【物理】物理萬有引力定律的應(yīng)用專項(xiàng)習(xí)題及答案解析

1、【物理】物理萬有引力定律的應(yīng)用專項(xiàng)習(xí)題及答案解析一、高中物理精講專題測(cè)試萬有引力定律的應(yīng)用1 中國計(jì)劃在2017 年實(shí)現(xiàn)返回式月球軟著陸器對(duì)月球進(jìn)行科學(xué)探測(cè)，宇航員在月球上著陸后，自高h(yuǎn) 處以初速度v0 水平拋出一小球，測(cè)出水平射程為L（這時(shí)月球表面可以看作是平坦的），已知月球半徑為R，萬有引力常量為G，求：（1 ）月球表面處的重力加速度及月球的質(zhì)量M 月 ；（2 ）如果要在月球上發(fā)射一顆繞月球運(yùn)行的衛(wèi)星，所需的最小發(fā)射速度為多大？（3 ）當(dāng)著陸器繞距月球表面高H 的軌道上運(yùn)動(dòng)時(shí)，著陸器環(huán)繞月球運(yùn)動(dòng)的周期是多少?【答案】（ 12hV02 R2（ 2）V02hR （ 3L( R H ) 2(R

2、H )） M） ThGL2LRV0【解析】【詳解】（1）由平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律可得：h1 gt 22Lv0tg2hv02L2由 GMm mg R22hv02 R2MGL2（ 2）GMRGv02hRv1LR（3）萬有引力提供向心力，則GMm2m RH22TR H解得：L RH2 R HThRv02 一宇航員站在某質(zhì)量分布均勻的星球表面上沿豎直方向以初速度得小球經(jīng)時(shí)間 t 落回拋出點(diǎn)，已知該星球半徑為 R，引力常量為v0 拋出一個(gè)小球，測(cè)G，求：(1)該星球表面的重力加速度；(2)該星球的密度；(3)該星球的 “第一宇宙速度 ”【答案】 (1)g2v0(2)3v0(3) v2v0 Rt2RGtt【解析】

3、(1) 根據(jù)豎直上拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律可知，小球上拋運(yùn)動(dòng)時(shí)間2v0tg可得星球表面重力加速度： g2v0 t(2)星球表面的小球所受重力等于星球?qū)π∏虻奈?，則有：GMmmgR2gR22v0 R2得： MGtG4R3因?yàn)?V3則有：M3v0V2RGt(3)重力提供向心力，故該星球的第一宇宙速度mgm v2R2v0RvgRt【點(diǎn)睛 】本題主要抓住在星球表面重力與萬有引力相等和萬有引力提供圓周運(yùn)動(dòng)向心力，掌握豎直上拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律是正確解題的關(guān)鍵3 牛頓說：“我們必須普遍地承認(rèn)，一切物體，不論是什么，都被賦予了相互引力的原理”任何兩個(gè)物體間存在的相互作用的引力，都可以用萬有引力定律F萬 =G m1m2計(jì)r 2算

4、，而且任何兩個(gè)物體之間都存在引力勢(shì)能，若規(guī)定物體處于無窮遠(yuǎn)處時(shí)的勢(shì)能為零，則二者之間引力勢(shì)能的大小為 Ep =-G m1m2，其中 m1、m2 為兩個(gè)物體的質(zhì)量， r 為兩個(gè)質(zhì)r點(diǎn)間的距離（對(duì)于質(zhì)量分布均勻的球體，指的是兩個(gè)球心之間的距離），G 為引力常量設(shè)有一個(gè)質(zhì)量分布均勻的星球，質(zhì)量為M，半徑為 R（ 1）該星球的第一宇宙速度是多少？（ 2）為了描述電場(chǎng)的強(qiáng)弱，引入了電場(chǎng)強(qiáng)度的概念，請(qǐng)寫出電場(chǎng)強(qiáng)度的定義式類比電場(chǎng)強(qiáng)度的定義，請(qǐng)?jiān)谝?chǎng)中建立“引力場(chǎng)強(qiáng)度”的概念，并計(jì)算該星球表面處的引力場(chǎng)強(qiáng)度是多大？（ 3）該星球的第二宇宙速度是多少？（ 4）如圖所示是一個(gè)均勻帶電實(shí)心球的剖面圖，其總電荷量

