化歸思想在初中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

1、【摘要】化歸思想是中學(xué)數(shù)學(xué)最重要的思想方法之一。本文從化歸的功能，化歸的原則，化歸的思維模式以及中學(xué)數(shù)學(xué)中化歸的基本形式，化歸的特點(diǎn)等內(nèi)容出發(fā)，力求比較全面地體現(xiàn)化歸思想在初中數(shù)學(xué)解題中的作用和地位?！娟P(guān)鍵詞】化歸思想 化歸的原則 教學(xué)策略 化歸思想要點(diǎn)新課程標(biāo)準(zhǔn)指出：“數(shù)學(xué)為其他科學(xué)提供了語言、思想和方法，是一切重大技術(shù)發(fā)展的基礎(chǔ)?！薄敖處煈?yīng)激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，向?qū)W生提供充分從事數(shù)學(xué)活動的機(jī)會，幫助他們在自主探究和合作交流的過程中真正理解和掌握基本的數(shù)學(xué)知識和技能、數(shù)學(xué)思想和方法，獲得廣泛的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)?！睆闹形覀兛梢钥闯鲂抡n程標(biāo)準(zhǔn)下的數(shù)學(xué)教學(xué)更加突出培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思想的重要性，而數(shù)學(xué)思想

2、同樣離不開數(shù)學(xué)方法的支持。數(shù)學(xué)是一門演繹推理的學(xué)科。它的任一分支在其內(nèi)容展開過程中，都有形或無形地存在著如下的結(jié)論鏈：原始概論結(jié)論A結(jié)論B結(jié)論C從中我們可以發(fā)現(xiàn)，在解決某一個具體問題時，不必都從原始概念開始，而只要把待解決的問題轉(zhuǎn)化為結(jié)論鏈中的某一環(huán)節(jié)即可。所以，初中數(shù)學(xué)中，化歸思想的運(yùn)用尤為突出，本文結(jié)合自己的工作實(shí)際對化歸思想提出了一些自己的看法。一、化歸思想的涵義和作用化歸思想，又稱轉(zhuǎn)換思想或轉(zhuǎn)化思想，是一種把待解決或未解決的問題，通過某種轉(zhuǎn)化過程歸結(jié)到一類已經(jīng)能解決或比較容易解決的問題中去，最終求得問題解答的數(shù)學(xué)思想?；瘹w法和數(shù)形結(jié)合方法是轉(zhuǎn)化思想在數(shù)學(xué)方法論上的體現(xiàn)，是數(shù)學(xué)中普遍適用

3、的重要方法。二、化歸思想的基本原則數(shù)學(xué)中的化歸有其特定的方向，一般為：化復(fù)雜為簡單；化抽象為具體；化生疏為熟悉；化難為易；化一般為特殊；化特殊為一般；化“綜合”為“單一”；化“高維”為“低維”等。為更好地把握化歸方向，我們必須遵循一些化歸的基本原則，化歸思想的基本原則主要有熟悉化原則、簡單化原則、具體化原則、極端化原則、和諧化原則。熟悉化原則熟悉化就是把我們所遇到的“陌生”問題轉(zhuǎn)化為我們較為“熟悉”的問題，以便利用已有的知識和經(jīng)驗(yàn)，使問題得到解決。這也是我們常說的通過“舊知”解決“新知”。學(xué)習(xí)是新舊知識相互聯(lián)系、相互影響的過程。奧蘇伯爾說，影響學(xué)習(xí)的最重要的因素是學(xué)生已知的內(nèi)容。在教學(xué)的應(yīng)用策

4、略中，他提出了設(shè)計(jì)“先行組織者”的做法，也就是在學(xué)生“已經(jīng)知道的知識”和“需要知道的知識”之間架起橋梁。這樣有利于學(xué)生解決問題。簡單化原則簡單化原則就是把比較復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為比較簡單的易于確定解決方案的問題，從而使問題獲解。中學(xué)數(shù)學(xué)受多年應(yīng)試教育的影響，有些問題被復(fù)雜化了，而學(xué)生對于這類問題卻又相當(dāng)頭疼，所以通過化歸，將問題變?yōu)楸容^簡單的形式、關(guān)系結(jié)構(gòu)，或者通過問題的簡單化，獲得解決復(fù)雜問題的思路，往往更容易讓學(xué)生接受。具體化原則具體化就是把比較抽象的問題轉(zhuǎn)化為比較具體、直觀的問題，以便形象地把握問題所涉及的各個對象之間的關(guān)系，使問題易于求解。新課程標(biāo)準(zhǔn)提出：數(shù)學(xué)教學(xué)要緊密聯(lián)系生活實(shí)際，注重探

