高中數(shù)學(xué)三角函數(shù)知識點總結(jié)實用版

1、三角函數(shù)1. 與（0360）終邊相同的角的集合（角與角的終邊重合）：終邊在x軸上的角的集合： 終邊在y軸上的角的集合：終邊在坐標(biāo)軸上的角的集合： 終邊在y=x軸上的角的集合： 終邊在軸上的角的集合：若角與角的終邊關(guān)于x軸對稱，則角與角的關(guān)系：若角與角的終邊關(guān)于y軸對稱，則角與角的關(guān)系：若角與角的終邊在一條直線上，則角與角的關(guān)系：角與角的終邊互相垂直，則角與角的關(guān)系：2. 角度與弧度的互換關(guān)系：360=2 180= 1=0.01745 1=57.30=5718注意：正角的弧度數(shù)為正數(shù)，負(fù)角的弧度數(shù)為負(fù)數(shù)，零角的弧度數(shù)為零.、弧度與角度互換公式： 1rad57.30=5718 10.01745（r

2、ad）3、弧長公式：. 扇形面積公式：4、三角函數(shù)：設(shè)是一個任意角，在的終邊上任?。ó愑谠c的）一點P（x,y）P與原點的距離為r，則 ； ； ； ； ；. .5、三角函數(shù)在各象限的符號：（一全二正弦，三切四余弦）6、三角函數(shù)線 正弦線：MP; 余弦線：OM; 正切線： AT.7. 三角函數(shù)的定義域：三角函數(shù) 定義域sinxcosxtanxcotxsecxcscx8、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式： 9、誘導(dǎo)公式：“奇變偶不變，符號看象限”三角函數(shù)的公式：（一）基本關(guān)系 公式組二 公式組三 公式組四 公式組五 公式組六 （二）角與角之間的互換公式組一 公式組二 公式組三 公式組四 公式組五 , ,.

3、 10. 正弦、余弦、正切、余切函數(shù)的圖象的性質(zhì)：（A、0）定義域RRR值域RR周期性 奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)當(dāng)非奇非偶當(dāng)奇函數(shù)單調(diào)性上為增函數(shù)；上為減函數(shù)（）；上為增函數(shù)上為減函數(shù)（）上為增函數(shù)（）上為減函數(shù)（）上為增函數(shù)；上為減函數(shù)（）注意：與的單調(diào)性正好相反；與的單調(diào)性也同樣相反.一般地，若在上遞增（減），則在上遞減（增）.與的周期是.或（）的周期.的周期為2（，如圖，翻折無效）. 的對稱軸方程是（），對稱中心（）；的對稱軸方程是（），對稱中心（）；的對稱中心（）.當(dāng)；.與是同一函數(shù),而是偶函數(shù)，則.函數(shù)在上為增函數(shù).（） 只能在某個單調(diào)區(qū)間單調(diào)遞增. 若在整個定義域，為增函數(shù)，

4、同樣也是錯誤的.定義域關(guān)于原點對稱是具有奇偶性的必要不充分條件.（奇偶性的兩個條件：一是定義域關(guān)于原點對稱（奇偶都要），二是滿足奇偶性條件，偶函數(shù)：，奇函數(shù)：）奇偶性的單調(diào)性：奇同偶反. 例如：是奇函數(shù)，是非奇非偶.（定義域不關(guān)于原點對稱）奇函數(shù)特有性質(zhì)：若的定義域，則一定有.（的定義域，則無此性質(zhì)）不是周期函數(shù)；為周期函數(shù)（）；是周期函數(shù)（如圖）；為周期函數(shù)（）；的周期為（如圖），并非所有周期函數(shù)都有最小正周期，例如： . 有.三角函數(shù)的圖象變換有振幅變換、周期變換和相位變換等函數(shù)yAsin（x）的振幅|A|，周期，頻率，相位初相（即當(dāng)x0時的相位）（當(dāng)A0，0 時以上公式可去絕對值符號），

