模糊數(shù)學(xué)模型分析--講義共174頁

1、模糊數(shù)學(xué)模型分析,數(shù)學(xué)建模就是用數(shù)學(xué)語言描述實(shí)際現(xiàn)象的過程。這里的實(shí)際現(xiàn)象既包涵具體的自然現(xiàn)象比如自由落體現(xiàn)象，也包涵抽象的現(xiàn)象比如顧客對某種商品所取的價值傾向。這里的描述不但包括外在形態(tài)，內(nèi)在機(jī)制的描述，也包括預(yù)測，試驗(yàn)和解釋實(shí)際現(xiàn)象等內(nèi)容。一句話概括的講，用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問題即數(shù)學(xué)的應(yīng)用我們把現(xiàn)實(shí)生活中或生產(chǎn)實(shí)踐中所遇到的問題，加以分析，抽化出實(shí)質(zhì)的因素，而后應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決,數(shù)學(xué)建模競賽，它看重的是三個步驟：1、建立模型：實(shí)際問題數(shù)學(xué)問題；2、數(shù)學(xué)解答：數(shù)學(xué)問題數(shù)學(xué)解；3、模型檢驗(yàn)：數(shù)學(xué)解實(shí)際問題的解決,競賽中的發(fā)散性思維方法,借助于一系列問題來展開思路 這個問題與什么問題相似？ 如果將問

2、題分解成兩個或幾個部分會怎樣？ 極限情形（或理想狀態(tài)）如何？ 綜合問題的條件可得到什么結(jié)果？ 要實(shí)現(xiàn)問題的目標(biāo)需要什么條件？ 借助于下意識的聯(lián)想（靈感）來展開思路 抓住問題的個別條件或關(guān)鍵詞展開聯(lián)想或猜想 綜合所得到的聯(lián)想和猜想，得到一些結(jié)論 進(jìn)一步思考找出新思路和方法,競賽中的群體思維方法,平等地位、相互尊重、充分交流 杜絕武斷評價 不要回避責(zé)任 不要對交流失去信心,建模思想,用數(shù)學(xué)語言刻劃各種現(xiàn)象。 確定性的數(shù)學(xué)模型：用確定性的數(shù)學(xué)語言刻劃必然現(xiàn)象。 隨機(jī)性的數(shù)學(xué)模型：用概率刻劃隨機(jī)現(xiàn)象。 模糊性的數(shù)學(xué)模型：用模糊數(shù)學(xué)刻劃模糊現(xiàn)象,與模糊數(shù)學(xué)相關(guān)的問題（一,模糊數(shù)學(xué)研究和處理模糊性現(xiàn)象的數(shù)

3、學(xué) （概念與其對立面之間沒有一條明確的分界線） 與模糊數(shù)學(xué)相關(guān)的問題（一） 模糊分類問題已知若干個相互之間不分明的模糊概念，需要判斷某個確定事物用哪一個模糊概念來反映更合理準(zhǔn)確 模糊相似選擇 按某種性質(zhì)對一組事物或?qū)ο笈判蚴且活惓Ｒ姷膯栴}，但是用來比較的性質(zhì)具有邊界不分明的模糊性,與模糊數(shù)學(xué)相關(guān)的問題（二,模糊聚類分析根據(jù)研究對象本身的屬性構(gòu)造模糊矩陣，在此基礎(chǔ)上根據(jù)一定的隸屬度來確定其分類關(guān)系 模糊層次分析法兩兩比較指標(biāo)的確定 模糊綜合評判綜合評判就是對受到多個因素制約的事物或?qū)ο笞鞒鲆粋€總的評價，如產(chǎn)品質(zhì)量評定、科技成果鑒定、某種作物種植適應(yīng)性的評價等，都屬于綜合評判問題。由于從多方面對事

4、物進(jìn)行評價難免帶有模糊性和主觀性，采用模糊數(shù)學(xué)的方法進(jìn)行綜合評判將使結(jié)果盡量客觀從而取得更好的實(shí)際效果,序 言,模糊數(shù)學(xué)是研究什么的,模糊現(xiàn)象：“亦此亦彼”的不分明現(xiàn)象,模糊數(shù)學(xué)研究和揭示模糊現(xiàn)象的定量處理方法,什么是模糊數(shù)學(xué),禿子悖論: 天下所有的人都是禿子,如果一個有X根頭發(fā)的人被稱為禿子，那么，有X + 1根頭發(fā)的人也是禿子。所以，(X + 1) + 1根頭發(fā)的還是禿子。以此類推，無論你有幾根頭發(fā)都是禿子,伊索寓言的故事,喝干整個大海,模糊概念：從屬于該概念到不屬于該概念之間 無明顯分界線,年輕、重、熱、美、厚、薄、快、慢、大、小、高、低、遠(yuǎn)、近、長、短、貴、賤、強(qiáng)、弱、軟、硬、陰天、多

5、云,共同特點(diǎn)：模糊概念的外延不清楚,術(shù)語來源,Fuzzy: 毛絨絨的，邊界不清楚的,模糊，不分明，弗齊，弗晰，勿晰,模糊概念導(dǎo)致模糊現(xiàn)象,模糊數(shù)學(xué)就是用數(shù)學(xué)方法研究模糊現(xiàn)象,用數(shù)學(xué)的眼光看世界，可把我們身邊的現(xiàn)象劃分為： 1.確定性現(xiàn)象：如水加溫到100oC就沸騰，這種現(xiàn)象的規(guī)律 性靠經(jīng)典數(shù)學(xué)去刻畫（指在一定條件下一定會發(fā)生的現(xiàn)象） 2.隨機(jī)現(xiàn)象：如擲硬幣，觀看那一面向上，這種現(xiàn)象的規(guī)律 性靠概率統(tǒng)計去刻畫; 3.模糊現(xiàn)象：如 “今天天氣很熱”，“小伙子很帥”，等等。 此話準(zhǔn)確嗎？有多大的水分？靠模糊數(shù)學(xué)去刻畫,隨機(jī)性與模糊性之區(qū)分 隨機(jī)性 事件本身具有明確含意 事件是否出現(xiàn)的不確定性 0,1

