一元一次不等式知識點及典型例題

1、3、不等式兩邊都乘以（或除以）同一個負(fù)數(shù)，不等號的方向改一元一次不等式4、說明：在一元一次不等式中，不像等式那樣，等號是不變?nèi)绻坏仁匠艘?,那么不等號改為等號所以在題目中，要求出乘考點一、不等式的概念（3分）現(xiàn)一元一次不等式，如果出現(xiàn)了，那么不等式乘以的數(shù)就不等為1、不等式：用不等號表示不等關(guān)系的式子，叫做不等式?？键c三、一元一次不等式（6-8分）2、不等式的解集：對于一個含有未知數(shù)的不等式，任何一個適合這個不等式的未知數(shù)的值，都 | 1、一元一次不等式的概念：一般地，不等式中只含有一個未叫做這個不等式的解。 的兩邊都是整式，這樣的不等式叫做一元一次不等式。3、對于一個含有未知數(shù)的不等式，它

2、的所有解的集合叫做這個不等式的解的集合，簡稱這個不2、解一元一次不等式的一般步驟：（1）去分母（2）去括號（ 等式的解集。項的系數(shù)化為14、求不等式的解集的過程，叫做解不等式。考點四、一元一次不等式組（8分）5、用數(shù)軸表示不等式的方法1、一元一次不等式組的概念：幾個一元一次不等式合在一起考點二、不等式基本性質(zhì)（35分）2、幾個一元一次不等式的解集的公共部分，叫做它們所組成的1、不等式兩邊都加上（或減去）同一個數(shù)或同一個整式，不等號的方向不變。3、求不等式組的解集的過程，叫做解不等式組。2、不等式兩邊都乘以（或除以）同一個正數(shù)，不等號的方向不變。4、當(dāng)任何數(shù)x都不能使不等式同時成立，我們就說這個

3、不等式5、一元一次不等式組的解法例 判斷下列各式是否是一元一次不等式?(1) 分別求出不等式組中各個不等式的解集2x 4x x2-x 5 2x-y V 035 X 2 x 5(2) 利用數(shù)軸求出這些不等式的解集的公共部分，即這個不等式組的解集。二不等式的解：6、不等式與不等式組三不等式的解集：不等式：用符號，=,號連接的式子叫不等式。不等式的兩邊都加上或減去同一個整式，例 判斷下列說法是否正確，為什么？ I 不等號的方向不變。不等式的兩邊都乘以或者除以一個正數(shù)，不等號方向不變。不等式的兩邊都乘以或除以同一個負(fù)數(shù)，不等號方向相反。X=2是不等式x+3v 2的解。 X=2 是不等式3xv 7的解等

4、式3xv 7的解是xv 2。X=3是不等式3x 97、不等式的解集：四一元一次不等式： 能使不等式成立的未知數(shù)的值，叫做不等式的解。例判斷下列各式是否是一元一次不等式 一個含有未知數(shù)的不等式的所有解，組成這個不等式的解集。 xV52x yV0青 x22 5 3x 求不等式解集的過程叫做解不等式。例 五.不等式的基本性質(zhì)問題知識點與典型基礎(chǔ)例題例1指出下列各題中不等式的變形依據(jù)不等式的概念:1 )由 3a2 得 af2)由3+六0在數(shù)軸上表示不等式的解集:13 )由-5a- 54)例2用”或3a+1 得 a12x+3 v 3x+2-3x+2a x75x-12x+5ab B acab C cbab

5、 D c+b 2 (x-1 )的非負(fù)整數(shù)解，并在數(shù)軸上 2 x V1亍 x V 3的非負(fù)整數(shù)解 -1： x2：3)求不等式32X 10的非負(fù)整數(shù)解x a b已知關(guān)于X的不等式組 2x a 2b 1的解集為3WxV5，求a的題型三 確定方程或不等式中的字母取值范圍4)設(shè)不等式2x-a0只有3個正整數(shù)解，求正整數(shù)a例 k為何值時方程5x-6 = 3(x + k )的值是非正數(shù) 題型二：不等式與方程的綜和題 例 關(guān)于X的不等式2x-a-1的解集如圖，求a的取值范圍。已知關(guān)于x的方程3k 5x = 9的解是非負(fù)數(shù)，求k的取值范已知在不等式3x-a2，則m的取值范圍是？.、-一 , 4x 3y k5x

