復(fù)變函數(shù)課件6-2分式線性映射.ppt

1、第二節(jié) 分式線性映射,一、分式線性映射的概念,二、幾種簡單的分式線性映射,三、分式線性映射的性質(zhì),四、小結(jié)與思考,課件,2,一、分式線性映射的概念,稱為分式線性映射,說明,否則, 由于,那末整個z平面映射成 w平面上的一點(diǎn),小知識,課件,3,分式線性映射的逆映射, 也是分式線性映射,2) 由,3) 兩分式線性映射,仍復(fù)合為分式線性映,課件,4,4) 分式線性映射,一個一般形式的分式線性映射是由下列三種,特殊的簡單映射復(fù)合而成,課件,5,二、幾種簡單的分式線性映射,平移映射,為方便起見, 令w平面與z平面重合,課件,6,二、幾種簡單的分式線性映射,平移映射,為方便起見, 令w平面與z平面重合,課

2、件,7,旋轉(zhuǎn)與伸長(或縮短)變換,事實(shí)上, 設(shè),那末,因此, 把z先轉(zhuǎn)一個角度,課件,8,關(guān)于橫軸對稱,反演變換,此映射可進(jìn)一步分解為,欲由點(diǎn)z作出點(diǎn)w, 可考慮如下作圖次序,關(guān)鍵,課件,9,對稱點(diǎn)的定義,設(shè)C為以原點(diǎn)為中心, r為半徑的圓周. 在以,滿足關(guān)系式,那末就稱這兩點(diǎn)為關(guān)于這圓周的對稱點(diǎn),規(guī)定: 無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的對稱點(diǎn)是圓心O,課件,10,設(shè)P在C外, 從P作C的切線PT, 由T作OP的垂,作圖,課件,11,故可知,關(guān)于單位圓對稱,關(guān)于實(shí)軸對稱,課件,12,三、分式線性映射的性質(zhì),1.一一對應(yīng)性,例如,結(jié)論:分式線性映射在擴(kuò)充復(fù)平面上一一對應(yīng),課件,13,2.保角性,課件,14,綜上所述知

3、,課件,15,綜上所述,定理一 分式線性映射在擴(kuò)充復(fù)平面上是一一對 應(yīng)的，且具有保角性,課件,16,3. 保圓性,所謂保圓性指在擴(kuò)充復(fù)平面上將圓周映射為 圓周的性質(zhì),特殊地，直線可看作是半徑為無窮大的圓周,1) 映射,特點(diǎn),所以此映射在擴(kuò)充復(fù)平面上具有保圓性,課件,17,2) 映射,若z平面上圓方程為,令,有,代入z平面圓方程得其象曲線方程,即,所以此映射在擴(kuò)充復(fù)平面上具有保圓性,課件,18,3) 分式線性映射,定理二 分式線性映射將擴(kuò)充z平面上的圓周映射,成擴(kuò)充w平面上的圓周, 即具有保圓性,說明: 如果給定的圓周或直線上沒有點(diǎn)映射成無,窮遠(yuǎn)點(diǎn), 那末它就映射成半徑為有限的圓周,有一個點(diǎn)映射

4、成無窮遠(yuǎn)點(diǎn), 那末它就映射成直線,如果,課件,19,4. 保對稱性,對稱點(diǎn)的特性,課件,20,課件,21,結(jié)論,充要條件是,課件,22,即分式線性映射具有保對稱性,定理三,課件,23,證,分式線性映射,證畢,課件,24,小知識,分式線性映射首先由德國數(shù)學(xué)家默比烏斯(17901868)研究, 所以也稱為默比烏斯映射,對每一個固定的w, 此式關(guān)于z是線性的;對每一,個固定的z, 此式關(guān)于w也是線性的, 因此稱上式,是雙線性的. 分式線性映射也稱雙線性映射.,默比烏斯,課件,25,四、小結(jié)與思考,分式線性映射是一類比較簡單而又很重要的 共形映射,應(yīng)熟悉分式線性映射的分解和復(fù)合, 及 其保角性、保圓性和保對稱性,課件,26,思考題,課件,27,思考題答案,放映結(jié)束，按Esc退出,課件,28,默比烏斯資料,August Mbius,Born: 17 Nov 1790 in Schu