為,鏡像電荷不能放在當前求解的場域內(nèi),鏡像電荷的作用等于負的感應(yīng)電荷的作用,例2 試計算不接地金屬球附近放置一點電荷q時的電場分布,在接地球的基礎(chǔ)上判斷鏡像電荷的個數(shù)、大小與位置,解: 邊值問題,除 q 點外的導(dǎo)體球外空間,S 為球面面積,例2 試計算不接地金屬球附近放置一點電荷q時的電場分布,任一點電位及電場強度為,感應(yīng)電荷分

5、布及球?qū)ΨQ性，在球內(nèi)有兩個等效電荷,正負鏡像電荷絕對值相等,正鏡像電荷只能位于球心,不接地導(dǎo)體球面上的正負感應(yīng)電荷的絕對值等于鏡像電荷 嗎? 為什么,鏡像法小結(jié),鏡像法的理論基礎(chǔ)是靜電場唯一性定理； 鏡像法的實質(zhì)是用虛設(shè)的鏡像電荷替代未知電荷的分布，使計算場域為無限大均勻介質(zhì)； 鏡像法的關(guān)鍵是確定鏡像電荷的個數(shù)，大小及位置； 應(yīng)用鏡像法解題時，注意：鏡像電荷只能放在待求場域以外的區(qū)域。疊加時，要注意場的適用區(qū)域,鏡像法小結(jié):什么情況下能用鏡像法分析,1.點電荷和無限大平面導(dǎo)體,等效問題： 要求：與原問題邊值問題相同 原電荷：q，距離h 鏡像電荷(等效電荷):-q距離-h(在求解域外) 取消導(dǎo)體

6、邊界面，空間媒質(zhì)充滿整個空間,2.點電荷和接地導(dǎo)體球,q點電荷附近接地導(dǎo)體球的影響 可用鏡像電荷（-q）代替感應(yīng)電荷，其中 位置與電荷量為,3.點電荷和兩種不同介質(zhì),平面分界面S的上下半空間充滿介電常數(shù)為1和2的均勻介質(zhì)，在上半空間距S為h處有一點電荷q，求空間的電場,設(shè)上半空間電位為1，下半空間電位為2，根據(jù)唯一性定理， 1和2應(yīng)滿足,2）當r， 10， 20,1,3）分界面S上的銜接條件,h,q,鏡像系統(tǒng)為：上半空間 由原來電荷q和在像點的像電荷q所產(chǎn)生（介電常數(shù)1沖滿整個空間,r1,r2,鏡像系統(tǒng)為：下半空間 由原來電荷q處的像電荷q所產(chǎn)生（介電常數(shù)2沖滿整個空間,r1,在r1=r2處，

7、由條件（3），可得,h,q,q,練習題,例2.如圖所示，一根垂直紙面，帶電線密度為的長直線，求AB兩點間的電勢差,例2.如圖所示，一根垂直紙面，帶電線密度為的長直線，求AB兩點間的電勢差,解,例題3: 已知兩桿電荷線密度為, 長度為L, 相距L . 求兩帶電直桿間的電場力,例題3: 已知兩桿電荷線密度為, 長度為L, 相距L . 求兩帶電直桿間的電場力,解,例題4. 球形金屬空腔內(nèi)外半徑 a b，帶電 Q，腔內(nèi)點電荷q，距球心 r a。求球心 O 點電位,例題4. 球形金屬空腔內(nèi)外半徑 a b，帶電 Q，腔內(nèi)點電荷q，距球心 r a。求球心 O 點電位。 解：內(nèi)壁 -q，外壁 q+Q,思考：電

8、荷在內(nèi)壁和外壁上的分布均勻嗎？對球心處電位有何影響,例題5. A、B為平行的無限大帶電導(dǎo)體板，面密度分別為A和B，靜電平衡時四個面上的電荷分布,例題5. A、B為平行的無限大帶電導(dǎo)體板，面密度分別為A和B，靜電平衡時四個面上的電荷分布。 解：高斯定理 E = E 2S = 0 = S (2+3)/0 2 = -3 P點: 1 = 4 又 1 + 2 = A , 3 + 4 = B 解得 1 = 4 = (A+B)/2 2 = -3 = (A- B)/2,例題6:一電容器兩極板都是邊長為a的正方形金屬平板，但兩板不嚴格平行有一夾角。證明：當 時，該電容器的電容為,b+xsin,例題6:一電容器兩

9、極板都是邊長為a的正方形金屬平板，但兩板不嚴格平行有一夾角。證明：當 時，該電容器的電容為,忽略邊緣效應(yīng),證明,整體不是平行板電容器,但在小塊面積 adx 上，可認為是平行板電容器,其電容為,b+xsin,證畢,b+xsin,電容器電容求解,例7.平行板電容器極板面積為 S ， 板間距為 d ，相對介電常數(shù)為 的兩種電介質(zhì)各充滿板間的一半，如圖， （1）此電容器帶電后，兩介質(zhì)所對應(yīng)的 極板上自由電荷面密度是否相等？ （2）求其電容,解：（1）設(shè)極板間的電勢差為 V， 由介質(zhì)中的高斯定理得,例7.平行板電容器極板面積為 S ， 板間距為 d ，相對介電常數(shù)為 的兩種電介質(zhì)各充滿板間的一半，如圖， （1）此電容器帶電后，兩介質(zhì)所對應(yīng)的 極板上自由電荷面密度是否相等？ （2）求其電容,2,例8. 一錐頂角為 的圓臺，上下底面半徑分別為R1和R2，在它的側(cè)面上均勻帶電，電荷面密度，求：頂角O的電勢。 （以無窮遠處電勢為零點,解,R1,R2,另解：選擇積分元為,例9 如圖，在一電荷體密度為 r 的均勻帶電球體中，挖出一個以O(shè)為球心的球狀小空腔