6、上概率分布函數(shù)描述 模糊性 事物的概念本身是模糊的 概念的外延的模糊不確定性：模糊性 0,1上的隸屬函數(shù)描述,經(jīng)典數(shù)學(xué)和統(tǒng)計數(shù)學(xué)以經(jīng)典集合論為理論基礎(chǔ)，“非此即彼,統(tǒng)計數(shù)學(xué)把必然現(xiàn)象擴(kuò)大到偶然； 模糊數(shù)學(xué)把清晰現(xiàn)象擴(kuò)大到模糊,模糊數(shù)學(xué)的創(chuàng)立及發(fā)展,Zadeh 扎德教授 1965年，模糊集合論 “隸屬函數(shù)” “模糊數(shù)學(xué)”的誕生 基本思想 用屬于程度代替屬于或不屬于,某個人屬于禿子的程度為0.8, 另一個人屬于,禿子的程度為0.3等,日本與歐美的模糊技術(shù)熱,1 從八十年代起開展了模糊控制的研究與開發(fā) 2 九十年代日本興起模糊控制技術(shù)是高新技術(shù)領(lǐng)域的一次革命 3 模糊產(chǎn)品給日本帶來巨額利潤 4 日本

7、模糊技術(shù)21世紀(jì)的長遠(yuǎn)規(guī)劃（6個重點(diǎn)課題） 1）基礎(chǔ)研究 2）模糊電腦：實(shí)現(xiàn)F信息的電腦處理，電腦的構(gòu)造、邏輯記憶 3）機(jī)器智能：使機(jī)器能高速地識別和判斷模糊信息 4）人機(jī)系統(tǒng)：F數(shù)據(jù)庫、F專家系統(tǒng)和自然語言處理技術(shù) 5）人與社會系統(tǒng)：進(jìn)行復(fù)雜的人類行為分析，包括決策支持 系統(tǒng)、醫(yī)療診斷系統(tǒng)、行為心理透視系統(tǒng)及社會經(jīng)濟(jì)模型 6）自然系統(tǒng)：研究和模擬自然現(xiàn)象，如辨別物理變化和化學(xué) 變化、判斷大氣污染狀況，地震預(yù)測等,我國的模糊技術(shù)研究,1) 70年代后期傳到我國，起步晚，但發(fā)展快，“國際四強(qiáng)” 2) 理論研究居世界領(lǐng)先地位，但應(yīng)用與發(fā)達(dá)國家有差距 3）“模糊技術(shù)產(chǎn)業(yè)化” 3) 近幾年國內(nèi)掀起了模

8、糊控制技術(shù)的研究與開發(fā)熱，成績喜人 - 企業(yè)：大型家電集團(tuán)已成功開發(fā)了國產(chǎn)模糊控制洗衣機(jī) 如： “小天鵝”，“海爾”，“小鴨”，“金羚” 等名牌智能洗衣機(jī) - 研究機(jī)構(gòu)，高校：鄭州輕工業(yè)學(xué)院模糊控制中心 清華大學(xué)熱能工程系 北京師范大學(xué)模糊控制中心 西南交通大學(xué)智能控制中心,模糊技術(shù)的研究熱點(diǎn),模糊控制技術(shù)的主要特點(diǎn)： - 在設(shè)計系統(tǒng)時不需要建立被控對象的數(shù)學(xué)模型，只要求掌握現(xiàn) 場操作人員或者有關(guān)專家的經(jīng)驗(yàn)知識或者操作數(shù)據(jù)。 - 系統(tǒng)的魯棒性好，尤其適合非線性時變，滯后系統(tǒng)的控制。 - 從工業(yè)過程的定性認(rèn)識出發(fā)，較容易建立語言變量控制規(guī)則。 - 被控過程節(jié)能好 - 規(guī)則集易理解修改 - 具有并

9、行操作特點(diǎn)，開發(fā)成本低,模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)技術(shù) - 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的優(yōu)點(diǎn)：并行計算，分布式信息存儲， 容錯能力強(qiáng)，自學(xué)習(xí)功能。 - 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的缺點(diǎn): 不適合表達(dá)基于if-then規(guī)則的知識 - 模糊邏輯的優(yōu)點(diǎn)：能處理模糊信息，非線性和其它不適定問題， 它比較適合于表達(dá)基于規(guī)則的知識。 - 模糊邏輯的缺點(diǎn)：缺乏自學(xué)習(xí)和自適應(yīng)能力 - 模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)=神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)+模糊邏輯 模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的技術(shù)成果很多，如美國半導(dǎo)體公司的NeuFuz, Motorola的新型芯片, 我國的模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)開發(fā)系統(tǒng)FNNDS（北航,模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的未來研究方向 - 研究模糊邏輯與神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的對應(yīng)關(guān)系 - 拓展模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的應(yīng)用范圍，尋找一 般

10、模糊集的模糊神經(jīng)元網(wǎng)絡(luò)的學(xué)習(xí)方法 - 用模糊邏輯加強(qiáng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的學(xué)習(xí)速度 - 對成熟的網(wǎng)絡(luò)模型和學(xué)習(xí)算法，研制相應(yīng) 的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制芯片 - 模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)與新發(fā)展技術(shù)的結(jié)合： 如Wavelet，Chaos,GA,RS，DM等,模糊數(shù)學(xué)不是讓數(shù)學(xué)變成模模糊糊的東西，而是讓數(shù)學(xué)進(jìn)入模糊現(xiàn)象這個禁區(qū)，即用精確的數(shù)學(xué)方法去研究處理模糊現(xiàn)象，是研究和描述模糊性線性的一種數(shù)學(xué)工具，表達(dá)精確（消除模糊）的意思,模糊數(shù)學(xué)的產(chǎn)生不僅形成了一門嶄新的數(shù)學(xué) 學(xué)科，而且也形成了一種嶄新的思維方法， 它告訴我們存在亦真亦假的命題，從而打破 了以二值邏輯為基礎(chǔ)的傳統(tǒng)思維，使得模糊 推理成為嚴(yán)格的數(shù)學(xué)方法。隨著模糊數(shù)學(xué)的 發(fā)展