6、3y 31若關(guān)于X、Y的二元一次方程組 x y p 0的解是正整數(shù)，求整數(shù)p的值。若方程組 2x 3y 5的解中xy，求K的范圍如果關(guān)于x的方程x+2m-3=3x+7的解為不大于2的非負(fù)數(shù)，求5x 4若|2a+3| 2a+3,求a的范圍。例x取什么值時，代數(shù)式6的值不小于8 13x白題型六不等式解法的變式應(yīng)用若(a+1) x a+1的解是x v 1,求a的范圍例根據(jù)下列數(shù)量關(guān)系，列不等式并求解x 8 4x 1若 x a的解集為3,求a的取值范圍X的J與x的2倍的和是非負(fù)數(shù)。C與4的和的30纟X除以2的商加上2,至多為5。A 與b兩數(shù)和的已知關(guān)于x的方程x務(wù)m 2x的解是非負(fù)數(shù)，m是正整數(shù)，求m

7、的值。 例 x取何值時，2(x 2)x3)6的值是非負(fù) e 9x a 0如果 8x b 0的整數(shù)解為1、23,求整數(shù)3、b的值。x取哪些非負(fù)整數(shù)時， 誓 的值不小于 考與1的差。題型五求最小值問題題型七解不定方程一、選擇題x 2 a已知 x 3a 2無解，求a的取值范圍A. 1 v nrK 3 B . m3C . nv1D . n-在平面直角坐標(biāo)系中，若點 P( m 3, nYr 1)在第二象限，則 m已知關(guān)于的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)的取值案：D題型八比較兩個代數(shù)式值的大小四個小朋友玩蹺蹺板，他們的體重分別為 P、Q R、S，如圖 3 例 已知A=a + 2,B=a a +

8、5,C=a+5a 19,求B與A,C與A的大小關(guān)系(D )題型九不等式組解的分類討論例 解關(guān)于X的不等式組 (a 2)x 2. .2(1 a)x 4A、 B、 C、 D、把不等式組的解集表示在數(shù)軸上正確的是()答案：C不等式的解集是（）答案：BA.B.C.D.答案：C不等式組，的解集是（）若不等式組有實數(shù)解，則實數(shù)的取值范圍是（)A.B . C .D .無解A.B.C.D.答案:A不等式組的解集在數(shù)軸上可表示為（若，則的大小關(guān)系為（）A.B.C.D .不能確定答案：AABC不等式一x 5W 0的解集在數(shù)軸上表示正確的是答案：）D答案：B實數(shù)在數(shù)軸上對應(yīng)的點如圖所示，貝1答案：C），的大小關(guān)系正

9、確的是不等式V的正整數(shù)解有（）（A） 1 個（B） 2 個（C） 3 個 A. （D） B個答案:DC.把某不等式組中兩個不等式的解集表示在數(shù)軸上，如圖所示，答案這個不等式組可能是（A.B.C.D.如圖，a、b、c分別表示蘋果、梨、桃子的質(zhì)量.同類水果質(zhì)量答案：AA. acbB. bacC. abc不等式組的解集在數(shù)軸上可表示為（）答案：C不等式組的解集在數(shù)軸上表示正確的是（）答案：A在數(shù)軸上表示不等式組的解集，正確的是（）答案：C答案：A把不等式組的解集表示在數(shù)軸上，正確的為圖3中的（二、填空題已知3x+4W 6+2（x-2）,貝V的最小值等于. 答案：1A .B.C如圖，已知函數(shù)和的圖象交

