第二節(jié) 定積分的基本性質(zhì)2012 2 4

1、6.2定積分的基本性質(zhì) 教學(xué)目的：理解定積分的性質(zhì)，了解性質(zhì)的證明；能熟練正確運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行相關(guān)判斷、計(jì)算和證明. 重點(diǎn)：能熟練正確運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算和證明. 難點(diǎn)：性質(zhì)的靈活運(yùn)用. 教學(xué)方法：以講為主，講練結(jié)合 教學(xué)過(guò)程： 一、定積分的性質(zhì) 假設(shè)以下各函數(shù)都是所討論區(qū)間上的可積函數(shù)，且a?ba?b也成立)，則.(1-4對(duì) b b?dx(x)dx?k)fkf(xk). (為常數(shù), 】【性質(zhì)1aa 常數(shù)因子可以提到積分符號(hào)外. nb ?x?)dx?limkf(kf(x) ：證明iia 0|?1?in b?dxxk)fklimf()?x?. iia 0?|?|1i? bb b ?g(xdx?)dx?d

2、xf(x)f(x)?g(x.2】 【性質(zhì)a a a 即代數(shù)和的積分等于積分的代數(shù)和. nb ?x(g?f()?f(x)?g(x)dxlim? 證明：iiia 0|?|?1i?nn?)?(?limx?limgf(?)x iiii0|?0?|?i1?1i? bb ?dx)g(x?f(x)dx. a a 注:1-2可合并為 b b b?dx)g(dxg(x)?xdxf(x)?xf()?. a a a ?,為常數(shù)）. （其中a,b被點(diǎn)（定積分的可加性）即若積分區(qū)間 【性質(zhì)3】ca,cc,b，則、 分割成兩個(gè)小區(qū)間 b c b?cdxx()?)(dxxf()?fxdxf 其中不論.在c aa 1 a,b

3、a,b內(nèi)都不影響結(jié)論. 外，還是在a,cc,b?bc?a?分是與.設(shè)證明：(1)先假設(shè)與的12?a,b?. 聯(lián)合起來(lái)構(gòu)成了,那么的分割與割12nb ?x)f(x)dx?lim?f 于是iia 0?|?|1i?nn12?)?f()?limxf(?limx i21i1i2i0|?|?|?|?0121i?1?ib c ?f(x)dx(x)dx?f c a a?b?c, (2) 若有 c b c?dxf(x)dx?)f(x)dx?f(x b aa b c c?dxf(xf(x)dx?)(fx)dx? 于是b a a c b?dx)(f(x)dx?x?f. c ac?a?b,同 (3) 若(2)可證.

4、由此可知 如圖由定積分的幾何意義知：b?S?S?Sf(x)dx 213abdc?dx)()dx?)f(xdx?xff(x?. dac1?x)f( 若被積函數(shù)，則【性質(zhì)4】?bb ?adx?bdx?1 .aa nnb ?xlimf(?)?xlimdx? ：證明iiia 0?|0?|?|1?1i?ia?b(b?a)?lim. 0|?|b ?b)?0,x?a,f(x0dx)?f(x. 】5若則,【性質(zhì)a ba,)(xf ,為：注若不在負(fù)、連續(xù)非且恒零則 2 b ?0f(x)dx?. a 0?xa,bf(x)?0,x?, 而 ,證明：因in?0?f(x), 于是 ii1?inb ?0?)?f(x)dx

5、?limxf(. 所以 iia 0|?|?1?i 【推論】b?a,f(x)?g(x),x, (1) 若b b?dxx?f(x)dx)g(. 則a aa,b)(x)?f(x?0,x?F(x)?g ,于是證明：因b b b ?0dxdxf(x)?F(x)g(x)dx? ，aa abb ?dxg(x)(x)dx?f. 所以 aa g(x)在a,b)f(x,ba,?f(x)g(x),x?上連續(xù)且,:若注b b ?)(xg)f(xdx)(x)dx?gf(x. 成立,則與不恒等a a bb ?dxx)|x)dx?|f(f(ba?) . （）(2) 估值不等式aa ?|f(x)|?f(x)?|f(x)|,x

6、?a,b,于是 證明：因 b b b?dxf(x?)f(x)dx?|?|)|f(x|dx, a a a b b?dx|f(xf(x)dx?)| 所以.a a mf(x)M在6】設(shè)為與 【性質(zhì)a,b上的最大值與最小值,則 b?)a?M(bb?a)?(fx)dx(m. a m?f(x)?M,x?a,b,：因所以 證明 b b b?dxx)(?abm(?)mdxmdx?f a a a 3 b ?)?aMdx?M(b?. a x)(xy?f軸與兩條直線由連續(xù)曲線，性質(zhì)6的幾何意義：ax?a,bbx?為底，、所圍成的曲邊梯形面積介于以區(qū)間yy?f(x)mM為高的矩形面積之間分別以. 、【性質(zhì)7】（積分中