11、，模糊理論和模糊技術(shù)將對于人類社會 的進(jìn)步發(fā)揮更大的作用,模糊數(shù)學(xué)的廣泛應(yīng)用性,模糊技術(shù)是21世紀(jì)的核心技術(shù)，其應(yīng)用幾乎滲透到自然科學(xué)與社會科學(xué)的所有領(lǐng)域： 1）軟科學(xué)方面：投資決策、企業(yè)效益評估、經(jīng)濟(jì)宏觀調(diào)控等 2）地震科學(xué)方面：地震預(yù)報、地震危害分析 3）工業(yè)過程控制方面：模糊控制技術(shù)是復(fù)雜系統(tǒng)控制的有效手段 4）家電行業(yè)：模糊家電產(chǎn)品,提高了機(jī)器的“IQ” 5）航空航天及軍事領(lǐng)域：飛行器對接C3I指揮自動化系統(tǒng)，NASA 6）人工智能與計算機(jī)高技術(shù)領(lǐng)域：模糊推理機(jī)、F專家系統(tǒng)、F數(shù)據(jù)庫、F語言識別系統(tǒng)、F機(jī)器人等，F(xiàn)-prolog、F-C等 7）其它：核反應(yīng)控制、醫(yī)療診斷等,1.Fuzz

12、y 集合及運(yùn)算,1. 模糊概念,風(fēng)的強(qiáng)弱,人的胖瘦,年齡大小,個子高低,在普通集合中，論域中的元素（如a）與集合（如A）之間的關(guān)系是屬于（aA），或者不屬于，它所描述的是非此即彼的清晰概念。但在現(xiàn)實(shí)生活 中并不是所有的事物都能用清晰的概念來描述，如,為了對事物進(jìn)行識別，必須對事物按不同的要求進(jìn)行分類。許多事物可以依據(jù)一定的標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類。用于這種分類的數(shù)學(xué)工具就是集合論,集合的概念 解決精確性的集合問題可以用經(jīng)典集合論。 世界上大多數(shù)事物具有模糊性。為了描述具有模糊性的事物，引入模糊集合的概念,經(jīng)典集合： 具有某種特性的所有元素的總和。 模糊集合： 在不同程度上具有某種特性的所有元素的總和,集合

13、是數(shù)學(xué)中最基本的概念之一。 討論某一概念的外延時總離不開一定的范圍。這個討論的范圍，稱為“論域”，論域中的每個對象稱為“元素”。一般記論域?yàn)閁，表達(dá)了問題的總范圍,所謂集合，是指具有某種特定屬性的對象的全體。 定義：給定論域U（U、V、X、Y ），U中具有某種特定屬性的元素（u、v、x、y ）的全體，稱為U上的一個集合(A、B、C,表示集合的幾種方法 （1）列舉法： 列寫出集合中的全體元素。 適用于元素有限的集合。 （2）定義法： 以集合中元素的共性來描述集合的一種方法。 適用于有許多元素而不能一一列舉的集合,2、模糊集合常用術(shù)語及其表述,精確集合（非此即彼）： A=X|X6 精確集合的隸屬函

14、數(shù)（特征函數(shù),模糊集合： 如果X是對象x的集合，則X的模糊集合 A,稱為模糊集A的隸屬函數(shù),定義 設(shè)A是論域U到0，1的一個映射，即,A：U0，1,稱A是U上的模糊集，而函數(shù)A （ ）稱為模糊集A的隸 屬函數(shù)，A （x)稱為x對模糊集A的隸屬度,在模糊數(shù)學(xué)中，我們稱沒有明確邊界（沒有清晰外延） 的集合為模糊集合。常用大寫字母下加波浪線的形式來表示，如 、 等,元素屬于模糊集合的程度用隸屬度或模糊度來表示。用于計算隸屬度的函數(shù)稱為隸屬函數(shù)，即模糊集的特征函數(shù),隸屬度即論域元素屬于模糊集合的程度。用 來表示。隸屬度的值為0，1閉區(qū)間上的一個數(shù)，其值越大，表示該元素屬于模糊集合的程度越高，反之則越低

15、。 計算隸屬度的函數(shù)稱為隸屬函數(shù)。用 表示,隸屬度和隸屬函數(shù)的表示形式看起來很相似，但是它們的意義是完全不一樣的。 指論域中特定元素xi屬于A的隸屬度，而 中的x是一個變量，可表示論域中的任一元素,隸屬函數(shù)的性質(zhì)： a) 定義為有序?qū)Γ?b) 隸屬函數(shù)在0和1之間； c) 其值的確定具有主觀性和個人的偏好,X稱為論域或域,構(gòu)造模糊集就是要：確定合適的論域和指定適當(dāng)?shù)碾`屬函數(shù),1,13,精確集合,模糊集合,1,13,6,1) 向量表示法,2) 扎德表示法,當(dāng)論域U由有限多個元素組成時，模糊集合可用向量表示法或扎德表示法表示。設(shè),3 模糊集合的表示,例：設(shè)論域U=鋼筆，衣服，臺燈，紙，他們屬于學(xué)習(xí)

16、用品的隸屬度 分別為:1， 0， 0.6， 0.8，則模糊集合學(xué)習(xí)用品可分別用向量表示法 和扎德表示法表示如下,20歲左右,原集合（年齡） ., 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, . “20歲左右”這個模糊集可以表示為： 0.8/18 + 0.9/19 + 1/20 + 0.9/21 + 0.8/12 0.6/17+0.7/18+0.8/19+1/20+0.9/21+0.7/22+0.6/23,隸屬度0,1,集合元素,3）序偶表示法： 舉例：X=上海 北京 天津 西安為城市的集合。 模糊集合 C = “對城市的愛好”可以表示為： C = (上海,0.8),(北京,0.9)

17、, (天津,0.7),(西安,0.6,再如，B= “年輕”也是U的一個子集，只是不同的年齡段隸屬 于這一集合的程度不一樣，查德給出它的隸屬函數(shù),1,0,25,50,U,B（u,隸屬函數(shù)的確定,1. 模糊統(tǒng)計方法,與概率統(tǒng)計類似，但有區(qū)別：若把概率統(tǒng)計比喻為“變動的點(diǎn)”是否落在“不動的圈”內(nèi)，則把模糊統(tǒng)計比喻為“變動的圈”是否蓋住“不動的點(diǎn),2. 指派方法,一種主觀方法，一般給出隸屬函數(shù)的解析表達(dá)式,3. 借用已有的“客觀”尺度,對論域U上一個確定元素u0是否屬于論域上的一個邊界可變的普通集合A*的問題，針對不同的對象進(jìn)行調(diào)查統(tǒng)計，再根據(jù)模糊統(tǒng)計規(guī)律計算出u0的隸屬度,用模糊統(tǒng)計法確定隸屬度的基