5、索和合作，由具體到抽象。但絕不是只要讓學(xué)生直觀感受,滿足于具體的現(xiàn)象而忽視問題的本質(zhì)。對于抽象的關(guān)系,可以讓學(xué)生對一些具體的關(guān)系進(jìn)行觀察、比較、分析、歸納,逐步提高他們的思維的能力。極端化原則極端化原則就是運(yùn)用極端化位置或狀態(tài)的特性引出一般位置或狀態(tài)下的特性，從而獲得解決問題的思路。這也是我們常說的從一般到特殊再到一般。和諧化原則所謂“和諧”指的是配合得適當(dāng)和勻稱。和諧化原則就是在對問題進(jìn)行化歸時，要注意把條件和結(jié)論的表現(xiàn)形式轉(zhuǎn)化為更具數(shù)、式與形內(nèi)部固有的和諧統(tǒng)一特點(diǎn)的形式，以幫助我們?nèi)ゴ_定解決問題的方法。三、化歸思想的要點(diǎn)化歸思想方法的主要特點(diǎn)是它的靈活性和多樣性。一個數(shù)學(xué)問題，組成主要元素

6、之間的相互依存和相互聯(lián)系的形式是可變的，其形式并非唯一，而是多種多樣。所以應(yīng)用數(shù)學(xué)變換的方法去解決有關(guān)數(shù)學(xué)問題時，就沒有一個統(tǒng)一的模式可以遵循。因此，我們必須根據(jù)問題本身提供的信息，利用動態(tài)的思維，具體問題具體分析，去尋求有利于問題解決的化歸途徑和方法。1、注意緊盯化歸目標(biāo)，保證化歸的有效性、規(guī)范性化歸作為一種思想方法，應(yīng)包括化歸的對象、化歸的目標(biāo)、以及化歸的方法、途徑三個要素。因此，化歸思想方法的實(shí)施應(yīng)有明確的對象、設(shè)計(jì)好目標(biāo)、選擇好方法。而設(shè)計(jì)目標(biāo)是問題的關(guān)鍵。設(shè)計(jì)化歸目標(biāo)時，總是以課本中那些基礎(chǔ)知識、基本方法在應(yīng)用上已形成固定的問題（通常稱為規(guī)范性問題）為依據(jù)，而把要解決的問題化歸為成規(guī)

7、律問題（即問題的規(guī)范化）?；瘹w能不能如期完成，與化歸方法的選擇有關(guān)，同時還要考慮到化歸目標(biāo)的設(shè)計(jì)與化歸方法的可行性、有效性。因此，在解題過程中，始終必須緊緊盯住化歸的目標(biāo)，即始終應(yīng)該考慮這樣的問題：怎樣才能達(dá)到解原問題的目的。在這個大前提下，實(shí)施的化歸才是卓有成效的，盲目地選擇化歸的方向與方法必將走入死胡同。2、注意轉(zhuǎn)化的等價性，保證邏輯上的正確化歸包括等價化歸和非等價化歸，在中學(xué)數(shù)學(xué)中的化歸多為等價化歸，等價化歸要求轉(zhuǎn)化過程中的前因后果既是充分的，又是必要的，以保證轉(zhuǎn)化后的結(jié)果為原題的結(jié)果。3、注意轉(zhuǎn)化的多樣性，設(shè)計(jì)合理的轉(zhuǎn)化方案在轉(zhuǎn)化過程中，同一轉(zhuǎn)化目標(biāo)的達(dá)到，往往可能采取多種轉(zhuǎn)化途徑和方

8、法。因此研究設(shè)計(jì)合理、簡捷的轉(zhuǎn)化途徑是十分必要的，必須避免什么問題都死搬硬套，造成繁難不堪。四、化歸思想在解題中的應(yīng)用1、化未知問題為已知問題該法采取的措施是不對問題直接攻擊，而是對問題進(jìn)行變形、轉(zhuǎn)化。直至把它化歸為某個（些）已經(jīng)解決的問題或容易解決的問題。例.如圖，梯形ABCD中，ADBC，AB=CD，對角線AC、BD相交于O點(diǎn)，且ACBD，AD=3，BC=5，求AC的長。分析：此題是根據(jù)梯形對角線互相垂直的特點(diǎn)，通過平移對角線將等腰梯形轉(zhuǎn)化為直角三角形和平行四邊形，使問題得以解決。解：過D作DEAC交BC的延長線于點(diǎn)E，則得AD=CE，AC=DE，所以BE=BC+CE=8。ACBDBDDE

