高中經(jīng)典物理模型之構建復合運動模型解析物體運動問題解答技巧及解題思路

1、構建復合運動模型 解析物體運動問題抽象物理模型是解答物理問題的關鍵在對簡單問題進行模型化處理時，?？砂阉橄鬄橐粋€已知的物理模型，然而在對某些比較復雜問題進行模型化處理時，常常通過聯(lián)想舊模型、創(chuàng)造新模型來構建復合模型（或稱模型鏈）.構建復合物理模型能將復雜問題轉化為簡單問題的組合，使問題得到順利解答.本文通過結合具體教學實例就如何構建復合運動模型來巧解物理競賽中復雜運動問題. 一、構建直線運動和圓周運動的復合運動模型1.構建同一平面內(nèi)直線運動和圓周運動的復合運動模型，解答擺線運動問題 例1如圖1所示，一質(zhì)量為m、帶電量為q的小球從磁感應強度為B的勻強磁場中A點由靜止開始下落，試求帶電小球下落的

2、最大高度h 圖1分析與解可以證明這個問題中帶電小球運動軌跡是比較復雜的擺線，對高中學生而言從合運動角度分析這個問題比較困難.現(xiàn)構建小球有兩個大小相等、方向相反的水平初速度v、v2，所構建的這兩個分運動與小球原有初始運動條件等效.現(xiàn)使小球的分運動v產(chǎn)生的洛倫茲力為qvBmg則vmgqB，因而小球的運動可視為沿水平方向以速度v做勻速直線運動和在豎直平面內(nèi)以速度v2做逆時針方向的勻速圓周運動的合運動.勻速圓周運動的半徑Rmv2qBg（mqB）2，因而小球在運動過程中下落的最大高度為m22g（mqB）2. 通過構建勻速直線運動和勻速圓周運動復合模型，巧妙地解答了這個復雜問題. 2.構建不同平面內(nèi)的直線

3、運動和圓周運動的復合運動模型，解答螺旋運動問題 例2如圖2所示，兩個平行板內(nèi)存在互相平行的勻強電場和勻強磁場，電場強度為E，方向豎直向上，磁感應強度為B.在平行板的右端處有一熒光屏MN，中心為O，OO既垂直電場方向又垂直熒光屏，長度為L.在熒光屏上以O點為原點建立一直角坐標系，y軸方向豎直向上，x軸正方向垂直紙面向外.現(xiàn)有一束具有相同速度和荷質(zhì)比的帶正電粒子束，沿OO方向從O點射入此電場區(qū)域，最后打在熒光屏上若屏上亮點坐標為（L3，6），重力不計.試求：（1）磁場方向；（2）帶電粒子的荷質(zhì)比.圖2分析與解帶電粒子在相互平行的勻強電場與磁場中運動為比較復雜的三維運動（螺旋線運動），根據(jù)力和運動獨

4、立作用原理，可以把此螺旋運動構建為y軸方向上的加速直線運動和xOz平面內(nèi)的勻速圓周運動的復合運動模型.在xOz平面內(nèi)構建出如圖3所示的幾何圖景，由圖3運用物理知識和三角形知識可得：磁場方向豎直向上，且圖3R2L3， sin2，6.粒子在磁場中運動的時間為 t6m（3qB），結合yEqt2（2m）6得粒子的荷質(zhì)比為 qmE2（3B2L）. 二、構建簡諧運動和圓周運動的復合運動模型 1.構建簡諧運動和圓周運動的復合運動模型，巧解“狗追擊狼”的問題 例3如圖4所示，一只狼沿半徑為R的圓形軌道邊緣按逆時針方向勻速跑動當狼經(jīng)過A點時，一只獵狗以相同的速度從圓心O點出發(fā)追擊狼設追擊過程中，狼、狗、O點始終

5、在同一條直線上問：狗沿什么軌跡運動?在何處追上狼? 分析與解由于狗、狼、O點始終在同一條直線上，狗與狼沿運動軌道的切向的角速度相等，因而可以把狗的運動構建為徑向運動和切向圓周運動的復合運動.設當狗離開圓心距離r時，狗的徑向速度為vr，切向速度為vt,則圖4vtrvr，由圖4可知 vr 由此可知，狗在徑向相對圓心O做簡諧運動，狗的運動為徑向簡諧運動和切向圓周運動的復合運動.由簡諧運動知識可知rsint，任意時刻狗的直角坐標為 xrcos，yrsin，結合t，得 sintcost（12）sin（2t）， ysin2（12）1cos（2t），因而得狗的軌跡方程為 x2（y2）2（2）2 即狗的軌跡為