18、本思想,模糊統(tǒng)計法舉例,例：用模糊統(tǒng)計法確定27歲的人屬于“青年人”模糊集合的 隸屬度,武漢工業(yè)大學(xué)張南倫教授調(diào)查統(tǒng)計結(jié)果如下,表1 關(guān)于“青年人”年齡的調(diào)查,由張教授調(diào)查統(tǒng)計結(jié)果可知，共調(diào)查統(tǒng)計129次，其中27歲的人屬于“青年人”這個邊界可變的普通集合的次數(shù)為101次。根據(jù)模糊統(tǒng)計規(guī)律計算隸屬度為,求取論域中足夠多元素的隸屬度，根據(jù)這些隸屬度求出隸屬函數(shù)。具體步驟為,求取論域中足夠多元素的隸屬度,求隸屬函數(shù)曲線。以論域元素為橫坐標(biāo)，隸屬度為縱 坐標(biāo)，畫出足夠多元素的隸屬度（點(diǎn)），將這些點(diǎn)連起來，得到所求模糊結(jié)合的隸屬函數(shù)曲線,求隸屬函數(shù)。將求得的隸屬函數(shù)曲線與常用隸屬函數(shù) 曲線相比較，取形

19、狀相似的隸屬函數(shù)曲線所對應(yīng)的函數(shù)，修改其參數(shù)，使修改參數(shù)后的隸屬函數(shù)的曲線與所求 隸屬函數(shù)曲線一致或非常接近。此時，修改參數(shù)后的函 數(shù)即為所求模糊結(jié)合的隸屬函數(shù),隸屬函數(shù)的確定,表2 1535歲的人屬于青年人的隸屬度,由表1可分別計算出1535歲的人屬于模糊集合“青年人”的隸屬度，計算結(jié)果如下表,例：根據(jù)張南倫教授的統(tǒng)計結(jié)果，求 青年人模糊集合的隸屬函數(shù),根據(jù)表2的計算結(jié)果，以年齡為橫坐標(biāo)，隸屬度為縱坐標(biāo)，繪出隸屬函數(shù)曲線如下圖所示,年齡（歲,15,20,25,30,35,隸屬度,1,0,47,所求隸屬函數(shù)曲線與降半哥西型函數(shù)曲線較相似，降半哥西型隸屬函數(shù)為,修改降半哥西型隸屬函數(shù)參數(shù)，使其函

20、數(shù)曲線與所求隸屬函 數(shù)曲線非常接近。此時取=1/25，a=24.5，=2。參數(shù) 修改后的降半哥西型函數(shù)即為模糊集合“青年人”的隸屬函數(shù)。即,隸屬函數(shù)參數(shù)化,1. 三角形隸屬函數(shù),參數(shù)a,b,c確定了三角形MF三個頂點(diǎn)的x坐標(biāo),參數(shù)a,b,c,d確定了梯形四個角的x坐標(biāo)。當(dāng)b=c時，梯形就退化為三角形,2. 梯形隸屬函數(shù),3. 高斯形隸屬函數(shù),高斯MF完全由c和決定，c代表MF的中心；決定了MF的寬度,4. 一般鐘形隸屬函數(shù),參數(shù)完全由b通常為正；如果b0,鐘形將倒置。 鐘形MF實(shí)際上是概率中柯西分布的推廣，因此又稱為柯西MF,trig(x;20,60,80,trap(x;10,20,60,90

21、,g(x;50,20,bell(x:20,4,50,隸屬函數(shù)的參數(shù)化舉例,以鐘形函數(shù)為例,a,b,c,的幾何意義如圖所示,改變a,b,c,即可改變隸屬函數(shù)的形狀,5) 模糊隸屬函數(shù)的修正（Hedges,4 模糊集合的運(yùn)算,包含或子集,并（析?。?(兩兩取大,交（合?。?(兩兩取小,補(bǔ)（負(fù)）(取反,又矮又瘦,U = 甲, 乙, 丙, 丁 A = “矮子” 隸屬函數(shù) (0.9, 1, 0.6, 0) B = “瘦子” 隸屬函數(shù) (0.8, 0.2, 0.9, 1) 找出 C = “又矮又瘦” C = AB = ( 0.90.8 , 10.2 , 0.60.9 , 01 ) = ( 0.8, 0.2

22、, 0.6, 0) 甲和丙比較符合條件,模糊集的并、交、余運(yùn)算性質(zhì),冪等律：AA = A， AA = A； 交換律：AB = BA，AB = BA； 結(jié)合律：(AB)C = A(BC)， (AB)C = A(BC) ； 吸收律：A(AB) = A，A( AB)= A； 分配律：(AB)C = (AC)(BC)； (AB)C = (AC)(BC)； 0-1律： AU = U，AU = A； A = A，A = ； 還原律： (Ac)c = A,排中律A A =,例 設(shè)論域U = x1, x2, x3, x4, x5(商品集)，在U上 定義兩個模糊集： A =“商品質(zhì)量好”， B =“商品質(zhì)量壞”

23、，并設(shè),A = (0.8, 0.55, 0, 0.3, 1). B = (0.1, 0.21, 0.86, 0.6, 0,則Ac=“商品質(zhì)量不好”, Bc=“商品質(zhì)量不壞,Ac= (0.2, 0.45, 1, 0.7, 0). Bc= (0.9, 0.79, 0.14, 0.4, 1,可見Ac B, Bc A,又 AAc = (0.8, 0.55, 1, 0.7, 1) U, AAc = (0.2, 0.45, 0, 0.3, 0),評價“自然語言,一組學(xué)生共10人，考試成績?yōu)椋?72 68 71 70 86 69 70 82 72 75 如何評價上述數(shù)據(jù),這些學(xué)生平均分73.5分,這次考試成

24、績大多數(shù)在分左右，個別在分以上,精確，但是不直觀,對分?jǐn)?shù)問題的分析,7對于“大多數(shù)”的隸屬度是0.8 A(“大多數(shù)”) = 0.8 80分以上有2人，2對于“個別”的隸屬度為1 A(“個別”) = 1,72 68 71 70 86 69 70 82 72 75,模糊集的-截集A是一個經(jīng)典集合，由隸屬 度不小于的成員構(gòu)成. 例：論域U=u1, u2, u3, u4 , u5 , u6(學(xué)生集)， 他們的成績依次為50,60,70,80,90,95，A=“學(xué)習(xí) 成績好的學(xué)生”的隸屬度分別為0.5,0.6,0.7,0.8, 0.9,0.95，則,A0.9 (90分以上者) = u5 , u6, A0