9、又AB=CDAC=BDBD=DE在RtBDE中， BD= 即AC=2、化新問題為舊問題將陌生的問題轉(zhuǎn)化為熟悉的問題，運(yùn)用自己熟悉的知識、經(jīng)驗(yàn)和問題來解決。例：教材中解二元一次方程是通過降次化歸成一元一次方程；解二元一次方程組或三元一次方程組是通過消元化歸成一元一次方程或二元一次方程組；解分式方程是化歸成整式方程；異分母分?jǐn)?shù)的加減法，通過通分轉(zhuǎn)化成同分母分?jǐn)?shù)的加減法；多邊形的內(nèi)角和問題轉(zhuǎn)化為三角形的內(nèi)角和來解決；梯形的中位線問題轉(zhuǎn)化為三角形的中位線來解決。這些問題都是通過化新問題為舊問題，從而使問題得以解決。3、化復(fù)雜問題為簡單問題有些數(shù)學(xué)問題結(jié)構(gòu)復(fù)雜，若用常規(guī)手法過程繁瑣，對這個問題，可以從其

10、結(jié)構(gòu)入手，將結(jié)構(gòu)進(jìn)行轉(zhuǎn)化，另辟解題途徑。例：已知,求的值。分析：此題通過“化零散為整體”或利用降次來轉(zhuǎn)化，可使問題得以解決。解法一： =x(1x)+2(1x)+2009 = = =2010解法二：原式= =20104、特殊問題與一般問題的轉(zhuǎn)化特殊問題與一般問題的轉(zhuǎn)化是數(shù)學(xué)化歸的常用方法之一，其采取的措施主要是聯(lián)系已學(xué)過的各種知識利用數(shù)學(xué)的整體統(tǒng)一思想，將碰到的難解決的特殊問題轉(zhuǎn)化為一般的知識點(diǎn)或?qū)⒁话愕膯栴}轉(zhuǎn)化為特殊問題，以便套用公式或定理等解決。例3：如圖，已知兩個半圓，大半圓的弦AB與小半圓相切，且AB CD。AB=6cm，求圖中陰影部分面積。分析：要求陰影面積，即大半圓面積減去小半圓面積

11、。但在這里兩個半圓的半徑都未知，在圖（1）中較難發(fā)現(xiàn)兩個半徑與AB的關(guān)系，若把圖（1）中小半圓移動，使兩個半圓的圓心重合，如圖（2），陰影部分的面積不變。此時我們?nèi)菀装l(fā)現(xiàn)兩個半圓的半徑的平方差等于的平方，這樣便可求得圖中陰影部分面積。解：設(shè)大半圓和小半圓的半徑分別為R和r，則 5、化代數(shù)問題為幾何問題（即數(shù)形轉(zhuǎn)化思想）著名的數(shù)學(xué)家華羅庚教授曾在一首詩中寫道：數(shù)形結(jié)合百般好，兩家分離萬事休。這一句話道出了數(shù)形結(jié)合這一方法的重要性。數(shù)形結(jié)合是把函數(shù)、方程、不等式等代數(shù)形式中的量與量的關(guān)系，同幾何圖形的位置關(guān)系相結(jié)合，以形論數(shù)或以數(shù)論形。因數(shù)能入微，形可直觀，二者結(jié)合起來能使隱含的條件明顯化；使抽象

12、的概念形象化；使繁雜的運(yùn)算簡捷化；可以靈活、直觀地解決問題。例：已知直線 x軸、y軸的交點(diǎn)分別是B、A，直線與x軸、y軸的交點(diǎn)分別是D、C。求四邊形ABCD的面積.分析：欲求四邊形ABCD的面積，先在同一坐標(biāo)系中把它的圖象畫出，如下圖，由于直接求不易得出，可把四邊形ABCD分成ABD和BCD來求。解：在直線中，當(dāng)x0時，所以A點(diǎn)坐標(biāo)為（0，4），當(dāng)時，x2，所以B點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，0）；在直線中，當(dāng)x0時，所以C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，3）.當(dāng)時，x6，所以D點(diǎn)的坐標(biāo)為（6，0）.函數(shù)圖象如右圖：=五、化歸思想方法的教學(xué)策略縱觀整個初中數(shù)學(xué)教學(xué)，我們不難發(fā)現(xiàn)初中數(shù)學(xué)教材中有很多問題都是需要用化歸思想來解決

