平面向量知識點

1、.1向量的有關(guān)概念名稱定義備注向量既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的長度(或稱模)平面向量是自由向量零向量長度為0的向量；其方向是任意的記作0單位向量長度等于1個單位的向量非零向量a的單位向量為平行向量方向相同或相反的非零向量0與任一向量平行或共線共線向量方向相同或相反的非零向量又叫做共線向量相等向量長度相等且方向相同的向量兩向量只有相等或不等，不能比較大小相反向量長度相等且方向相反的向量0的相反向量為02.向量的線性運算向量運算定義法則(或幾何意義)運算律加法求兩個向量和的運算(1)交換律：abba. (2)結(jié)合律：(ab)ca(bc).減法求a與b的相反向量b的和的運算叫做a與b的

2、差三角形法則aba(b)數(shù)乘求實數(shù)與向量a的積的運算(1)|a|a|；(2)當0時，a的方向與a的方向相同；當0時，a的方向與a的方向相反；當0時，a0(a)()a；()aaa；(ab)ab3.共線向量定理向量a(a0)與b共線，當且僅當有唯一一個實數(shù)，使ba.4平面向量基本定理如果e1、e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任意向量a，有且只有一對實數(shù)1、2，使a1e12e2.其中，不共線的向量e1、e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底5平面向量的坐標運算(1)向量加法、減法、數(shù)乘及向量的模設(shè)a(x1，y1)，b(x2，y2)，則ab(x1x2，y1y2)，ab(x1x2

3、，y1y2)，a(x1，y1)，|a|.(2)向量坐標的求法若向量的起點是坐標原點，則終點坐標即為向量的坐標設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則(x2x1，y2y1)，|.6平面向量共線的坐標表示設(shè)a(x1，y1)，b(x2，y2)，其中b0.abx1y2x2y10.7平面向量的數(shù)量積已知兩個非零向量a與b，它們的夾角為，則數(shù)量|a|b|cos 叫做a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積)，記作ab|a|b|cos .規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為_0_.兩個非零向量a與b垂直的充要條件是 ab0，兩個非零向量a與b平行的充要條件是 ab|a|b|.8平面向量數(shù)量積的幾何意義數(shù)量積ab等于a的長度|a|

4、與b在a的方向上的投影|b|cos 的乘積9平面向量數(shù)量積的重要性質(zhì)(1)eaae|a|cos ； (2)非零向量a，b，abab0；(3)當a與b同向時，ab|a|b|；當a與b反向時，ab|a|b|，aa|a|2，|a|；(4)cos ； (5)|ab|_|a|b|.10平面向量數(shù)量積滿足的運算律(1)abba(交換律)； (2)(a)b(ab)a(b)(為實數(shù))； (3)(ab)cacbc.11平面向量數(shù)量積有關(guān)性質(zhì)的坐標表示設(shè)向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，則abx1x2y1y2，由此得到(1)若a(x，y)，則|a|2x2y2或|a|.(2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2

5、)，則A、B兩點間的距離|AB|.(3)設(shè)兩個非零向量a，b，a(x1，y1)，b(x2，y2)，則abx1x2y1y20.12向量在平面幾何中的應(yīng)用(1)用向量解決常見平面幾何問題的技巧：問題類型所用知識公式表示線平行、點共線等問題共線向量定理ababx1y2x2y10，其中a(x1，y1)，b(x2，y2)垂直問題數(shù)量積的運算性質(zhì)abab0x1x2y1y20，a(x1，y1)，b(x2，y2)，其中a，b為非零向量夾角問題數(shù)量積的定義cos (為向量a，b的夾角)長度問題數(shù)量積的定義|a|，其中a(x，y)平面向量單元測試卷一、選擇題：（本題共10小題，每小題4分，共40分）1下列命題中的

6、假命題是（）A、的長度相等；B、零向量與任何向量都共線；C、只有零向量的模等于零；D、共線的單位向量都相等。2A、B、C、D、3圍成一個三角形。則命題甲是命題乙的（）A、充分不必要條件B、必要不充分條件C、充要條件D、非充分也非必要條件4A、B、C、D、5A、B、C、D、6如圖1，ABC中，D、E、F分別是邊BC、CA和AB的中點，G是ABC中的重心，則下列各等式中不成立的是（）A、B、C、D、7A、B、C、D、8A、B、3C、D、-29A、B、C、D、10的模之比值為（）A、B、C、D、二、填空題（本題共4小題，每題5分，共20分）111213x=。14三、解答題：本題共4小題，每題10分，

7、共40分15已知記.（1）求的周期和最小值；（2）若按平移得到，求向量.16已知、是兩個不共線的向量，且=（cos，sin）, =（cos，sin） （）求證：+與垂直； （）若（），=，且|+| = ，求sin.17設(shè)（1）計算18 已知向量(cosx，sinx)，(cos，sin)，其中x0，(1)求及|；(2)若f(x)2|的最小值為，求的值參考答案一、1D2B3B4C5A6B7A8A9D10A二、110，21213-11415三、15 16解：（1）=（4cos，3sin）， =（3cos，4sin）| = | =1 又（+）（）=22=|2|2 = 0 （+）（） （2）|+|2 =（+）2 = |2 +|2 +2= 2 + 2= 又=（cos）= 0 sin（）= sin = sin（）cos = 17解：18解：(1)cosxcossinxsincos2x，|2cosx(2)f(x)2|cos2x4cosx2cos2x14cosx2(cosx)2221注意