25、.6 (60分以上者) = u2, u3, u4 , u5 , u6,關(guān)系是指對兩個普通集合的直積施加某種條件限制后得到的序偶集合。常用R表示,例：A=（1，3，5），B=（2，4，6）則直積集合為： AB =(1，2) (1，4) (1，6) (3，2) (3，4) (3，6) (5，2) (5，4) (5，6,一. 關(guān)系與模糊關(guān)系,Rab=A,1 0 0 0,3 1 0 0,5 1 1 0,2 4 6,B,關(guān)系R可以用矩陣形式來表示。一般形式為,則對上例有,2、模糊關(guān)系，是普遍關(guān)系的推廣，普通關(guān)系只能描述元素間關(guān)系的有無，而模糊關(guān)系則描述元素之間關(guān)系的多少。 例 在醫(yī)學(xué)上常用公式：體重B（

26、公斤）=身高A（厘米）100來表示標(biāo)準(zhǔn)體重，這就給出了身高（A）與體重（B）的普通關(guān)系。 若A=140，150，160，170，180 B=40，50，60，70，80 身高與體重的普通關(guān)系如表3所示,表3 身高與體重的普通關(guān)系,但人的胖瘦不同，對于非標(biāo)準(zhǔn)的情況，身高與體重的關(guān)系應(yīng)該以接近標(biāo)準(zhǔn)的程 度來描述，這就導(dǎo)致產(chǎn)生如上表所示的模糊關(guān)系。它能更深刻、更完整地給 出身高與體重的對應(yīng)關(guān)系,表4 身高與體重的模糊關(guān)系,表5 掌握外語的程度,例 設(shè)有一組同學(xué)（徐X，張X，王X），他們選修英，日，俄，法四種外語中的任幾門，他們選修和結(jié)業(yè)成績?nèi)缦拢?徐X 英語 85 徐X 日語 70 徐X 俄語 75

27、 張X 英語 90 王X 英語 70 王X 法語 80,二、模糊矩陣 1、矩陣 矩陣可以用來表現(xiàn)關(guān)系，如果集合A有m個元素，集合B有n個元 素、我們可以用矩陣R來表示由集合A到集合B的關(guān)系,其中rij=0或1，1im，1jn,2.模糊矩陣,對上例有,對于有限論域 X = x1, x2, , xm和Y = y1, y2, , yn， 則X 到Y(jié) 模糊關(guān)系 可用mn 階模糊矩陣表示，即 = (rij)mn， 其中rij = (xi , yj )0, 1表示(xi , yj )關(guān)于模糊關(guān)系 的相關(guān) 程度.又若 為布爾矩陣時,則關(guān)系 為普通關(guān)系,即xi 與 yj 之 間要么有關(guān)系(rij = 1),要

28、么沒有關(guān)系( rij = 0,三、模糊關(guān)系的運(yùn)算,精確關(guān)系,模糊關(guān)系,同一空間,表示二個或二個以上集合 元素之間關(guān)聯(lián)、交互、互 連是否存在,表示二個或二個以上集合元素之間關(guān)聯(lián)、交互、互連是否存在或不存在的程度,舉例,模糊矩陣的運(yùn)算,1)并、交、補(bǔ)運(yùn)算,并運(yùn)算,交運(yùn)算,補(bǔ)運(yùn)算,2)相等與包含,例如,4)合成運(yùn)算,回憶普通矩陣的乘法運(yùn)算,模糊關(guān)系矩陣的合成與普通矩陣的乘法運(yùn)算過程一樣，運(yùn)算符號不同,四.模糊矩陣的 - 截矩陣,定義 設(shè)A = (aij)mn,對任意的0, 1，稱 A= (aij()mn, 為模糊矩陣A的 - 截矩陣, 其中 當(dāng)aij 時，aij() =1；當(dāng)aij 時，aij()

29、=0. 顯然，A的 - 截矩陣為布爾矩陣,五.模糊等價關(guān)系,若模糊關(guān)系R是X上各元素之間的模糊關(guān)系，且滿足： (1)自反性：R(x, x) =1； (2)對稱性：R(x, y) =R(y, x)； (3)傳遞性：R2R, 則稱模糊關(guān)系R是X上的一個模糊等價關(guān)系,當(dāng)論域X = x1, x2, , xn為有限時, X 上的一個模糊等 價關(guān)系R就是模糊等價矩陣, 即R滿足,R2R ( (rikrkj) | 1kn rij),模糊相似關(guān)系,若模糊關(guān)系 R 是 X 上各元素之間的模糊關(guān)系，且滿足： (1) 自反性：R( x , x ) = 1； (2) 對稱性：R( x , y ) = R( y , x

30、 ) ； 則稱模糊關(guān)系 R 是 X 上的一個模糊相似關(guān)系. 當(dāng)論域X = x1, x2, , xn為有限時，X 上的一個模糊相 似關(guān)系 R 就是模糊相似矩陣，即R滿足： (1) 自反性：I R ( rii =1 )； (2) 對稱性：RT = R ( rij = rji,3 模糊模型識別,模型識別,已知某類事物的若干標(biāo)準(zhǔn)模型，現(xiàn)有這類事物中的一個 具體對象，問把它歸到哪一模型，這就是模型識別,模型識別在實(shí)際問題中是普遍存在的.例如，學(xué)生到 野外采集到一個植物標(biāo)本，要識別它屬于哪一綱哪一目； 投遞員(或分揀機(jī))在分揀信件時要識別郵政編碼等等， 這些都是模型識別,模糊模型識別,所謂模糊模型識別,是

31、指在模型識別中,模型是模糊的. 也就是說,標(biāo)準(zhǔn)模型庫中提供的模型是模糊的,模型識別的原理,為了能識別待判斷的對象x = (x1, x2, xn)T是屬于已 知類A1, A2, Am中的哪一類？ 事先必須要有一個一般規(guī)則, 一旦知道了x的值, 便能 根據(jù)這個規(guī)則立即作出判斷, 稱這樣的一個規(guī)則為判別規(guī) 則. 判別規(guī)則往往通過的某個函數(shù)來表達(dá), 我們把它稱 為判別函數(shù), 記作W(i; x). 一旦知道了判別函數(shù)并確定了判別規(guī)則，最好將已 知類別的對象代入檢驗(yàn)，這一過程稱為回代檢驗(yàn)，以便 檢驗(yàn)?zāi)愕呐袆e函數(shù)和判別規(guī)則是否正確,最大隸屬原則,最大隸屬原則 設(shè)論域X =x1, x2, , xn 上有 m個