10、點為，則不等式的解集為答案：B答案：用 表示三種不同的物體，現(xiàn)放在天平上比較兩次，情況如圖所示組的解集三種物體按質(zhì)量從大.答案：到小的順序排列應(yīng)為（）答案：不等式得解集為-1 v x w 2該不等式組的最大整9. 不等式組的解集是.答案：若不等式組的整數(shù)解是關(guān)于x的方程的根，求a的值。10. 直線與直線在同一平面直角坐標(biāo)系中的圖象如圖所示，貝解：解不等式式的解集為數(shù)解 x=-2代入方程得a=4。解方程。由絕對值的幾何意義知，該方程表示求在數(shù)軸上與1的值。在數(shù)軸上，1和2的距離為3,滿足方程的x對應(yīng)點在1答案：-11的右邊，由圖(17)可以看出x = 2;同理，若x對應(yīng)點在一2白 13.已知不等

11、式組的解集為一 1 vxv 2,則(m+ n)2*= 是x=2或x=答案：1I解不等式組三、簡答題參考閱讀材料，解答下列問題:解：解不等式(1),得.解不等式(2),得.(1)方程的解為原不等式組的解是.(2)解不等式9;解不等式組并寫出該不等式組的最大整數(shù)解(3)若w a對任意的x都成立，求a的取值范圍（2）和的距離為乙解：的解集是:解：（1） 1或.因此，滿足不等式的解對應(yīng)的點 3與的兩側(cè). 當(dāng)在3的右邊時，如圖（2）, 易知. 當(dāng)在的左邊時，如圖（2）, 易知.原不等式的解為或（3）原問題轉(zhuǎn)化為： 大于或等于最大值.當(dāng)時，當(dāng)，隨的增大而減小，當(dāng)時，即的最大值為7.故.解不等式組并把解集表

12、示在下面的數(shù)軸上的解集是：所以原不等式的解集是： 解集表示如圖解不等式組解：由不等式（1）得： x 3解不等式組：并判斷是否滿足該不等式組. 解：原不等式組的解集是：，滿足該不等式組.解不等式3x-2 b；（同大取大）當(dāng)時，xv a；（同小當(dāng)時，avxv b；（大小小大取中間）當(dāng)時無解，（大大二：小試牛刀1、不等式8-3x 0的最大整數(shù)解是 解：3x-273x7+23x9x y得ax -5的解集如圖所示，則m的值為x a彳A, 1 B, 0 C, -1 D, 34、 若0 a 1，則a2、-、a之間的大小關(guān)系是.a5、 如果一元一次方程2x 5k x 4的解是正數(shù)，那么k的取值范圍是.2、不等

13、式2x+1b c.性質(zhì)2:不等式兩邊乘以（或除以）同一個正數(shù)，不等號的acbc （或 ）2009年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)教材回歸知識講解 +例題解析+強(qiáng)化訓(xùn)練么 ac）性質(zhì)3:不等式兩邊乘以（或除以）同一個負(fù)數(shù)，不等號的方向改析】，一元果次不等式的解法的一般步驟與一元一次方不等式兩邊都乘以各分母的最小公倍數(shù)去掉分母，在去分母時不要不等式的其他性質(zhì)：若 ab,則bb, bc,則解答】;去分母,a得b,且ba, ?則a=b；若 aw 0,則 a=0. 4（2x-1 ） -2 （10x+1） 15x-60 .4 .一元一次不等式的解法去括號，得 8x-4-20x-2 15x-60一元一次不等式的解法與一元一次

14、方程的解法類似，？但要特別注意不等式的兩邊都乘以（或移項合并同類項，得-27x -54 除以）同一個負(fù)數(shù)時，不等號要改變方向.系數(shù)化為1,得x w 2.在數(shù)軸上表示解集如圖所示.5 .一元一次不等式的應(yīng)用列一元一次不等式解實際應(yīng)用問題，可類比列一元一次方程解應(yīng)用問題的方法和技巧，不同的是，列不等式解應(yīng)用題，尋求的是不等關(guān)系，因此，根據(jù)問題情境，【點評】分?jǐn)?shù)線兼有括號的作用，分母去掉后應(yīng)將分子添 系的關(guān)鍵詞語，或從題意中體會、感悟出不等關(guān)系十分重要.各項時，不要漏乘不含分母的項；不等式兩邊都乘以（或除以）改變；在數(shù)軸上表示不等式的解集，當(dāng)解集是x時，不包例題解析一圈表示；當(dāng)解集是x w a或x

