2017年高考(文)數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第6節(jié)正弦定理和余弦定理及其應(yīng)用

1、第6節(jié)正弦定理和余弦定理及其應(yīng)用【選題明細(xì)表】知識(shí)點(diǎn)、方法題號(hào)用正、余弦定理解三角形1,3,5,6,7,11與面積相關(guān)的問(wèn)題4,8,10,12,14判斷三角形的形狀2,9實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題及綜合問(wèn)題13,15,16基礎(chǔ)對(duì)點(diǎn)練(時(shí)間:30分鐘)1.(2016石景山區(qū)模擬)設(shè)ABC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,a=4,b=43,A=30,則B等于(B)(A)60(B)60或120(C)30(D)30或150解析:因?yàn)閍=4,b=43,A=30,由正弦定理asinA=bsinBsin B=bsinAa=32,因?yàn)锽是三角形的內(nèi)角,且ba,所以B=60或120.2.(2015廣州四校聯(lián)考)在AB

2、C中,已知2sin Acos B=sin C,那么ABC一定是(C)(A)直角三角形(B)等腰直角三角形(C)等腰三角形(D)正三角形解析:在三角形中,2sin Acos B=sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin Bsin Acos B-cos Asin B=sin(A-B)=0,所以A=B,即三角形為等腰三角形.3.(2015高考廣東卷)設(shè)ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若a=2,c=23,cos A=32且bc,則b等于(C)(A)3(B)22 (C)2 (D)3解析:由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A,即4=b2+12-6bb2-6

3、b+8=0(b-2)(b-4)=0,由b0,所以a+b=25.答案:2515.(2015高考山東卷)ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c.已知cos B=33,sin (A+B)=69,ac=23,求sin A和c的值.解:在ABC中,由cos B=33,得sin B=63,因?yàn)锳+B+C=,所以sin C=sin(A+B)=69.因?yàn)閟in Csin B,所以CB,可知C為銳角,所以cos C=539,因此sin A=sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C=63539+3369=223.由asinA=csinC,可得a=csinAsinC=223c69=23c

4、.又ac=23,所以c=1.16.某炮兵陣地位于地面A處,兩觀察所分別位于地面C和D處,已知CD=6 km,ACD=45,ADC=75,目標(biāo)出現(xiàn)于地面B處時(shí),測(cè)量得BCD=30,BDC=15,如圖,求炮兵陣地到目標(biāo)的距離.解:在ACD中,CAD=180-ACD-ADC=60,CD=6,ACD=45,根據(jù)正弦定理得AD=CDsin45sin60=23CD.同理,在BCD中,CBD=180-BCD-BDC=135,CD=6,BCD=30,根據(jù)正弦定理得BD=CDsin30sin135=22CD.又在ABD中,ADB=ADC+BDC=90,根據(jù)勾股定理有AB=AD2+BD2=23+12CD=426C

5、D=42 (km).所以炮兵陣地到目標(biāo)的距離為42km.精彩5分鐘1.(2015瀏陽(yáng)一中模擬)已知ABC內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別是a,b,c,若cos B=14,b=2,sin C=2sin A,則ABC的面積為(B)(A)156(B)154(C)152(D)15解題關(guān)鍵:關(guān)鍵求a,c,選用ABC面積公式SABC=12acsin B.解析:由正弦定理asinA=csinC,得c=2a,由余弦定理b2=a2+c2-2accos B,得4=a2+c2-2ac14, 由得a=1,c=2,又sin B=1-cos2B=154,所以SABC=12ac sin B=1212154=154.2.(2014高

6、考江蘇卷)若ABC的內(nèi)角滿(mǎn)足sin A+2sin B=2sin C,則cos C的最小值是.解題關(guān)鍵:關(guān)鍵由sin A+2sin B=2sin C轉(zhuǎn)化為邊關(guān)系,再由余弦定理化為兩邊代數(shù)式,運(yùn)用基本不等式.解析:由正弦定理可得a+2b=2c,又cos C=a2+b2-c22ab=a2+b2-14(a+2b)22ab=3a2+2b2-22ab8ab26ab-22ab8ab=6-24,當(dāng)且僅當(dāng)3a=2b時(shí)取等號(hào),所以cos C的最小值是6-24.答案:6-243.(2015臨沂模擬)某漁輪在航行中不幸遇險(xiǎn),發(fā)出呼叫信號(hào),我海軍艦艇在A處獲悉后,立即測(cè)出該漁輪在方位角為45距離為10海里的C處,并測(cè)得漁輪正沿方位角為105的方向,以9海里/小時(shí)的速度向小島靠攏,我海軍艦艇立即以21海里/小時(shí)的速度前去營(yíng)救,則艦艇靠近漁輪所需的時(shí)間為 小時(shí).解題關(guān)鍵:首先根據(jù)題意畫(huà)出圖形,再根據(jù)兩船所用時(shí)間相同,在三角形中利用余弦定理列方程求解.解析:如圖,設(shè)艦艇在B處靠近漁輪,所需的時(shí)間為t小時(shí),則AB=21t,CB=9t,在ABC中,根據(jù)余弦定理,則有AB