32、模糊子集A1, A2, , Am(即m個模型),構(gòu)成了一個 標(biāo)準(zhǔn)模型庫,若對任一x0X,有k1, 2, , m ,使得 u Ak(x0)= u A1(x0), u A2(x0), , u Am(x0)， 則認(rèn)為x0相對隸屬于Ak . 最大隸屬原則 設(shè)論域X上有一個標(biāo)準(zhǔn)模型 ,待 識別的對象有n個：x1, x2, , xnX, 如果有某個xk滿足 u (xk)=u (x1), u (x2), , u (xn), 則應(yīng)優(yōu)先錄取xk , xk最屬于,例1 在論域X=0,100分?jǐn)?shù)上建立三個表示學(xué)習(xí)成績的 模糊集A=“優(yōu)”,B =“良”,C =“差”.當(dāng)一位同學(xué)的成績?yōu)?8分 時,這個成績是屬于哪一類

33、,A(88) =0.8,B(88) =0.7,A(88) =0.8, B(88) =0.7, C(88) =0,根據(jù)最大隸屬原則,88分這個成績應(yīng)隸屬于A,即 為“優(yōu),例2 論域 X = x1(71), x2(74), x3(78)表示三個學(xué)生的成績,那一位學(xué)生的成績最差？ C(71) =0.9, C(74) =0.6, C(78) =0.2, 根據(jù)最大隸屬原則， x1(71)最差,例3 細(xì)胞染色體形狀的模糊識別,細(xì)胞染色體形狀的模糊識別就是幾何圖形的模糊識別,而幾何圖形常?；癁槿舾蓚€三角圖形,故設(shè)論域?yàn)槿切稳w.即 X=(A,B,C )| A+B+C =180, ABC 標(biāo)準(zhǔn)模型庫=E(正

34、三角形),R(直角三角形), I(等腰三角形),IR(等腰直角三角形),T(任意三角形,某人在實(shí)驗(yàn)中觀察到一染色體的幾何形狀，測得其三個內(nèi)角分別為88,70,22,即待識別對象為x0=(88,70,22) .問x0應(yīng)隸屬于哪一種三角形,等腰”？“等邊”？“直角”,I:等腰 E:等邊 R:直角 T:普通 U = (A,B,C) | A= B = C = 0,A,B,C,等腰三角形,需求 當(dāng)A=B或B=C時，函數(shù)值為1 當(dāng)兩個角越接近，函數(shù)值越大 當(dāng)A=120,B=60,C=0時，函數(shù)值為0 確定隸屬度函數(shù) I(A,B,C) = 1 min (A-B, B-C) / 60,等邊三角形,需求 當(dāng)A=

35、B=C時，函數(shù)值為1 當(dāng)三個角越接近時，函數(shù)值越大 當(dāng)A=180,B=C=0時，函數(shù)值為0 確定隸屬度函數(shù) E(A,B,C) = 1 (A-C) / 180,直角三角形,需求 A=90時，函數(shù)值為1 A越接近90，函數(shù)值越大 確定隸屬度函數(shù) R(A,B,C) = 1 |A-90| / 90,普通三角形,普通三角形就是非I,E,R的情況 T = (IER) = IER 確定隸屬函數(shù) T = (1 R)(1 E)(1 I,88，70，22,計算結(jié)果 I = 0.7 E = 0.63 R= 0.98 T= 0.02 結(jié)論 大致屬于直角三角形R,練習(xí)： (94,50,36)？ （80,70,30）？

36、（120,50,10）,例4,設(shè)在論域X =x1, x2, , xn上有m個模糊子集A1, A2, , Am(即m個模型),構(gòu)成了一個標(biāo)準(zhǔn)模型庫. 被識別的對象B 也是X上一個模糊集,它與標(biāo)準(zhǔn)模型庫中那一個模型最貼近？ 這是第二類模糊識別問題,擇近原則 （多指標(biāo),內(nèi)積與外積的性質(zhì),1) (A B )c = AcBc; (2) (AB )c = Ac Bc; (3) A Ac 1/2; (4) AAc 1/2,證明(1) (A B)c = 1-A(x) B(x) | xX,1- A(x)1- B(x) | xX = Ac(x)Bc(x) | xX = AcBc,證明(3) A Ac =A(x)

37、1- A(x) | xX,1/2 | xX 1/2,例4,中醫(yī)診斷中模糊數(shù)學(xué)擇近原則的應(yīng)用,中醫(yī)診治是以望、聞、問、切四診方法獲取病人的癥狀與體征的。顯然，這些癥狀與體征來自兩個方面：一是病人的自我感覺(問診獲取)，二是醫(yī)生的感知(望、問、切獲取)。然后，分析病因、病機(jī)、病位、屬性，進(jìn)行辨證論治。同時，任一疾病的全過程，病人的體征有所差異，還將要求醫(yī)生對疾病的不同階段給予辨證論治。我們觀察醫(yī)生診治的全過程，發(fā)現(xiàn)首先是在病人癥狀與體征的獲取中或多或少帶有病人和醫(yī)生的主觀因素以及獲取的某些癥狀程度上無法精確量化而具有模糊性,由臨床實(shí)踐表明: 在診斷為某一疾病時，不少的癥狀既可出現(xiàn)在A病也可現(xiàn)出在B

38、??； 或某一疾病的典型癥狀，有的出現(xiàn)，有的可能不出現(xiàn)； 即使已確認(rèn)為某一疾病，但在辨證分型的過程中，各醫(yī)生依據(jù)其臨床經(jīng)驗(yàn)可將該疾病辨證分為m個型或n個型等； 在處方的選藥與藥量上也存在很大的差異,設(shè)U為某病的一組典型癥候群論域。 U=a,b,c,d,e a,b,c,d,e為U論域中的元素，表示該疾病的一組典型癥候。它可通過大量病例資料篩選而定,為U論域上的三個模糊子集，對應(yīng)為該疾病的三個型。 現(xiàn)對模糊子集中的每一個元素給定一個隸屬度： a0.8，b0.2，c0.1，d0.5，e0.3 上述隸屬度的確定，通常可采取多位中醫(yī)專家根據(jù)該癥候在診斷中的重要程度打分，然后取其平均值，或依據(jù)大量病歷統(tǒng)計后

