雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程教案

1、雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程（第一課時）教學(xué)目標(biāo)：1掌握雙曲線的定義，能說出其焦點(diǎn)、焦距的意義；2能根據(jù)定義，按照求曲線方程的步驟推導(dǎo)出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，熟練掌握兩類標(biāo) 準(zhǔn)方程；3能解決較簡單的求雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的問題；4 培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析、歸納和邏輯推理能力。教學(xué)重點(diǎn)：雙曲線的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程。教學(xué)難點(diǎn)：雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過程。教學(xué)過程：一、創(chuàng)設(shè)情景，弓I入新課：師：我們先來思考這樣一個問題：（打開幾何畫板）已知定點(diǎn)Fi（ 1,0）和F2（1,0），定圓Ci的圓心為Fi , 且半徑為r，動圓C2過定點(diǎn)F2，且與定圓相切。（1 ）若r 4，試求動圓圓心的軌跡；（2）若r 1,試求動圓圓心的軌跡。（教師結(jié)

2、合幾何畫板演示分析）：師：當(dāng)r 4時，我們得到的軌跡是什么生：是橢圓。是：為什么生：因?yàn)楫?dāng)r 4時動圓C2內(nèi)切于定圓Ci，所以兩個圓的圓心距 MFi滿足MFi 4 MF2，移項后可以得到：MFi| MF? 4滿足橢圓的定義，所以得到的軌跡是一個以Fi、F2為定點(diǎn)，4為定長的橢圓。師：很好。那么，當(dāng)r I呢，此時動圓C2與定圓Ci相切有幾種情況生：有兩種情況：內(nèi)切和外切。師：我們先來考察兩圓外切時的情況（演示），我們得到的軌跡滿足什么條件生（同時教師板書）：由于兩圓外切，所以兩個圓的圓心距MFi滿足MFi i MF2，移項后可以得到：MFi| |MF2 I。（教師演示軌跡）師：我們再來考察兩圓內(nèi)

3、切時的情況（演示），我們得到的軌跡又滿足什么條件生（同時教師板書）：由于兩圓內(nèi)切，所以兩個圓的圓心距MFi滿足MFi| |MF2 I，移項后可以得到：MFi| |MF2I。（教師演示軌跡）師（同時演示兩種情況下的軌跡）：我們可以得到與定圓相切且過定點(diǎn)的動圓的圓心滿足|MFi| IMF2II即|MFi MF2II I，圓心的軌跡我們稱之為雙曲線。二、新課講解：1、定義給出師：今天我們來學(xué)習(xí)雙曲線。同學(xué)們能否結(jié)合剛才的問題給雙曲線下個一般定義生：雙曲線是到平面上兩個定點(diǎn)Fi、F2的距離的差的絕對值等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡。這兩個定點(diǎn)叫做雙曲線的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的距離叫做雙曲線的焦距。師：由橢圓的定義，一般情

4、況下，我們設(shè)該常數(shù)為2a。那么什么情況下表示的是雙曲線的右支，什么情況下表示的是雙曲線的左支生：當(dāng)MF/ |MF2 2a時，表示的是雙曲線的右支，當(dāng)MFMF?2a時，表示的是雙曲線的左支。2、定義探究（教師引導(dǎo)學(xué)生分情況討論）：師：這個常數(shù)2a有沒有限制條件生：有。這個常數(shù) 2a要比焦距Fi F2小。師：很好。為什么要有這個限制條件呢其他情況會是怎樣的呢我們一起來分析一下：（1） 若a=0,則有MFi| |MF2 0即MFi| MF?，此時軌跡為線段 F1F2的中垂線；（2）若2a=F1F2,則有MFi|MF2|FiF2，此時軌跡為直線FiF?上除去線段FiF?中間部分，以Fi、F2為端點(diǎn)的兩

5、條射線；（3）若2a FiF2 ,則根據(jù)三角形的性質(zhì)，軌跡不存在。3、雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過程：師：我們學(xué)過求曲線的方程的一般步驟，現(xiàn)在我們一起根據(jù)定義求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程。（師生互動，共同推導(dǎo)之）第一步：建立直角坐標(biāo)系；第二步：設(shè)點(diǎn)：設(shè) M（x，y）,2a；第三步：啟發(fā)學(xué)生根據(jù)定義寫出焦點(diǎn)分別為Fi（ c,0）和F2（c,0），M到焦點(diǎn)的距離差的絕對值等于P M MFi第四步：建立方程:第五步：化簡，得到MF2m點(diǎn)的軌跡構(gòu)成的點(diǎn)集:2a ；(Xa22c）2y_b2i(a.(x c)2 y2 2a ；0,b0)教師強(qiáng)調(diào)：我們得到了焦點(diǎn)在2 2務(wù)與 i（a 0,b 0），這里c a2 b2師：那么

