不等式創(chuàng)新題

1、不等式創(chuàng)新題賞析一、 知解集中的整數(shù)個數(shù)求參數(shù)范圍例1 （2009天津市） 設(shè)0b1+a。若關(guān)于x的不等式（x-b）2（ax）2的解集中的整數(shù)恰有3個，則（ ）A、-1a0 B、0a1 C、1a3 D、3a6分析：將原不等式整理成關(guān)于x的一元二次不等式，由題意可確定二次項系數(shù)1-a20，結(jié)合已知可得a1，由一元二次不等式的解可得a、b的不等式，從而可得a的范圍。解：由（x-b）2（ax）2，可得（1-a2）x2-2bx+b20，由于該不等式的解集中的整數(shù)恰有3個，則有1-a20，此時a21，由于0b1+a，故a1，由不等式（a2-1）x2+2bx-b20，解得x，即x1，要使該不等式的解集中的

2、整數(shù)恰有3個，那么-2，則有-b-2（a-1），則有a+1，即a+1+1，解得a3，故1a3。點評：本題考查含參數(shù)的不等式的分析與計算。二、 由絕對值不等式確定參數(shù)的范圍例2 （2009重慶市） 不等式|x+3|-|x-1|a2-3a對任意實數(shù)x恒成立，則實數(shù)a的取值范圍為（ ）A、 B、 C、1，2 D、分析：由|x+3|-|x-1|的值域可得到a的不等式，從而問題可解決。解：因為-4|x+3|-|x-1|4，|x+3|-|x-1|a2-3a對任意實數(shù)x恒成立，所以a2-3a4，即a2-3a-40，解得a4或a-1。點評：本題主要考查三角形絕對值不等式的應(yīng)用、一元二次不等式的解法，以及考查轉(zhuǎn)

3、化的思想。三、 建模創(chuàng)新題例3（2009江蘇省） 按照某學(xué)者的理論，假設(shè)一個人生產(chǎn)某產(chǎn)品單件成本為a元，如果他賣出該產(chǎn)品的單價為m元，則他的滿意度為；如果他買進(jìn)該產(chǎn)品的單價n元，則他的滿意度為。如果一個人對兩種交易（賣出或買進(jìn)）的滿意度分別為h1和h2，則他對這兩種交易的綜合滿意度為。現(xiàn)假設(shè)甲生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品的單件成本分別為12元和5元，乙生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品的單件成本分別為3元和20元。設(shè)產(chǎn)品A、B的單價分別為mA元和mB元，甲買進(jìn)A與賣出B的綜合滿意度為h甲，乙賣出A與買進(jìn)B的綜合滿意度為h乙。（I） 求h甲和h乙關(guān)于mA、mB的表達(dá)式；當(dāng)mA=mB時，求證：h甲=h乙；（II） 設(shè)mA=

4、mB，當(dāng)mA、mB分別為多少時，甲、乙兩人的綜合滿意度均最大？最大的綜合滿意度為多少？（III） 記（II）中最大的綜合滿意度為h0，試問能否適當(dāng)選取mA、mB的值，使得h甲h0和h乙h0同時成立，但等號不同時成立？試說明理由。分析：第（I）問中，甲買進(jìn)A賣出B與乙賣出A買進(jìn)B的綜合滿意度可以分別列出兩個函數(shù)式，利用條件將變量統(tǒng)一即可證明兩式相等。第（II）問可以將根號分子變量變換到分母中，構(gòu)造基本不等式，即可求得最值；(3)由第（II）問的結(jié)論可以分別求得其積的最值，但其等號成立的條件不一致。解：設(shè)mA=x，mB=y（I） 甲買進(jìn)產(chǎn)品A的滿意度：h1甲=；甲賣出產(chǎn)品B的滿意度：h2甲=甲買進(jìn)產(chǎn)品A和賣出產(chǎn)品B的綜合滿意度：h甲=；同理，乙賣出產(chǎn)品A和買進(jìn)產(chǎn)品B的綜合滿意度：h乙=當(dāng)x=y時，h甲=h乙=，故h甲=h乙。（II） 當(dāng)x=y時，由（I）知h甲=h乙=，因為=且等號成立當(dāng)且僅當(dāng)y=10當(dāng)y=10時，x=6因此，當(dāng)mA=6，mB=10時，甲、乙兩人的綜合滿意度均最大，且最大綜合滿意度為。（III） 由（II）知，h0=因為h甲h乙=，所以，當(dāng)h甲，h乙時，有h甲=h乙=因此，不能取到mA，mB的值，使得h甲h0和h乙h0同時成立，但等號不同時成立。點評：數(shù)學(xué)建模的問題最后的結(jié)論一