39、給定,這樣就確定了一個模糊子集。 =(0.8，0.2，0.1，0.5，0.3) 同理解定義模糊子集、。 =(0.6，0.5，0.8，0.4，0) =(0，1，0.5，0.3，0.8,又設(shè)：A為某病人癥候群的模糊子集。 A=(0.5，0.3，0.6，0.8，0) A集中各元素的隸屬度反映相應(yīng)癥候的輕重程度，若該癥狀不出現(xiàn)，則取零,現(xiàn)分別計算貼近度N(A,),N(A，)，N(A，,模糊子集A與的貼近度N(A，)計算如下,A，)=0.5(AO)+(1- A) =0.50.5+(1-0.3) =0.5 同理可得： (A，)=0.6 (A，)=0.5,按“擇近原則”判別，A歸類為。 上述按模糊數(shù)學(xué)方法進(jìn)

40、行辨證分型，反映了多位中醫(yī)專家的辨證水平。顯然在診斷上避免了單一醫(yī)生的主觀因素而更趨客觀,醫(yī)療糾紛的評價與估計,例5,以前對醫(yī)療糾紛的評價與估計，一般采用定性方法，但易有主觀片面性。為了從醫(yī)療糾紛中預(yù)測醫(yī)療事故，尋找醫(yī)療事故可能發(fā)生的原因，判定醫(yī)務(wù)人員應(yīng)負(fù)的責(zé)任，我們首先采用模糊數(shù)學(xué)擇近原則法評估醫(yī)療糾紛,把醫(yī)療糾紛定為五個模型，即事故（E）、嚴(yán)重差錯（D）、一般差錯（C）、缺點(diǎn)（B）、無醫(yī)療缺陷（A,案例（1）： 患者魏，編號126，男性，年齡55歲，入院診斷：腹部外傷，留院觀察。出院診斷：外傷性胃破裂致彌漫性腹膜炎，中毒性休克，循環(huán)衰竭。病人現(xiàn)狀：死亡。死亡原因：循環(huán)衰竭。糾紛中患方異議：

41、對病人入院后突然死亡不能接受，病人留在急診室卻觀而不察，到底診斷為什么病等。 院方核實(shí)情況：（1 ）對病人留觀后十幾個小時未作一次檢查；（2）診斷不準(zhǔn)確，盲目輸液，增加病人心臟負(fù)擔(dān)； （3）麻醉方式選擇不當(dāng)，結(jié)論是該患者死亡，主要是由于延誤診斷，造成病人嚴(yán)重脫水后出現(xiàn)不可逆的中毒性休克，最后死亡。,用模糊數(shù)學(xué)擇近原則法評估此案例： 首先確定待識別模型。 第一方面判定為C級，得分0.21； 第二方面判定為D級，得分0.30； 第三方面判定為E級，得分0.25；第四方面判定為D級，得分0.33；第五方面判定為E級，得分0.43；第六方面判定為零，得分0；第七方面判定為E級，得分0.08；（0.21

42、，0.30，0.25，0.33，0.43 ，0 ，0.08,計算 （,E） 0.43 （D）0.33； （C）0.21； （B）0.20； （A）.020,根據(jù)擇近原則法，為E型，即本例評為事故,案例（2）：患者夏玉書之女，編號0.68，女性，出生后3天。入院診斷：新生兒雙足跟發(fā)紅發(fā)紫。出院診斷：左足跟部燙傷。病人現(xiàn)狀；惡化。 糾紛中患方異議，對病兒足部燙傷，父母精神上承受一定的壓力，不能接受額外的痛苦。院方核實(shí)情況：（1）由于護(hù)士李經(jīng)驗(yàn)不足，將熱水袋直接放于嬰兒足部而造成燙傷；（2 ）外科會診，患兒當(dāng)時周身循環(huán)差，末梢循環(huán)差，神經(jīng)營養(yǎng)不良，易燙傷壞死。結(jié)論是患兒足跟燙傷的直接原因是醫(yī)務(wù)人員工

43、作不謹(jǐn)慎，決定待患兒兩歲后作植皮術(shù)。 用模糊數(shù)學(xué)擇近原則法評估此案例：第一方面判定為零，得分0；第二方面判定為D、C中級，經(jīng)加減得分為0.20；第三方面判定為C級，得分0.20；第四方面判定為D、C中級，經(jīng)加減得分為0.30 ；第五方面判定為D級，得分為0.22；第六方面判定為零，得分為0；第七方面判定為D級，得分為0.10；（0，0.20 ，0.20，0.30，0.22， 0 ，0.10,根據(jù)擇近原則法，A為D型，即本例評為嚴(yán)重差錯,例6,多個特性的擇近原則,設(shè)在論域X =x1, x2, , xn上有n個模糊子集A1, A2, , An構(gòu)成了一個標(biāo)準(zhǔn)模型庫,每個模型又由個特性來刻劃： Ai

44、=(Ai1, Ai2, , Aim), i = 1,2, n, 待識別的模型B=(B1, B2, , Bm). 先求兩個模糊向量集合族的貼近度： si = (Aij , Bj) | 1jm, i = 1,2, n, 若有k1,2, n,使得 (Ak , B) =si | 1in, 則稱B與Ak最貼近,或者說把B歸于Ak類. 這就是多個特性的擇近原則,例7蠓的分類,左圖給出了9只Af和6只Apf蠓的觸角長和翼長數(shù)據(jù), 其中“”表示Apf,“”表示Af.根據(jù)觸角長和翼長來識別一個標(biāo)本是Af還是Apf是重要的,給定一只Af族或Apf族的蠓,如何正確地區(qū)分它屬于哪一族？ 將你的方法用于觸角長和翼長分別