13、，化歸思想在初中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中有著舉足輕重的作用，是一種非常重要的數(shù)學(xué)思想。那么如何在日常教學(xué)中更好的滲透和落實(shí)化歸思想呢？1、夯實(shí)基礎(chǔ)知識，完善知識結(jié)構(gòu)是落實(shí)化歸思想方法教學(xué)的基礎(chǔ)擁有扎實(shí)的基礎(chǔ)知識、掌握完整的知識結(jié)構(gòu)是實(shí)現(xiàn)化歸的基礎(chǔ)。教學(xué)實(shí)踐告訴我們，數(shù)學(xué)優(yōu)等生與差生區(qū)分的第一標(biāo)準(zhǔn)就是基礎(chǔ)知識及知識結(jié)構(gòu)掌握的程度不同，教學(xué)過程中，夯實(shí)基礎(chǔ)、完善知識結(jié)構(gòu)可從以下幾個方面做起：a、重視概念、公式、法則等基本數(shù)學(xué)模型的教學(xué)，為尋求化歸目標(biāo)奠定基礎(chǔ)。b、養(yǎng)成整理、總結(jié)數(shù)學(xué)方法的習(xí)慣，為尋求化歸方法奠定基礎(chǔ)。c、完善知識結(jié)構(gòu)，為尋求化歸方向奠定基礎(chǔ)。2、培養(yǎng)化歸意識，提高轉(zhuǎn)化能力是實(shí)現(xiàn)化歸思想方法教學(xué)

14、的關(guān)鍵數(shù)學(xué)是一個有機(jī)整體，它的各部分之間相互聯(lián)系、相互依存、相互滲透，使之構(gòu)成了縱橫交錯的立體空間，我們在研究數(shù)學(xué)問題的過程中，常需要利用這些聯(lián)系對問題進(jìn)行適當(dāng)轉(zhuǎn)化，使之達(dá)到簡單化、熟悉化的目的。要實(shí)施轉(zhuǎn)化，首先須明確轉(zhuǎn)化的一般原理，掌握基本的化歸思想和方法，并通過典型的問題加以鞏固和練習(xí)。因此，在平時的教學(xué)中，我們不斷教會學(xué)生解題，通過仔細(xì)的觀察、分析，由問題的條件、圖形特征和求解目標(biāo)的結(jié)構(gòu)形式聯(lián)想到與其有關(guān)的定義、公式、定理、法則、性質(zhì)、數(shù)學(xué)解題思想方法、規(guī)律以及熟知的相關(guān)問題解法，由此不斷轉(zhuǎn)化，建立條件和結(jié)論之間的橋梁，從而找到解題的思路和方法。3、掌握化歸的一般方法，是實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)化歸思想

15、方法教學(xué)的基本手段。樹立了化歸意識后，接下來的工作是探求化歸的方法。化歸的實(shí)質(zhì)是不斷變更問題，因此，可以從變形的成分這個方面去考慮，也可以從實(shí)現(xiàn)化歸的常用方法直接去考慮。4、深入教材，反復(fù)提煉與總結(jié)是實(shí)現(xiàn)化歸思想方法教學(xué)的基本途徑。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，要善于挖掘教材中蘊(yùn)含的化歸思想方法，注意不斷總結(jié)化歸法解題的一般原理、提煉蘊(yùn)含其中的思想方法，把化歸思想方法的教學(xué)融于各個環(huán)節(jié)之中，讓學(xué)生切實(shí)感受到化歸思想方法的存在形式及其發(fā)揮的作用。在概念形成、運(yùn)用的過程中滲透化歸思想；在定理、公式的探究和發(fā)現(xiàn)過程中深化化歸思想方法；在問題解決過程中領(lǐng)悟化歸思想方法；在知識的歸納總結(jié)過程中概括化歸思想方法。在教學(xué)過程中讓學(xué)生逐漸悟出數(shù)學(xué)中常常把新知識轉(zhuǎn)化已知知識、把一般轉(zhuǎn)化為特殊的解決問題的思路和方法。實(shí)踐證明，教師重視數(shù)學(xué)思想教育，發(fā)揮數(shù)學(xué)思想方法在數(shù)學(xué)中的作用，確實(shí)是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新精神與應(yīng)用能力、提高學(xué)生綜合素質(zhì)的一個重要途徑。在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，在向?qū)W生展示知識的發(fā)生、發(fā)展過程中，應(yīng)盡力向?qū)W生滲透化歸思想，培養(yǎng)學(xué)