15、a時，包括數(shù)軸上a這一點，則這一例1解不等式x-5,并把它的解集在數(shù)軸上表示出中考中易考查的知識點，必須熟練掌握.例2若實數(shù)aNM B . MNP C . NPM D . MPN 【解答】；-3x+n0，二 x1內(nèi)的任意值即可；其二，？用作差法和不等式的傳遞性可得M N, P的關(guān)系.代入-3x+n0 得：-3x+62【解答】方法一：取 a=2，則M=2 N= P=,由此知MPN應(yīng)選D.例4某公司為了擴(kuò)大經(jīng)營，決定購進(jìn) 6臺機(jī)器用于生產(chǎn)某方法二：由a1知a-10 .擇，其中每臺機(jī)器的價格和每臺機(jī)器日生產(chǎn)活塞的數(shù)量如下表所示金不能超過34萬元.又 M-P=a-=0,. MPP-N=-=0 ，二 P

16、N二 MPN 應(yīng)選 D.【點評】應(yīng)用特值法來解題的條件是答案必須確定.如，當(dāng)（門a按該公司要求可以有幾種購買方案？不確定，當(dāng)1a2a-2 ；當(dāng)a=2時，a=2a-2 ；當(dāng)a2時，a0的解集是x2,則不等式-3x+n0的解集是.【解析】（1）可設(shè)購買甲種機(jī)器x臺，然后用x表示出購【分析】一方面可從已知不等式中求出它的解集,據(jù)？再利用解集器所價性金不能超的值，2進(jìn)萬元”列不等式求解. 得到另一不等式的解集.(2)分別算出(1)中各方案每天的生產(chǎn)量，根據(jù)“日生產(chǎn)能力不低于3(個與“節(jié)約資金”兩個條件選擇購買方案.解(1)設(shè)購買甲種機(jī)器x臺，則購買乙種機(jī)器(6-x )臺，則7x+5( 6-x) 34由

17、于方案一的日生產(chǎn)量小于 380個，因此不選擇方案一; 解得x仝2選擇方案二.【點評】部分實際問題的解通常為整數(shù)；方案的各種 0 x1 則該工人的取值范圍是 .的新工資為(200+150X 60%X，由題意得 200+150X 60%x 450; 2 .不等式x+3x的負(fù)整數(shù)解是.(2)六月份的工資由基本工資 200元和獎勵工資兩部分組成，？若設(shè)小張六月份加工了 y套，3 .不等式5x-9 1200.4 .不等式4 (x+1) 6x-3的正整數(shù)解為 .【解答】(1)設(shè)企業(yè)每套獎勵x元，由題意得：200+60% 450.5 .已知3x+4W 6+2 (x-2),貝，x+1丨的最小值等于 .解得：x

18、 .6 .若不等式a (x-1 ) x-2a+1的解集為x 1200,8 .小明用100元錢去購買筆記本和鋼筆共 30件，已知每本筆 解得y 200.明最多能買 支鋼筆.【點評】本題重點考查學(xué)生從生活實際中理解不等關(guān)系的能力，對關(guān)鍵詞“不低于”、“至I9 .某商品的進(jìn)價是500兀，標(biāo)價為750兀，商店要求以利潤不少”、“不少于”的理解是解本例的關(guān)鍵.,低可以打折出售此商品.強(qiáng)化訓(xùn)練10. 有10名菜農(nóng)，每個可種甲種蔬菜 3畝或乙種蔬菜2畝，？已一、填空題蔬菜每畝可收入萬元，若要總收入不低于萬元，？則最多只能安排二、選擇題16.初中九年級一班幾名同學(xué)，畢業(yè)前合影留念，每人交元， 每人分一張，將收