7、值定理） ?)(fCa,bf(x)? (1), 定理：設(shè)則?s.t.?a,?b. , b?)(b?a?f()f(x)dx abxa ?Oa,bf(x)M,baf(x)?C與證明：因在上存在最大值, b?mf(x)dx?M(bm(b?a)?a) ,使得 最小值a 1b ?Mdx?m?(x)f 即b?a a 由連續(xù)函數(shù)介值定理知： ?a,b?, 1b ?.s.tdx)?(xf(f, a?b a b?)(b?a?f()f(x)dx. 即 a (2)幾何意義 ?a,bba,為在區(qū)間,上至少存在一個(gè)點(diǎn)使得以區(qū)間y?f(x)為曲頂?shù)那吿菪蔚拿娣e等于同一底底邊，以曲線?)f(的一個(gè)矩形的面積邊而高為. (

8、3)函數(shù)的平均值 1b ?,?Cabf(x)dx?)(xfy 設(shè)稱為函數(shù),那么,b?aa y?f(x)a,b上的平均值. 在區(qū)間T,T)t?v(v上的平均速速度為例如, 的物體在時(shí)間間隔21度為 1 T2?v?(t)dtv. TT?T 1124 二、性質(zhì)應(yīng)用 例1 比較積分值的大小. 11?32dxdxxx ）和（1001132?32dx?xx?dxx?x1)x?(0,. 因, 解： 00112?xxdxeedx 和）（2001122?xxxxdxe?edxee?1)x?(0,. 因 ,解：00? ?sinxdxxdx22 （3和）00? ?)(0,sinx?x,x?sinxdxxdx?22.

9、 解： 因， 200ee?2xdxlndx)(lnx 和(4)11112?2dx)(lnxlnxdx?)(1,e?lnx(lnx),x? ，.解： 因0011?xx)d(1?xxde 與(5) 00xx?(x)?e?1?0(xf(x)?e?(1?x)?0,1)f,令 則,解xe?1?x,x?0,10,1f(x). 所以上單調(diào)遞增在,所以x0,1)?(x?1?xe, 又 11?xx)d(1e?xdx? .所以 0011?xxddx1?lnx (6)與00f(x)?x?ln(1?x),則 令 解1?(x)?1f?0?(x?(0,1), x1?0,1?0,1x?xf() ,則在所以上單調(diào)遞增,.0)

10、f(x?f(0)?, )x0,1?xln(1x?)?ln(1x, 即.又在上所以 5 11?xd?xdx?)ln(1x. 00? ?lncot?Ixdx?,lnsinxdx,J44 2011.3.4.）設(shè)（00? ?lncosxdxK?I,J,K4的大小關(guān)系是（ B ），則 0(A)I?J?K;(B)I?K?J;(C)J?I?K;(D)K?J?I ?)?(0,xx?cotcosx?10?sinx? 時(shí)，提示： 4x?lncotx?0?lnsinxlncos 例2 估計(jì)積分值. 1?dx）1（ 3xsin3?013?1,0?sinx?x),f(,0,?x? ：解 3x3?sin111?,? 33

11、x3?sin4111? ,dxdx?dx? 33x43?sin000?1? .dx? 33x43?sin014?dxx （2）1 214,?xf,1(x)在則f(x)設(shè)上單調(diào)遞增， 解： 2111f(1)?)f(x)?f( 2161111?4)(1?1?(1)xdx 6所以由性質(zhì)知 22161 26 111?4?xdx?. 故 2321 232?3x?2)(xdx ）（312f(x)?x?3x?2,1,3上設(shè)則在解:312?)x?(x)?(f， 2413?f()?f(x)?f(3)?2 所以 4231?2?3x?2)dx?(x2?(3?1)?(3?1)? 6知所以由性質(zhì) 4131?24dx?x

12、?(x2)?3?. 故 2102?xxdxe (4) 21122?)?x?(x?x, 因?yàn)榻?4212?x?x?2?x?0,2), (所以其中 41?2 ?xx2,x?0,e?e?e24. 從而所以12?22xx? ,x?2e?0,2edxe2?4 010?2xx?2? 0,2x?2?e?e?2e,dx4 . 故 2b?a,b(fx)a,b0f(x)dx?在:在設(shè) 上連續(xù)且,試證3例acf(c)?0 ,使上至少存在一點(diǎn)f(x)a,b上連續(xù),因?yàn)?證明在由積分中值定理至少存在一7 bb?f(x)dx)(b?a)?0dxa,b使f(x)?f(cc?且點(diǎn),又aaf(c)?0ba? ，所以 ?f(x)