6、一個半徑為R2的圓，在圓形軌道的B點追上狼. 有關例3問題在很多參考書上有各種不同解法，筆者認為上述運用構建圓周運動和簡諧運動的復合運動模型的方法解答此問題最簡捷. 2.構建簡諧運動和圓周運動的復合運動模型，巧解“有心力作用”問題 例4如圖5所示，兩個同軸的帶電無限長半圓柱面，內(nèi)外圓柱面的半徑分別為a、b.設在圖中arb區(qū)域內(nèi)只有徑向電場，電勢分布為Uklnbr，其中為常量.由此電勢分布可得出電場強度分布為Er.現(xiàn)有一質(zhì)量為m、初速為v、帶電量為q的粒子從左方A處射入，且v既與圓柱面軸線垂直又與入射處的圓柱的直徑垂直（不計帶電粒子的重力）.圖5（1）試問v為何值時可使粒子沿半徑為R（Ra）的半

7、圓軌道運動? （2）若粒子的入射方向與上述v偏離一個很小的角度（仍然在圖5所示的紙面內(nèi)），其它條件不變，則粒子將偏離（1）中的半圓軌道設新軌道與原半圓軌道相交于P點.試證明：對于很小的角，P點的位置與角無關，并求出P點的方位角AOP的數(shù)值. 分析與解（1）根據(jù)帶電粒子在徑向電場中做圓周運動的條件，即帶電粒子所受的電場力等于粒子沿徑向指向圓心O的向心力，得 （mv2R）qE（qkR），則. （2）帶電粒子運動軌跡看似比較復雜，但考慮到較小，粒子沿切向的分速度為vtvcosv，徑向的分速度vrvsinv很小若運用力和運動獨立性原理，則把此復雜的運動可構建為沿著半徑為R的勻速圓周運動和徑向的振幅較小

8、的簡諧運動的復合運動.粒子沿徑向做簡諧運動的平衡位置為r，設振動時的微小位移為x，回復力Fr滿足 qk（rx）rmv2t（rx），即Frqk（rx）mv2t/（rx），由角動量守恒，得 mvrmvt（rox），由于xr，運用數(shù)學近似處理，有 1（rx）（1xr）r， 1（rx）（13xr）r，結合qkrmv2r，得Fr2mv2xr2令k2mv2r2粒子沿徑向做簡諧運動的周期為 T2rv 粒子第一次到達平衡位置P點時經(jīng)過時間為tT2，粒子做勻速圓周運動轉過的角度為 vtr（2） 三、構建兩個簡諧運動模型 1.構建兩條直線上的復合簡諧運動模型 例5如圖6所示，一彈性細繩穿過水平面上光滑的小孔O連接

9、一質(zhì)量為m的小球，另一端固定于地面上A點，彈性繩的原長為OA，勁度系數(shù)為k現(xiàn)將小球拉到B位置使OB，并給小球P以初速度v，且v垂直O(jiān)B.試求：（1）小球繞O點轉動90至C點處所需時間；（2）小球到達C點時的速度圖6分析與解（1）設OB為x軸方向，OC為y軸方向，當小球和O點的連線與x軸成角且與O點相距為r時，彈性繩對小球的彈力為Fkr.將力F沿著x、y兩個方向分解，有 FxFcoskcoskx， FyFsinkrsinky. 由此可知，小球在x方向做初速度為零的簡諧運動，在y方向上做初速度為v的簡諧運動，小球運動可視為兩個簡諧運動組成的復合運動模型.小球到達C點時，x=0，即小球恰好經(jīng)過x軸方

10、向上做簡諧運動的平衡位置，故小球從B點運動到C點所經(jīng)過的時間為小球沿x軸方向做簡諧運動的周期的四分之一，即 t4（2） （2）因為小球到達C點時在y軸方向上速度為零，所以小球在C點的速度就是在x軸方向上的最大速度，則 vCvxmax. 2.構建雙振子復合模型，解答多體振動問題 例6如圖7所示，質(zhì)量為2m的均勻帶電球M的半徑為R，帶電量為，開始靜止在光滑的水平面上.在通過直徑的直線上開一個很小的絕緣、光滑的水平通道.現(xiàn)在球M的最左端A處，由靜止開始釋放一質(zhì)量為m、帶電量為的點電荷N.若只考慮兩電荷間的相互靜電力.試求點電荷運動到帶電球M的球心時兩帶電體的速度.圖7分析與解均勻帶電球M在球內(nèi)離球心距離為x處產(chǎn)生的電場強度為EkQx，點電荷N在此處所受的電場力為FkQ2x，此時帶電球M所受的電場力也為FMkQ2x，因而可將此系統(tǒng)構建為類似如圖8所示的雙振子相對質(zhì)心O點做簡諧運動.由質(zhì)心運動定理可知，系統(tǒng)的質(zhì)心點靜止不動，質(zhì)心O點距開始靜止的球心O點的距離為x，則 圖8（）（3）以質(zhì)心O為雙振子振動的平衡位置，令kkQ2，N相對質(zhì)心