19、來的錢盡量用掉的前提下，？這張照片上的同學(xué)11. 不等式-x-5 w 0的解集在數(shù)軸上表示正確的是（）|A . 2個 B . 3個 C . 4個 D . 5個17 .四個小朋友玩蹺蹺板，他們的體重分別為P, Q R S,女IABCD（）12. 如圖所示，0是原點，實數(shù)a, b, c?在數(shù)軸上對應(yīng)的點分別為 A, B, C,則下列結(jié)論錯誤的 I A . PRSQ B . QSPR是（）A . a-b0 B . ab0 C . a+b0 C . SPQR D . SPRQ13 .如圖所示，一次函數(shù) y=kx+b的圖象經(jīng)過A, B兩點，則不等式kx+b0?的解集是（）18 .某班學(xué)生在頒獎大會上得知

20、該班獲得獎勵的情況如下表：A . x0 B . x2 C . x-3 D . -3x的解集是x5 B . a=5 C . a-5 D . a=-515 .關(guān)于x的不等式2x-a w-1的解集如圖所示，則a的取值是（該班班共有28人獲得獎勵，其中只獲得兩項獎勵的有1A. 0B. -3同學(xué)可能獲得的獎勵為（）C. -2.-1A . 3項 B . 4項 C . 5項 D . 6項三、解答題19. 解下列不等式，并把解集在數(shù)軸上表示出來.22.福林制衣廠現(xiàn)有24名制作服裝工人，？每天都制作某種品牌3件或褲子5條.(1)；(2) x-3 .(1) 若該廠要求每天制作的襯衫和褲子數(shù)量相等，則應(yīng)安排(2)

21、已知制作一件襯衫可獲得利潤 30元，制作一條褲子可獲 得利潤不少于2100元，則至少需要安排多少名工人制作襯衫？20. 王女士看中的商品在甲，乙兩商場以相同的價格銷售，兩商場采用的促銷方式不同：在甲商場一次性購物超過100元，超過的部分八折優(yōu)惠；在乙商場一次性購物超過50元，超過的部分九折優(yōu)惠，那么她在甲商場購物超過多少元就比在乙商場購物優(yōu)惠？21 .甲，乙兩家超市以相同的價格出售同樣的商品，為了吸引顧客;零件制造車間有工人同的優(yōu)惠方案已知每名工人每天可制造甲 在甲超市累計購買商品超出 300元之后，？超出部分按原制造一個甲種零件可超市累計購買商品?每制造一個乙種零件可獲利 2 200元之后，

22、超過部分按原價折優(yōu)惠.設(shè)顧客預(yù)計累計購物安排xxT名工人制造甲種零件，？其余工人制造乙種零件.(1)請用含x的代數(shù)式分別表示顧客在兩家超市購物所付的費(fèi)用請寫出此車間每天所獲利潤 y (元)與x (人)之間的(2)試比較顧客到哪家超市購物更優(yōu)惠？說明你的理由.(2)若要使每天所獲利潤不低于 24000元，？你認(rèn)為至少要派多24.足球比賽的記分規(guī)則為：勝 1場得3分，平1場得1分，負(fù)1?場得0分，一支足球隊在某個 賽季中共需比賽14場，現(xiàn)已比賽8場，負(fù)了 1場，得17分，請問：前8場比賽中這支球隊共勝了多少場？答案:（2）這支球隊打滿了 14場比賽，最高能得多少分？1 . a0 2 . -5 ,

23、-4 , -3 , -2 , -1（3）通過對比賽情況的分析，這支球隊打滿14場比賽得分不低于29分，？就可以達(dá)到預(yù)期目3. x6 4 . 1, 2, 3 5 . 1 6 . a -2(2) x 7 數(shù)軸上表示略20 .設(shè)她在甲商場購物x元（x100）,就比在乙商場購物優(yōu)惠25 .宏志高中高一年級近幾年招生人數(shù)逐年增加，去年達(dá)到550名，？其中面向全省招收的“宏志班”學(xué)生，也有一般普通班學(xué)生.由于場地、師資等限制，今年題意最多比去年增加00） 2100(2)當(dāng) +60=+30 時，解得 x=600.二 y 18二當(dāng)顧客購物600元時，到兩家超市購物所付費(fèi)用相同；答：至少應(yīng)安排18名工人制作襯衫