13、0,1f(x)(0,1)7內(nèi)練習(xí) (91.1.在在)設(shè)上連續(xù)且1?(0,1)(0)f)dx3?f(x內(nèi)至少存在一點(diǎn)可導(dǎo),且在,試證:2 3?)?(0f. ,使22,1,1?0,1)(xf由積分證明:,上連續(xù)在,因?yàn)樗?332?,1?使中值定理知至少存在一點(diǎn), 03121?)?f(?)(1f(x)dxdx)()?3xf(f ,即， 2003 32 31?)f(f(0)?(0)3f(x)dx?f. 又,所以02 3?0,)f(x上滿足羅爾中值定理?xiàng)l件從而在,所以存在0?)?(0,1)?(0,(0,(0,1)f?(0)內(nèi)至又使.,故在00?)?f0(. ,少存在一點(diǎn)使?0,1)xf(?109?.

14、例4 (94.3.上連續(xù)且遞減,)設(shè)在?1?dx)f)dx?(xf(x. 試證: 00?,10,1?0,?1?0?. : 因?yàn)?所以證明?10,時(shí)有由積分中值定理知 存在當(dāng) 2121?1?)()fx)dx?f(x)dx(1f(?),f(21?0?11?)f(f()?(1?dx)xf()dx?f(xdx?f(x)?)21?00f(x)0,1上遞減, 又在?)f(?(f1?0?). 當(dāng) 所以時(shí)22118 從而 ?1?0?)(1?)fff(x)dx?(f(x)dx? 2100?1?dx)?(xff(x)dx 故 00f(x),g(x)0,1上的導(dǎo)數(shù)連續(xù),且設(shè) (05.8) 在 練習(xí)?(x)0,g?0

15、,f0(x)?f(0). a?0,1,證明:對(duì)任何有a1?(1)gf(ag(x)d)fx(x)dx?f(x)xg(. 00a?0,1,對(duì)任何由條件知 證 a1?)(1a)g)dx?)dx?ff(x)g(xg(x)f(x 00aa?(x)dxf(x)(x)fg(x)dx?g 001?(x)dx?f(a)f(x)gg(1) a1a?(x)dx?f(?af(x)g)g(1)?)df(xg(x) a01?xdx)g)a)g(1)?(f(x(?f(a)ga)?f(0)g(0)?f( a1?x)gd(a)?xf(x)?=f(a)g(1)?g( a111?x)a)gd(xx)dx?ff(x)?=f(x)g)

16、(xdx?)f(ag(aaa1?xd(x(a)g?)f(x)?f, a?(x)?0f(xg,)?f(a)?f0(x)?0)1(a,那么在,因有內(nèi), 1?0x?x)f(a)gd(f(x)? ,aa1?)1g(f(x)dx?(agd(gx)f(x)x?f(x). 所以001 2?(1)?fxxf()dx20,1)f(x, 5例 (96.3.)在上可微且設(shè)0?)?0(f(0,1)?f(. :試證在使內(nèi)至少存在一點(diǎn),9 F(x)?xf(x)由積分中值定理知 證明:設(shè)11 2211?0,?)xf(x)dx(x)dx?F(F使至少, 2200?(1)?F(F)f(1)?. 所以 0,1)?xf(xf(x)

17、0,1F(x)上在在在上可微，所以因?yàn)?,1x)F(所以存在,在上滿足羅爾中值定理?xiàng)l件可微.從而?(0,1)(,1)?f0,又(F,1)(?)?f()?. 使?(0,1)? 所以 ?0)(?(0,1)F ，即,故 在使內(nèi)至少存在一點(diǎn)?0(?)?)ff(. 2x31?y?,在3 )提問(wèn) (99.3.函數(shù)上的平均值為 222x1? (1?3) 12 ?3 23221xtx?sin ?2tdty?dx?sin :解 1331?2x?1?1? 6222 ?1)31?(?31 ?2t|?sin3. ?12226 60,1xf() 上可微,練習(xí)(96.5) 設(shè)在區(qū)間且滿足條件1 ?xdx?2)xf(1)f2, 0?0(0,1)?f(?)?)f. 使存在,試證:0x)?,)abg(),f(xg(x,設(shè)函數(shù)例6(02.6) 在上連續(xù),且?,b?a ,使利用閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)性質(zhì),證明存在一點(diǎn)bb?x)d)g()g(xdx?f(x)f(x. aaf(x),g(x)a,bf(x)?g(x)在上連續(xù)在則因?yàn)楹瘮?shù)證 ,mg(x)?0)(f,abxM,設(shè)上可積，和最小值有最大值,因10 mg(x)?f(x)g(x)?Mg(x),則有于是 bbb?x)?dMg(xx