控制工程基礎(chǔ)（第三版）：第八章根軌跡

1、,2010年,控制理論基礎(chǔ)(第八章 ）,根軌跡法,8.1 根軌跡與根軌跡方程,8.2 繪制根軌跡的基本法則,8.4 系統(tǒng)閉環(huán)零極點(diǎn)的分布與性能,8.3 典型開(kāi)環(huán)零極點(diǎn)及其閉環(huán)根軌跡圖,8.1 根軌跡與根軌跡方程,8.1.1 根軌跡,8.1.2 根軌跡方程及相角、幅值條件,反饋控制系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能，主要由系統(tǒng)的極點(diǎn)分布所決定，但求解高階系統(tǒng)特征方程很困難，這就限制了時(shí)域分析法在二階以上的控制系統(tǒng)中的應(yīng)用。,8.1.1 根軌跡,1948年，伊凡思（W.R.Evans）根據(jù)反饋系統(tǒng)開(kāi)、閉環(huán)傳遞函數(shù)之間的內(nèi)在聯(lián)系，提出了直接由開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)求閉環(huán)特征根的新方法，并且建立了一套法則，這就是在工程上獲得較廣泛

2、應(yīng)用的根軌跡法。,8.1.2 根軌跡方程及相角、幅值條件,1十G(s)H(s)=0 或?qū)懽?G（s）H（s）=-1,相角條件 幅值條件,相角條件、幅值條件又可表示為：,8.2繪制根軌跡的基本法則,1. 根軌跡的起點(diǎn)與終點(diǎn) 根軌跡起始于開(kāi)環(huán)極點(diǎn)，終止于開(kāi)環(huán)零點(diǎn)，如果開(kāi)環(huán)零點(diǎn)數(shù)m小于開(kāi)環(huán)極點(diǎn)數(shù)n, 則有（n-m）條根軌跡終止于無(wú)窮遠(yuǎn)處。,當(dāng)nm時(shí)，當(dāng) 時(shí)，,2. 根軌跡的分支數(shù),這是因?yàn)閚階特征方程對(duì)應(yīng)n個(gè)特征根，當(dāng)開(kāi)環(huán)增益K由零變到無(wú)窮大時(shí)，這n個(gè)特征根隨K變化必然會(huì)出現(xiàn)n條根軌跡。,根軌跡s平面上的分支數(shù)等于閉環(huán)特征方程的階數(shù)n，也就是分支數(shù)與閉環(huán)極點(diǎn)的數(shù)目相同。,3. 根軌跡的對(duì)稱(chēng)性,因?yàn)殚_(kāi)

3、環(huán)極點(diǎn)，零點(diǎn)或閉環(huán)極點(diǎn)都是實(shí)數(shù)或者為成對(duì)的共軛復(fù)數(shù)，它們?cè)趕平面上的分布對(duì)稱(chēng)于實(shí)軸，所以根軌跡也對(duì)稱(chēng)于實(shí)軸。,4. 實(shí)軸上的根軌跡,由于成對(duì)的共軛復(fù)根在實(shí)軸上產(chǎn)生的相角之和總是等于360，不會(huì)影響實(shí)軸上根軌跡的位置，故上述結(jié)論由相角條件很容易得出。,實(shí)軸上根軌跡區(qū)段的右側(cè)，開(kāi)環(huán)零極點(diǎn)數(shù)目之和應(yīng)為奇數(shù)。,5. 根軌跡的漸近線,如果開(kāi)環(huán)零點(diǎn)數(shù)m小于開(kāi)環(huán)極點(diǎn)數(shù)n，則當(dāng) 時(shí)，趨向無(wú)窮遠(yuǎn)處的根軌跡共有(n-m)條，這(n-m）條根軌跡趨向于無(wú)窮遠(yuǎn)處的方位可由漸近線決定。 設(shè)系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為,有(n-m)條漸近線。當(dāng)s很大時(shí)，上式可近似為,（nm）,由上兩式中項(xiàng) 系數(shù)相等，得漸近線與實(shí)軸交點(diǎn)的坐標(biāo)為,即