5、為+Q（該帶電實(shí)心球可看作電荷集中在球心處的點(diǎn)電荷），半徑為R， P 為球外一點(diǎn)，與球心間的距離為r，靜電力常量為 k現(xiàn)將一個(gè)點(diǎn)電荷 -q（該點(diǎn)電荷對(duì)實(shí)心球周圍電場(chǎng)的影響可以忽略）從球面附近移動(dòng)到 p 點(diǎn)，請(qǐng)參考引力勢(shì)能的概念，求電場(chǎng)力所做的功【答案】（ 1）v1GM ；（ 2） E引 =G M；（ 3）v22GM ；（ 4）RR2RW kQq( 11 )rR【解析】【分析】【詳解】(1)設(shè)靠近該星球表面做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的衛(wèi)星的速度大小為v1 ，萬有引力提供衛(wèi)星做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力G mMm v12R2R解得： v1GM ；RF(2)電場(chǎng)強(qiáng)度的定義式Eq設(shè)質(zhì)量為m 的質(zhì)點(diǎn)距離星球中心的距離為r，質(zhì)

6、點(diǎn)受到該星球的萬有引力MmF引 =Gr 2F引質(zhì)點(diǎn)所在處的引力場(chǎng)強(qiáng)度E引 =mM得 E引 =G r 2M該星球表面處的引力場(chǎng)強(qiáng)度E引 = G(3)設(shè)該星球表面一物體以初速度v2 向外拋出，恰好能飛到無窮遠(yuǎn)，根據(jù)能量守恒定律1 mv222G mM R0解得：v22GMR；(4)點(diǎn)電荷-q 在帶電實(shí)心球表面處的電勢(shì)能EP1kqQR點(diǎn)電荷 -q 在 P 點(diǎn)的電勢(shì)能EP 2qQkr點(diǎn)電荷 -q 從球面附近移動(dòng)到P 點(diǎn)，電場(chǎng)力所做的功 W( EP 2 EP1 )11解得： WkQq () 4“天舟一號(hào) ”貨運(yùn)飛船于2017 年 4 月 20 日在海南文昌航天發(fā)射中心成功發(fā)射升空，完成了與天宮二號(hào)空間實(shí)驗(yàn)

7、室交會(huì)對(duì)接。已知地球質(zhì)量為M ，半徑為R，萬有引力常量為G。（1）求質(zhì)量為m 的飛船在距地面高度為h 的圓軌道運(yùn)行時(shí)的向心力和向心加速度大小。（2）若飛船停泊于赤道上，考慮地球的自轉(zhuǎn)因素，自轉(zhuǎn)周期為T0，求飛船內(nèi)質(zhì)量為m0 的小物體所受重力大小G0。（ 3）發(fā)射同一衛(wèi)星到地球同步軌道時(shí)，航天發(fā)射場(chǎng)一般選取低緯度還是高緯度發(fā)射基地更為合理？原因是什么？【答案】 (1)(2)(3)借助接近赤道的低緯度發(fā)射基地更為合理，原因是低緯度地區(qū)相對(duì)于地心可以有較大線速度，有較大的初動(dòng)能【解析】【詳解】（1）根據(jù)萬有引力定律和牛頓第二定律有解得（2）根據(jù)萬有引力定律及向心力公式，有及解得（ 3）借助接近赤道的