5、由ysinx的圖象上的點的橫坐標(biāo)保持不變，縱坐標(biāo)伸長（當(dāng)|A|1）或縮短（當(dāng)0|A|1）到原來的|A|倍，得到y(tǒng)Asinx的圖象，叫做振幅變換或叫沿y軸的伸縮變換（用y/A替換y）由ysinx的圖象上的點的縱坐標(biāo)保持不變，橫坐標(biāo)伸長（0|1）或縮短（|1）到原來的倍，得到y(tǒng)sin x的圖象，叫做周期變換或叫做沿x軸的伸縮變換(用x替換x)由ysinx的圖象上所有的點向左（當(dāng)0）或向右（當(dāng)0）平行移動個單位，得到y(tǒng)sin（x）的圖象，叫做相位變換或叫做沿x軸方向的平移(用x替換x)由ysinx的圖象上所有的點向上（當(dāng)b0）或向下（當(dāng)b0）平行移動b個單位，得到y(tǒng)sinxb的圖象叫做沿y軸方向的平

6、移（用y+(-b)替換y）由ysinx的圖象利用圖象變換作函數(shù)yAsin（x）（A0，0）（xR）的圖象，要特別注意：當(dāng)周期變換和相位變換的先后順序不同時，原圖象延x軸量伸縮量的區(qū)別。高中數(shù)學(xué)三角函數(shù)常見習(xí)題類型及解法1.三角函數(shù)恒等變形的基本策略。（1）常值代換：特別是用“1”的代換，如1=cos2+sin2=tanxcotx=tan45等。（2）項的分拆與角的配湊。如分拆項：sin2x+2cos2x=(sin2x+cos2x)+cos2x=1+cos2x；配湊角：=（+），=等。（3）降次與升次。（4）化弦（切）法。（4）引入輔助角。asin+bcos=sin(+)，這里輔助角所在象限由a

7、、b的符號確定，角的值由tan=確定。2.證明三角等式的思路和方法。（1）思路：利用三角公式進(jìn)行化名，化角，改變運算結(jié)構(gòu)，使等式兩邊化為同一形式。（2）證明方法：綜合法、分析法、比較法、代換法、相消法、數(shù)學(xué)歸納法。3.證明三角不等式的方法：比較法、配方法、反證法、分析法，利用函數(shù)的單調(diào)性，利用正、余弦函數(shù)的有界性，利用單位圓三角函數(shù)線及判別法等。4.解答三角高考題的策略。（1）發(fā)現(xiàn)差異：觀察角、函數(shù)運算間的差異，即進(jìn)行所謂的“差異分析”。（2）尋找聯(lián)系：運用相關(guān)公式，找出差異之間的內(nèi)在聯(lián)系。（3）合理轉(zhuǎn)化：選擇恰當(dāng)?shù)墓?，促使差異的轉(zhuǎn)化。四、例題分析例1已知，求（1）；（2）的值.解：（1）；

8、 (2) .說明：利用齊次式的結(jié)構(gòu)特點（如果不具備，通過構(gòu)造的辦法得到），進(jìn)行弦、切互化，就會使解題過程簡化。例2求函數(shù)的值域。解：設(shè)，則原函數(shù)可化為，因為，所以當(dāng)時，當(dāng)時，所以，函數(shù)的值域為。例3已知函數(shù)。（1）求的最小正周期、的最大值及此時x的集合；（2）證明：函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱。解： (1)所以的最小正周期，因為，所以，當(dāng)，即時，最大值為；(2)證明：欲證明函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱，只要證明對任意，有成立，因為，所以成立，從而函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱。例4 已知函數(shù)y=cos2x+sinxcosx+1 （xR）,（1）當(dāng)函數(shù)y取得最大值時，求自變量x的集合；（2）該函數(shù)的圖像可由y=si