4、其分子是極點(diǎn)之和減去零點(diǎn)之和。漸近線與實(shí)軸正方向的夾角為,式中k依次取0，1， 2，,一直到獲得（n-m）個(gè)傾角為止。,6. 根軌跡的起始角與終止角,起始角為 終止角（或入射角）為,幾條根軌跡在s平面上相遇后又分開(kāi)（或分開(kāi)后又相遇）的點(diǎn)，稱(chēng)為根軌跡的分離點(diǎn)（或會(huì)合點(diǎn)）。,7. 分離點(diǎn)的坐標(biāo),方法1 因分離點(diǎn)（或會(huì)合點(diǎn)）是特征方程的重根，因此可用求重根的方法確定它們的位置。 設(shè)系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為,系統(tǒng)閉環(huán)特征方程為,分離點(diǎn)（或會(huì)合點(diǎn)）為重根，必然同時(shí)滿足方程,由上兩式可得,即,根據(jù)該式，即可確定分離點(diǎn)（或會(huì)合點(diǎn)）的參數(shù)。例2 某系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為,解之，得相應(yīng)的增益為,方法2設(shè)系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為

5、,由系統(tǒng)閉環(huán)特征方程，得,求極值,即可確定分離點(diǎn)（或會(huì)合點(diǎn)）的參數(shù)。仍以例2為例,解之，得,相應(yīng)的增益為,方法3 分離點(diǎn)（或會(huì)合點(diǎn)）的坐標(biāo)可由方程 解出，其中為開(kāi)環(huán)極點(diǎn)，為開(kāi)環(huán)零點(diǎn)。 例3 已知系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為,試求系統(tǒng)閉環(huán)根軌跡的分離點(diǎn)坐標(biāo)。,解： 得,解此方程得 d1=-2.12，d2=0.12 d1在根軌跡上，是所求的分離點(diǎn)。d2不在根軌跡上，則舍棄。 根軌跡如圖所示。,8. 實(shí)軸上分離點(diǎn)的分離角恒為90,根軌跡離開(kāi)分離點(diǎn)時(shí)，軌跡切線的傾角稱(chēng)分離角。由相角條件可推出，當(dāng)根軌跡從實(shí)軸二重極點(diǎn)上分離時(shí)，其右邊為偶數(shù)個(gè)零極點(diǎn)，因此該二重極點(diǎn)相角之和為士(2n+1)180，即實(shí)軸上分離點(diǎn)的分離

6、角恒為士90。,同理，實(shí)軸上會(huì)合點(diǎn)的會(huì)合角也恒為士90。,根軌跡與虛軸相交，意味著閉環(huán)極點(diǎn)中有極點(diǎn)位于虛軸上，即閉環(huán)特征方程有純虛根 ，系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。,9.根軌跡與虛軸的交點(diǎn),方法1 將s= 代入特征方程中得 或,令 則可解出值及對(duì)應(yīng)的臨界開(kāi)環(huán)增益 及K來(lái)。,例 已知系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù) 求根軌跡與虛軸的交點(diǎn)。,解: 系統(tǒng)閉環(huán)特征方程為 令s= ，代入上式得,即,聯(lián)立得,方法2 根軌跡與虛軸交點(diǎn)坐標(biāo)也可通過(guò)勞斯判據(jù)求出。仍以上例為例，其勞斯表為,解,得 即為所求。,8.3 典型開(kāi)環(huán)零極點(diǎn)及其閉環(huán)根軌跡圖,加入校正，即改變了根軌跡的分布。分母加入一階環(huán)節(jié)，將使根軌跡推向s右半平面，使系統(tǒng)穩(wěn)定的K值范圍減小。下圖所示為二階系統(tǒng)，分母加入一階環(huán)節(jié)，變成三階系統(tǒng)的情況。,8.4 零點(diǎn)、極點(diǎn)的分布與性能關(guān)系,分子加入一階環(huán)節(jié)，將使根軌跡推向s左半平面，使系統(tǒng)趨于穩(wěn)定。下圖所示為三階系統(tǒng)，分子加入一階環(huán)節(jié)，系統(tǒng)變成穩(wěn)定的情況。,加入局部硬反饋（即比例反饋），如下圖所示系統(tǒng)，通常使系統(tǒng)穩(wěn)定裕量增加，提高系統(tǒng)相對(duì)穩(wěn)定性，而放大倍數(shù)有所降低。,加入局部軟反饋（即近似微分反饋），如下圖，通常也使系統(tǒng)穩(wěn)定裕量增加，提高系統(tǒng)相對(duì)穩(wěn)定性，過(guò)渡過(guò)程完成后，反饋不