8、低緯度發(fā)射基地更為合理，原因是低緯度地區(qū)相對(duì)于地心可以有較大線速度，有較大的初動(dòng)能。52018 年 11 月，我國成功發(fā)射第41 顆北斗導(dǎo)航衛(wèi)星，被稱為“最強(qiáng)北斗 ”。這顆衛(wèi)星是地球同步衛(wèi)星，其運(yùn)行周期與地球的自轉(zhuǎn)周期T 相同。已知地球的半徑為 R，地球表面的重力加速度為g，求該衛(wèi)星的軌道半徑r?！敬鸢浮?r3R2 gT 24 2【解析】【分析】根據(jù)萬有引力充當(dāng)向心力即可求出軌道半徑大小?！驹斀狻抠|(zhì)量為 m 的北斗地球同步衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)牛頓第二定律有：G Mm m 4 2r ；r 2T 2在地球表面： GMm1m1 gR2聯(lián)立解得：r3 GMT 23 R2 gT242426 某

9、雙星系統(tǒng)中兩個(gè)星體A、 B 的質(zhì)量都是m，且 A、 B 相距 L，它們正圍繞兩者連線上的某一點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)實(shí)際觀測(cè)該系統(tǒng)的周期T 要小于按照力學(xué)理論計(jì)算出的周期理論值 T0，且k (） ，于是有人猜測(cè)這可能是受到了一顆未發(fā)現(xiàn)的星體C 的影響 ，并認(rèn)為 C 位于雙星 A、 B 的連線中點(diǎn) 求：(1)兩個(gè)星體 A、 B 組成的雙星系統(tǒng)周期理論值；(2)星體 C 的質(zhì)量【答案】（ 1）；（ 2）【解析】【詳解】(1) 兩星的角速度相同 ,根據(jù)萬有引力充當(dāng)向心力知 :可得：兩星繞連線的中點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng),則解得：(2) 因?yàn)?C 的存在 ,雙星的向心力由兩個(gè)力的合力提供,則再結(jié)合：k可解得：故本題答案是：（1

10、）；（ 2）【點(diǎn)睛】本題是雙星問題,要抓住雙星系統(tǒng)的條件:角速度與周期相同,再由萬有引力充當(dāng)向心力進(jìn)行列式計(jì)算即可.72016 年 2 月 11 日，美國 “激光干涉引力波天文臺(tái)”（LIGO）團(tuán)隊(duì)向全世界宣布發(fā)現(xiàn)了引力波，這個(gè)引力波來自于距離地球傳播的速度為c，太陽的質(zhì)量為13 億光年之外一個(gè)雙黑洞系統(tǒng)的合并已知光在真空中M0 ，萬有引力常量為G（1）兩個(gè)黑洞的質(zhì)量分別為太陽質(zhì)量的26 倍和39 倍，合并后為太陽質(zhì)量的62 倍利用所學(xué)知識(shí)，求此次合并所釋放的能量（ 2）黑洞密度極大，質(zhì)量極大，半徑很小，以最快速度傳播的光都不能逃離它的引力，因此我們無法通過光學(xué)觀測(cè)直接確定黑洞的存在假定黑洞為一

11、個(gè)質(zhì)量分布均勻的球形天體a因?yàn)楹诙磳?duì)其他天體具有強(qiáng)大的引力影響，我們可以通過其他天體的運(yùn)動(dòng)來推測(cè)黑洞的存在天文學(xué)家觀測(cè)到，有一質(zhì)量很小的恒星獨(dú)自在宇宙中做周期為T，半徑為 r 0的勻速圓周運(yùn)動(dòng)由此推測(cè)，圓周軌道的中心可能有個(gè)黑洞利用所學(xué)知識(shí)求此黑洞的質(zhì)量M；b嚴(yán)格解決黑洞問題需要利用廣義相對(duì)論的知識(shí)，但早在相對(duì)論提出之前就有人利用牛頓力學(xué)體系預(yù)言過黑洞的存在我們知道，在牛頓體系中，當(dāng)兩個(gè)質(zhì)量分別為m1、 m2 的質(zhì)點(diǎn)相距為 r 時(shí)也會(huì)具有勢(shì)能，稱之為引力勢(shì)能，其大小為E pG m1m2（規(guī)定無窮遠(yuǎn)處r勢(shì)能為零）請(qǐng)你利用所學(xué)知識(shí)，推測(cè)質(zhì)量為M“ ”的黑洞，之所以能夠成為黑 洞，其半徑R 最大不能

