優(yōu)化高考數(shù)學(xué)試題計算量的五種方法

1、優(yōu)化高考數(shù)學(xué)試題計算量的五種方法計算能力是思維能力和運算技能的結(jié)合，是高考數(shù)學(xué)考查的四大能力之一，在代數(shù)、三角、立體幾何、解析幾何等內(nèi)容中都有體現(xiàn)，高考中有70%以上的試題都具有一定的計算量，所以通過研究試題特點、了解算理、改進(jìn)計算方法，減少高考試題的計算是贏得考試成功的重要途徑。本文結(jié)合近幾年的高考試題和自己的解題教學(xué)體會揭示如何優(yōu)化高考數(shù)學(xué)中的計算量，給高三復(fù)習(xí)提供幫助。一、 巧思妙解，避免計算高考試題一般都有多種解法，最多的甚至有近二十種方法，這些方法有繁有簡，所以要通過對試題進(jìn)行分析和聯(lián)想，用化歸、構(gòu)造或類比等方法尋求最佳解題策略。 例1（2003全國新課程卷試題）一個四面體的所有棱長

2、都為，四個頂點在同一球面上，則此球的表面積為（ ）A3B4CD6解析：很多考生在考試時由于圖形難畫，計算量大而無可奈何的放棄，但本題如果采用構(gòu)造法則可以避免計算，由于連結(jié)正方體六個面的六條對角線，可以構(gòu)成一個正四面體，所以這個四面體可以看成是棱長為1的正方體面的對角線構(gòu)成的，這時正方體內(nèi)接于球，球的直徑就是正方體的對角線長. 易知球的直徑是，故球的表面積為3評析：由正四面體聯(lián)想到正方體突破了尋找球心和半徑的障礙，避免了復(fù)雜計算，使解題快速準(zhǔn)確。例2（2003全國新課程卷試題）已知長方形四個頂點A（0，0），B（2，0），C（2，1）和D（0，1）.一質(zhì)點從AB的中點P0沿與AB夾角為的方向射到

3、BC上的點P1后，依次反射到CD、DA和AB上的點P2、P3和P4（入射角等于反射角）.設(shè)P4的坐標(biāo)為（x4，0）.若1 x42，則tan的取值范圍是（ ）O (A)P0P2P4P1P3BCD圖1ABCD解析：依題意可記各點的坐標(biāo)如下：，由反射原理依次求得、后，再由可得到結(jié)果。但這個方法不僅計算量相當(dāng)大、容易出錯，而且浪費時間。但如果小題巧做，根據(jù)選擇題特點可用特殊值檢驗，取，則P1、P2、P3、P4依次是各邊中點，因此不屬于所求的范圍，從而排除選項A、B、D選C。 評析：恰當(dāng)?shù)乩眠x擇題的命制特點和考查功能，有助將解題建構(gòu)在較高水平上，避免計算。二、 數(shù)形結(jié)合，以圖助算“數(shù)形結(jié)合”是中學(xué)數(shù)學(xué)

4、最重要的思想方法之一，也是高考考查的重要方面，利用數(shù)形結(jié)合，可以有效地增加解題過程的直觀性，大大地減少計算量。例3（2004天津市高考卷試題）若過定點且斜率為的直線與圓在第一象限內(nèi)的部分有交點，則的取值范圍是（ ）A. B. C. D. M圖2解析：本題很容易這樣考慮，先設(shè)出直線的方程，解圓與直線組成的方程組，得到交點后，令交點的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)都大于0，從而求得 的范圍，但這樣計算量大，費時費力。如果借助于圖形就非常直觀。如圖2所示，在圓的方程中，令得，即，這時。易知如果點N在第一象限，則，故選A。三、 大膽取舍，進(jìn)行估算高考除要求考生能夠根據(jù)題設(shè)條件精算外還要能夠?qū)?shù)據(jù)進(jìn)行估計，并能進(jìn)行近似

5、計算。例4（2003全國高考卷試題）已知，則（ ）ABCD 解析：在公式不夠熟悉和計算不熟練的情況下由于選項的設(shè)置非常相近，極易出錯，而如果利用已知條件進(jìn)行估算又是另一番情景了，由，得，從而，則，故選D。 評析：本題利用角的范圍估算，有效地避開了公式的應(yīng)用和復(fù)雜的計算，這樣解題不僅快捷而且準(zhǔn)確。例5（2002全國高考卷試題）據(jù)2002年3月5日九屆人大五次會議政府工作報告：“2001年國內(nèi)生產(chǎn)總值達(dá)到95933億元，比上年增長7.3%”，如果“十五”期間（2001年2005年）每年的國內(nèi)生產(chǎn)總值都按此年增長率增長，那么到“十五”末我國國內(nèi)年生產(chǎn)總值約為（ ）A115000億元B120000億元