24、.當(dāng) +60+30時，解得 xv600,而 x300,. 300x600.23.( 1)依題意，得即顧客購物超過 300元且不滿600元時，到乙超市更優(yōu)惠；y=150 X 6x+260 X 5 (20-x ) =-400x+26000 (0 x 20)當(dāng)+60600,即當(dāng)顧客購物超過600元時2)依題意得市更優(yōu)Ix+26000 24000.22.( 1)設(shè)應(yīng)安排x名工人制作襯衫，由題意得:解得 x 100.(2)最高分即后面的比賽全勝，因此最高得分為:17+3 X( 14-8) =35 (分).答：這個球打完14場最高得分為35分.于是(1+10% x 110,答：今年最少可招收“宏志班”學(xué)生

25、110名.(3) 設(shè)勝x場，平y(tǒng)場，總分不低于29分，可得 17+3x+y29, 3x+y12, x+yb,則下列不等式中正確的是一元一次不等式和一元一次不等式組班別:學(xué)號:姓名:(A)a b 0(B)5a 5b(C)a 8 b 8 (D)評分：1.2.4.6.8.9.填空題：(每小題2分，共20分)12 .在數(shù)軸上表示不等式x 2的解集，正確的是若 xy，貝U x 2y 2 ；(填“ 或=”號)(A)(B)(C)13 .已知兩個不等式的解集在數(shù)軸上如圖表示，那么這個解集 .不等式2x x 2的解集是 ；( )時，代數(shù)式3 2y的值至少為1 ； 5.不等式6 12x 0的解集是 ；44(A)x

26、 1(B)x 1若 I 9，則 3ab ；(填“ 或=”號)3不等式7 x 1的正整數(shù)解為:X的3與12的差不小于6,用不等式表示為5不等式組3：; 0的整數(shù)解是；7 .若一次函數(shù)y 2x 6，當(dāng)x時，y 0 ;(C)3 x 1( D)x 314 .不等式2(x 2) W x 2的非負(fù)整數(shù)解的個數(shù)為(A)1(B)2(C)310.若關(guān)于x的方程組3： 3y p 1的解滿足xy，則p 1取下列不等式求解的結(jié)果，正確的是(C)不等式組X 5無解x 716.把不等式組(A)x -( B)0一30的解集表示在數(shù)軸上，正確的是圖中的01(C)三.解下列不等式(組)，并把解集在數(shù)軸上表示出來:(A)不等式組

27、x 3的解集是x 3( B)不等式組 一次函數(shù)y 3x 3的圖象如圖所示，2 當(dāng)3 y 3時，x的取值范圍是()(A)x 4(B)0x2 5的解集是圖像，可以得出不等式組x 5x 43x丄0的解集(D)不等式組0.5x10的解集是3 x 10a 123 3x322x5x 62 x24x 3(x1 2x2)4x 117如圖所示，天平右盤中的每個破碼的質(zhì)量都是1g,貝V物體A的質(zhì)量m(g)的取值范圍在21 2x 5 3x 422 10 4(x 3)數(shù)軸上：可表示為圖1- 1 1中的( )18.已知關(guān)于x的不等式(1 a)x 3的解集為x 丄，則a的取值范圍是()(A)1 aa 0(B)a 1(C)a 0(D)(C)0x4(D)2x425.(6 分)26、(6 分)27.(7 分)每通話選作：（10分）x為何值時，代數(shù)式 口的值是非負(fù)數(shù)？（ 10廣西桂林）某校初三年級春游，現(xiàn)有2536座和42座兩種客占干輛，則正好坐滿；若只租用 42座客車，則能少租一輛，且有 的解是非正數(shù)，求m的取值范圍.知36座客車每輛租金 400元，42座客車每輛租金 440元.我市移動通訊公司開設(shè)了兩種通訊業(yè)務(wù)，A類是固定用戶：先繳 50元基礎(chǔ)費(fèi)，然后（1）該校初三年級共