12、超過多少？【答案】（ 1） 3M02（ 2）4 2r032GMcMGT 2c2； R【解析】【分析】【詳解】（1）合并后的質(zhì)量虧損m(2639) M 062M 03M 0根據(jù)愛因斯坦質(zhì)能方程Emc2得合并所釋放的能量E3M 0c2（2） a小恒星繞黑洞做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，設(shè)小恒星質(zhì)量為m根據(jù)萬有引力定律和牛頓第二定律Mm22Gmr0r02T解得M 4 2 r032GTb設(shè)質(zhì)量為m 的物體，從黑洞表面至無窮遠(yuǎn)處；根據(jù)能量守恒定律1 mv2G Mm02R解得2GMRv2因?yàn)檫B光都不能逃離，有v =c 所以黑洞的半徑最大不能超過2GMRc28 我們將兩顆彼此相距較近的行星稱為雙星，它們?cè)谌f有引力作用下間

13、距始終保持不變，且沿半徑不同的同心軌道作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，設(shè)雙星間距為L，質(zhì)量分別為M1、 M2 ( 萬有引力常量為 G)試計(jì)算：12雙星的軌道半徑雙星運(yùn)動(dòng)的周期【答案】 1 ? M 2L，M 1L ； 2 ?2 LL；M 1 M 2M 1M 2G M 1M 2【解析】設(shè)行星轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為，周期為T1 如圖，對(duì)星球 M 1 ，由向心力公式可得：G M 1 M 2M 1 R12L2同理對(duì)星 M 2，有： G M 1M 2M 2R 2 2L2兩式相除得：R1M 2 ，)R 2( 即軌道半徑與質(zhì)量成反比M 1又因?yàn)?LR 1R 2所以得： R 1M 2L， R 2M 1LM 1M 2M 1 M 22 有

14、上式得到：1G M 1M 2LL因?yàn)?T2，所以有： T2LLG M 1M 2答： 1雙星的軌道半徑分別是M 2L ， M 1L ；M 1 M 2M 1 M 2L2 雙星的運(yùn)行周期是2LG M 1M 2點(diǎn)睛：雙星靠相互間的萬有引力提供向心力，抓住角速度相等，向心力相等求出軌道半徑之比，進(jìn)一步計(jì)算軌道半徑大小；根據(jù)萬有引力提供向心力計(jì)算出周期9 設(shè)想若干年后宇航員登上了火星，他在火星表面將質(zhì)量為m 的物體掛在豎直的輕質(zhì)彈簧下端，靜止時(shí)彈簧的伸長量為x，已知彈簧的勁度系數(shù)為k，火星的半徑為R，萬有引力常量為 G，忽略火星自轉(zhuǎn)的影響。（ 1）求火星表面的重力加速度和火星的質(zhì)量；（ 2）如果在火星上發(fā)

15、射一顆貼近它表面運(yùn)行的衛(wèi)星，求該衛(wèi)星做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的線速度和周期?！敬鸢浮浚?1） g= kx， M= kxR 2； （ 2） v=kxR ，2 mRmGmmkx【解析】【詳解】（1）物體靜止時(shí)由平衡條件有: mg=kx，所以火星表明的重力加速度g= kx ；在火星表面m重力由萬有引力產(chǎn)生：mg=G mM ，解得火星的質(zhì)量M= kxR 2。R2Gm（2）重力提供近地衛(wèi)星做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力：mg=m v2，解得衛(wèi)星的線速度v= kxR ；Rm近地衛(wèi)星的周期 T= 2R =2 mR 。vkx10 雙星系統(tǒng)一般都遠(yuǎn)離其他天體，由兩顆距離較近的星體組成，在它們之間萬有引力的相互作用下，繞中心連線上的某點(diǎn)做周期相同的勻速圓周運(yùn)動(dòng)。如地月系統(tǒng)，忽略其他星體的影響和月球的自轉(zhuǎn)，把月球繞地球的轉(zhuǎn)動(dòng)近似看做雙星系統(tǒng)。已知月球和地球之間的距離為 r，運(yùn)行周