45、為(1.24,1.80), (1.28,1.84), (1.40,2.04)三個標(biāo)本,Af的觸角長和翼長的隸屬函數(shù)分別為,Apf的觸角長和翼長的隸屬函數(shù)分別為,先求兩個模糊向量集合族的貼近度：s1 =min(X11 , A1) ,(X12 , W1)=min0.524,0.999=0.524,s2 =min(X11 , A2) ,(X12 , W2)=min0.562,0.979=0.562,由多個特性的擇近原則得X1=(1.24,1.80)應(yīng)歸入Apf類,同理，X2=（1.28，1.84）應(yīng)歸入Apf類， X3=(1.40,2.04)應(yīng)歸入Af類,一、模糊變換 1、模糊向量 對于一個有限模糊

46、集合X可以表為： = x1，x2，x3，xn xi是各元素相應(yīng)的隸屬度 (xi)，其中0 xi1 （i=1，2，n） 對于只有一行的模糊矩陣也可以看成模糊向量，如： = x1，x2，x3，. ，xn是一個模糊向量,4 模糊綜合評判方法,2、模糊變換 現(xiàn)有一個模糊矩陣： = rij，其中0rij1, =Y稱為模糊變換,模糊變換的結(jié)果為,式中的各分量,模糊變換,Yi= (xkrkj)(k=1,2,m,y1，y2，ym,例 給出 =（0.2，0.5，0.3,Y1=(0.20.2)(0.50)(0.30.2) =0.200.2 =0.2 y2=(0.20.7)(0.50.4)(0.30.3) =0.2

47、0.40.3 =0.4 y3=(0.20.1)(0.50.5)(0.30.4) =0.10.50.3 =0.5 y4=(0.20)(0.50.1)(0.30.1) =00.10.1 =0.1,式中 各分量的計算如下,經(jīng)歸一化后的模糊變換結(jié)果為,Yi=0.2/1.2=0.167 Yi=0.4/1.2=0.333 Yi=0.5/1.2=0.417 Yi=0.1/1.2=0.083,三、模糊綜合評判應(yīng)用實(shí)例 例 1（網(wǎng)絡(luò)課程評價）我們對于某學(xué)校的校園網(wǎng)絡(luò)一期建設(shè)情況進(jìn)行評判，設(shè)包括三個因素，即硬件建設(shè)，軟件建設(shè)、人員培訓(xùn)，用論域U表示為： U=硬件建設(shè)（u1），軟件建設(shè)（u2），人員培訓(xùn)（u3） 而

48、評語論域V表示為： V=很好（v1），較好（v2），可以（v3），不好（v4） 亦即分為四個等級，并用百分比或小數(shù)表示?，F(xiàn)邀請一些專門人員進(jìn)行評價，若用人數(shù)的百分比來表示評價結(jié)果如表6所示,表 6評價結(jié)果,例2 電腦評判 某同學(xué)想購買一臺電腦，他關(guān)心電腦的以下幾個指標(biāo)：“運(yùn) 算功能（數(shù)值、圖形等）”；“存儲容量（內(nèi)、外存）”；“運(yùn) 行速度（CPU、主板等）”；“外設(shè)配置（網(wǎng)卡、調(diào)制調(diào)解器、 多媒體部件等）”；價格”。于是請同宿舍同學(xué)一起去買電腦。 為了數(shù)學(xué)處理簡單，先令,“運(yùn)算功能（數(shù)值、圖形等,“存儲容量（內(nèi)、外存,“運(yùn)行速度（CPU、主板等,“外設(shè)配置（網(wǎng)卡、調(diào)制調(diào)解器、多媒體部件等,“價

49、格,稱,因素集,評語集,其中,“很受歡迎,“較受歡迎,“不太受歡迎,“不受歡迎,任選幾臺電腦，請同學(xué)和購買者對各因素進(jìn)行評價,若對于運(yùn)算功能 有20%的人認(rèn)為是“很受歡迎”，50%的人 認(rèn)為“較受歡迎”，30%的人認(rèn)為“不太受歡迎” ，沒有人認(rèn)為“不 受歡迎”，則 的單因素評價向量為,同理，對存儲容量 ，運(yùn)行速度 ，外設(shè)配置 和價格,分別作出單因素評價，得,組合成評判矩陣,據(jù)調(diào)查，近來用戶對微機(jī)的要求是：工作速度快，外設(shè)配 置較齊全，價格便宜，而對運(yùn)算和存儲量則要求不高。于 是得各因素的權(quán)重分配向量,作模糊變換,存儲容量,運(yùn)行速度,外設(shè)配置,價格,運(yùn)算功能,若進(jìn)一步將結(jié)果歸一化得,結(jié)果表明，用

50、戶對這種微機(jī)表現(xiàn)為“最受歡迎”的程度為 0.32，“較受歡迎”和“不太受歡迎”的程度為0.27，“不受歡 迎”的程度為0.14。按最大隸屬原則，結(jié)論是：“很受歡迎,5 模糊聚類分析,模糊相似矩陣建立方法,相似系數(shù)法 -夾角余弦法,相似系數(shù)法 -相關(guān)系數(shù)法,其中,距離法,絕對海明距離,相對海明距離,歐氏距離,一個實(shí)例 = -上海4月平均氣溫; -北京3月雨量 -5月地磁指數(shù); -5月500毫巴W型環(huán)流型日數(shù) 予報對象: 華北五站(北京、天津、營口、太原、石家莊)7-8月降水量,僅用61-67年 7年的資料(略) 第一步:計算相似系數(shù) 經(jīng)過標(biāo)準(zhǔn)化計算相似系數(shù)矩陣R,第二步:建立模糊矩陣 將相似系數(shù)壓縮到0,1之間 得 第三步:建立模糊等價矩陣 按上式計算: 例如,得到 , 發(fā)現(xiàn) , 當(dāng) 取0.92時: 將 ,當(dāng) 取0.65時有,又將 合并成一類, 當(dāng) 取0.64時,有 此時將1,3,再與4,6并為一類,可分成三類 再 取=0.63時 這次再將 ,只有二類:,聚類圖,說明: (1)當(dāng) =0.65時,共分成四類: (2)當(dāng) =0.64時,共分成三類: (3)當(dāng) =0.63時,共分成二類: 這是以按年份為基本類的分類圖,0.64,0.65,0.92,0.99,0.63,謝 謝,同一空間模糊關(guān)系復(fù)合運(yùn)算,或,舉例,非同一空間模糊關(guān)系復(fù)合運(yùn)算,精確關(guān)系,模糊關(guān)系,不同乘積空間，但有一個