6、C127000億元D 135000億元解析：由題意可得2005年國內(nèi)生產(chǎn)總值為：，由于高考不能使用計算器，直接計算是難以想象的，但可利用二項式定理進(jìn)行估算，且95933可以近似地取作95900，這樣：，故選C。評析：本題進(jìn)行了二次估算，在考試時需要大膽取舍，而不能過于謹(jǐn)慎，得不到正確結(jié)果。四、 合情推理，弱化計算在考試中運算的步驟越多，過程越復(fù)雜，出錯的機(jī)會也就越多，所以要用推理來弱化運算，盡可能地減少出錯的機(jī)會。例6（2004年江蘇卷高考試題）設(shè)無窮等差數(shù)列的前項和為()若首項，公差，求滿足的正整數(shù)；()求所有的無窮等差數(shù)列，使得對于一切正整數(shù)都有成立解析：()略；()把代入題設(shè)可得：，在高

7、考分分秒秒皆黃金的緊張氛圍下，繼續(xù)化簡下去是需要勇氣的，而且最后很難得到正確的結(jié)果。但借助于推理可以弱化計算。以推理代替計算。 因為對一切正整數(shù)都成立，分別取得：，即， 由（1）得或；將代入（2）得或，下面分四種情況來討論。若，則，成立；若，則，則；若，則，成立；若，則，成立。綜上，共3個滿足條件的無窮等差數(shù)列，即、。評析：由上面解析可見第二種方法注意推理，把繁雜的計算在推理中弱化了，這類經(jīng)過推理可以弱化計算的試題在高考卷中比比皆是，特別是在立體幾何和代數(shù)推理問題。在高考有限的時間內(nèi)不能僅僅做到埋頭苦算，更要注意推理，增加解答過程的“含理量”。五、 注重算理，精打細(xì)算 在考試中面對直接計算較為

8、復(fù)雜的試題，必須要注意算理，小心地選取運算路徑，合理地選擇運算方法，甚至對試題中看起來不重要的參量都加以精算，以此得到啟發(fā)，從而找準(zhǔn)運算目標(biāo)。例7（2004年福建省高考試題）如圖31，地在地的正東方向4 km處，地在地的北偏東30方向2處，河流的沿岸（曲線）上任意一點到的距離比到的距離遠(yuǎn)2 現(xiàn)要在曲線上選一處建一座碼頭，向、兩地轉(zhuǎn)運貨物。經(jīng)測算，從到、兩地修建公路的費用分別是萬元、2萬元，那么修建這兩條公路的總費用最低是（ ）東西ABQMCP圖31ABQMCD圖32OA(2-2)萬元 B5萬元 C(2+1)萬元 D(2+)萬元解析：如圖32，以線段AB所在的直線為軸，AB的中垂線為軸，建立平面

9、直角坐標(biāo)系，由雙曲線的第一定義知的方程為：.由題意可得:,兩條公路總的費用為.如果設(shè)，試圖計算最小值，幾乎是不可能的事。其實這里需要我們精算：雙曲線的離心率為2，這樣轉(zhuǎn)化為兩倍的到準(zhǔn)線距離，且右準(zhǔn)線方程為：，過作垂直于右準(zhǔn)線于點，交曲線于點，則為所求的點。這時，。 評析：本題利用雙曲線的第二定義實現(xiàn)線段長的轉(zhuǎn)化，就是符合算理的選擇，通過對離心率的計算從而發(fā)現(xiàn)能夠轉(zhuǎn)化，則是精打細(xì)算的體現(xiàn)。例8（2002年新課程卷試題）已知，求的值。解析：在考試中很多同學(xué)試圖從解方程組的角度求出、，再求出、代入的展開式。這樣計算量非常大，也有部分同學(xué)發(fā)現(xiàn)如下關(guān)系：，但同樣遇到求、障礙，這些都不符合算理，還需要進(jìn)一步細(xì)算。再往下分析還可以發(fā)現(xiàn)：，這個關(guān)系雖然看起來較繁，但、容易求得，；。故。評注：本題的解法稱為“變角法”，也叫“湊角法”，解題的關(guān)鍵是尋找已知角和所求角