微積分-10_1-二重積分概念

1、第十章,一元函數(shù)積分學(xué),多元函數(shù)積分學(xué),重積分,曲線積分,曲面積分,重 積 分,三、二重積分的性質(zhì),第一節(jié),一、引例,二、二重積分的定義與可積性,四、曲頂柱體體積的計算,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,二重積分的概念與性質(zhì),第十章,解法: 類似定積分解決問題的思想:,一、引例,1.曲頂柱體的體積,給定曲頂柱體:,底： xoy 面上的閉區(qū)域 D,頂: 連續(xù)曲面,側(cè)面：以 D 的邊界為準線 , 母線平行于 z 軸的柱面,求其體積.,“大化小, 常代變, 近似和, 求 極限”,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,1)“大化小”,用任意曲線網(wǎng)分D為 n 個區(qū)域,以它們?yōu)榈装亚斨w分為 n 個,2

2、)“常代變”,在每個,3)“近似和”,則,中任取一點,小曲頂柱體,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,4)“取極限”,令,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,2. 平面薄片的質(zhì)量,有一個平面薄片, 在 xoy 平面上占有區(qū)域 D ,計算該薄片的質(zhì)量 M .,度為,設(shè)D 的面積為 ,則,若,非常數(shù) ,仍可用,其面密,“大化小, 常代變,近似和, 求 極限”,解決.,1)“大化小”,用任意曲線網(wǎng)分D 為 n 個小區(qū)域,相應(yīng)把薄片也分為小區(qū)域 .,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,2)“常代變”,中任取一點,3)“近似和”,4)“取極限”,則第 k 小塊的質(zhì)量,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,

3、兩個問題的共性：,(1) 解決問題的步驟相同,(2) 所求量的結(jié)構(gòu)式相同,“大化小, 常代變, 近似和,取極限”,曲頂柱體體積:,平面薄片的質(zhì)量:,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,二、二重積分的定義及可積性,定義:,將區(qū)域 D 任意分成 n 個小區(qū)域,任取一點,若存在一個常數(shù) I , 使,可積 ,在D上的二重積分.,積分和,是定義在有界區(qū)域 D上的有界函數(shù) ,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,引例1中曲頂柱體體積:,引例2中平面薄板的質(zhì)量:,如果 在D上可積,也常,二重積分記作,這時,分區(qū)域D ,因此面積元素,可用平行坐標軸的直線來劃,記作,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,二重積分存

4、在定理:,若函數(shù),定理2.,(證明略),定理1.,在D上可積.,限個點或有限個光滑曲線外都連續(xù) ,積.,在有界閉區(qū)域 D上連續(xù),則,若有界函數(shù),在有界閉區(qū)域 D 上除去有,例如,在D :,上二重積分存在 ;,在D 上,二重積分不存在 .,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,三、二重積分的性質(zhì),( k 為常數(shù)), 為D 的面積, 則,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,特別, 由于,則,5. 若在D上,6. 設(shè),D 的面積為 ,則有,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,7.(二重積分的中值定理),證: 由性質(zhì)6 可知,由連續(xù)函數(shù)介值定理, 至少有一點,在閉區(qū)域D上, 為D 的面積 ,則至少存在一

5、點,使,使,連續(xù),因此,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例1. 比較下列積分的大小:,其中,解: 積分域 D 的邊界為圓周,它與 x 軸交于點 (1,0) ,而域 D 位,從而,于直線的上方, 故在 D 上,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例2. 判斷積分,的正負號.,解: 分積分域為,則,原式 =,猜想結(jié)果為負 但不好估計 .,舍去此項,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例3. 估計下列積分之值,解: D 的面積為,由于,積分性質(zhì)5,即: 1.96 I 2,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,8. 設(shè)函數(shù),D 位于 x 軸上方的部分為D1 ,當區(qū)域關(guān)于 y 軸對稱, 函數(shù)關(guān)于變量

6、x 有奇偶性時, 仍,在 D 上,在閉區(qū)域上連續(xù),域D 關(guān)于x 軸對稱,則,則,有類似結(jié)果.,在第一象限部分, 則有,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,四、曲頂柱體體積的計算,設(shè)曲頂柱的底為,任取,平面,故曲頂柱體體積為,截面積為,截柱體的,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,稱為二次積分或累次積分。,同樣, 曲頂柱的底為,則其體積可按如下兩次積分計算,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,也稱為二次積分或累次積分。,例4. 求兩個底圓半徑為R 的直角圓柱面所圍的體積.,解: 設(shè)兩個直圓柱方程為,利用對稱性, 考慮第一卦限部分,其曲頂柱體的頂為,則所求體積為,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束

7、,內(nèi)容小結(jié),1. 二重積分的定義,2. 二重積分的性質(zhì),(與定積分性質(zhì)相似),3. 曲頂柱體體積的計算,二次積分法,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,被積函數(shù)相同, 且非負,思考與練習(xí),解:,由它們的積分域范圍可知,1. 比較下列積分值的大小關(guān)系:,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,2. 設(shè)D 是第二象限的一個有界閉域 , 且 0 y 1, 則,的大小順序為 ( ),提示: 因 0 y 1, 故,故在D上有,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,3. 計算,解:,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,4. 證明:,其中D 為,解: 利用題中 x , y 位置的對稱性, 有,又 D 的面積為 1 ,故結(jié)論成立 .,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,