6、如果焦點(diǎn)在 y軸上呢（學(xué)生練習(xí)）2生（練習(xí)后）：此時的標(biāo)準(zhǔn)方程應(yīng)該是 每a2x軸上，且焦點(diǎn)是Fi（ c,0）和F2（c,0）的雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為a2b2i(a 0,b0)。4 雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的探討：師：剛才我們共同推導(dǎo)了雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程。請同學(xué)想一下，雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程中字母a、b、c的關(guān)系如何是不是a b生：a、b、c滿足等式c2 a2 b2，所以有a2 c2 b2，可以得到a,b c ,但不能判斷a b。師：很好。我們在求雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程過程中還發(fā)現(xiàn)，確定焦點(diǎn)對求雙曲線方程很重要。那么如何根 據(jù)方程判定焦點(diǎn)在哪個坐標(biāo)軸上呢i，我們發(fā)現(xiàn)焦點(diǎn)所在軸相x2 y2y2 x2生：由于焦點(diǎn)在 x軸和y軸上標(biāo)準(zhǔn)

7、方程分別為 2 i和22abab關(guān)的未知數(shù)的分母總是 a,所以可以由a來判定。2 2師：很好。如果我們知道的方程是i，那么你如何尋找 a32生：因?yàn)閍所在的這一項未知數(shù)的系數(shù)是正的，所以只要找正的系數(shù)就可以了。2 2師：如果方程是-y i呢32生：先化成標(biāo)準(zhǔn)方程。師：請同學(xué)總結(jié)一下。生：化標(biāo)準(zhǔn)，找正號。5.運(yùn)用新知：2 2【練習(xí)】已知方程 i表示雙曲線，則 m的取值范圍是 ，此時9 m i雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是 ，焦距是；【變式】若將9改成2 m，則m的取值范圍是 。【例i】已知雙曲線兩個焦點(diǎn)的坐標(biāo)為Fi（ 5,0）、F2 （5,0），雙曲線上一點(diǎn) P到Fi、F2的距離的差的絕對值等于6,求雙曲線

8、的標(biāo)準(zhǔn)方程。解：因?yàn)殡p曲線的焦點(diǎn)再 x軸上，所以設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為22x y2 牙 1(a0,b0)，a bc=5。因?yàn)?2a=6, 2c=10，所以 a=3, 所以 b2523216，所以所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為2 y16【變式】已知兩個定點(diǎn)的坐標(biāo)為F1 ( 5,0)、等于6，求P點(diǎn)的軌跡方程。解：因?yàn)镻F1y22x9F2(5,0)，動點(diǎn)P到F1、F2的距離的差PF26，所以P的軌跡是雙曲線 的右支，設(shè)雙 曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為2X2 a因?yàn)樗詁r 1(a 0,b b22a=6， 2c=10，252320)，所以 a=3， c=5。16，2 y16x2所以所求P點(diǎn)的軌跡方程為9【例2】已知雙曲線的焦點(diǎn)

9、在 y軸上，并且雙曲線上兩點(diǎn)P1、P2的坐標(biāo)分別為-9(3, 4展)、(,5)，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程。4解：因?yàn)殡p曲線的焦點(diǎn)在y軸上，所以設(shè)所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為2 2 22 1(a 0,b 0)，a2 b2因?yàn)辄c(diǎn)R、(4.2)21(x 3)。25a2P2在雙曲線上，所以點(diǎn)M 1 b29 2可解得：4產(chǎn)12 ab2Pi、P2的坐標(biāo)適合方程，代入得:16。2 y162x 彳1。9【變式】已知雙曲線的焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，并且雙曲線上兩點(diǎn)所以所求雙曲線得標(biāo)準(zhǔn)方程為:Pi、P2的坐標(biāo)分別為(3, 4.2)(-,5)，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程。(分情況討論)4【練習(xí)】(1) ABC 邊兩個端點(diǎn)是 B(0,6)和C(0, 6)，頂點(diǎn)A滿足 AB AC 8，求A的軌跡方程。-，求頂9(2) ABC 一邊的兩個端點(diǎn)是 B(0,6)和C(0, 6)，另兩邊所在直線的斜率之積是 點(diǎn)A的軌跡。三、本課小結(jié)：師：我們總結(jié)一下本節(jié)課我們學(xué)了什