9、nx(xR)的圖像經(jīng)過怎樣的平移和伸縮變換得到？解：（1）y=cos2x+sinxcosx+1= (2cos2x1)+ +（2sinxcosx）+1=cos2x+sin2x+=(cos2xsin+sin2xcos)+=sin(2x+)+所以y取最大值時，只需2x+=+2k,（kZ），即 x=+k,（kZ）。所以當(dāng)函數(shù)y取最大值時，自變量x的集合為x|x=+k,kZ（2）將函數(shù)y=sinx依次進(jìn)行如下變換：（i）把函數(shù)y=sinx的圖像向左平移，得到函數(shù)y=sin(x+)的圖像；（ii）把得到的圖像上各點橫坐標(biāo)縮短到原來的倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)y=sin(2x+)的圖像；（iii）把得到的圖

10、像上各點縱坐標(biāo)縮短到原來的倍（橫坐標(biāo)不變），得到函數(shù)y=sin(2x+)的圖像； （iv）把得到的圖像向上平移個單位長度，得到函數(shù)y=sin(2x+)+的圖像。綜上得到y(tǒng)=cos2x+sinxcosx+1的圖像。說明：本題是2000年全國高考試題，屬中檔偏容易題，主要考查三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)。這類題一般有兩種解法：一是化成關(guān)于sinx,cosx的齊次式，降冪后最終化成y=sin (x+)+k的形式，二是化成某一個三角函數(shù)的二次三項式。本題（1）還可以解法如下：當(dāng)cosx=0時，y=1；當(dāng)cosx0時，y=+1=+1化簡得：2(y1)tan2xtanx+2y3=0tanxR，=38(y1)(2y

11、3) 0,解之得：yymax=，此時對應(yīng)自變量x的值集為x|x=k+,kZ例5已知函數(shù) （）將f(x)寫成的形式，并求其圖象對稱中心的橫坐標(biāo)； （）如果ABC的三邊a、b、c滿足b2=ac，且邊b所對的角為x，試求x的范圍及此時函數(shù)f(x)的值域.解： （）由=0即即對稱中心的橫坐標(biāo)為（）由已知b2=ac 即的值域為.綜上所述， ， 值域為 . 說明：本題綜合運用了三角函數(shù)、余弦定理、基本不等式等知識，還需要利用數(shù)形結(jié)合的思想來解決函數(shù)值域的問題，有利于培養(yǎng)學(xué)生的運算能力，對知識進(jìn)行整合的能力。例6在中，a、b、c分別是角A、B、C的對邊，且，(1)求的值；(2)若，且a=c，求的面積。解：(

12、1)由正弦定理及，有，即，所以，又因為，所以，因為，所以，又，所以。(2)在中，由余弦定理可得，又，所以有，所以的面積為。三角函數(shù)一、選擇題(本大題共10小題，每小題5分，共50分)1已知點P（tan，cos）在第三象限，則角的終邊在 （ ）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2集合Mx|x，kZ與Nx|x，kZ之間的關(guān)系是 （ ）A.MNB.NM C.MN D.MN 3若將分針撥慢十分鐘，則分針?biāo)D(zhuǎn)過的角度是 （ ）A.60 B.60 C.30 D.30 4已知下列各角（1）787，(2)957，(3)289，(4)1711，其中在第一象限的角是 ( )A.（1）（2）

13、B.（2）（3） C.（1）（3） D.（2）（4） 5設(shè)a0，角的終邊經(jīng)過點P（3a，4a），那么sin2cos的值等于 （ ）A. B. C. D. 6若cos()，2，則sin(2)等于 （ ）A. B. C. D. 7若是第四象限角，則是 （ ）A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角 8已知弧度數(shù)為2的圓心角所對的弦長也是2，則這個圓心角所對的弧長是 （ ）A.2 B. C.2sin1 D.sin2 9如果sinxcosx，且0x，那么cotx的值是 （ ）A. B.或 C. D. 或 10若實數(shù)x滿足log2x2sin，則|x1|x10|的值等于 （ ）A.2x9

14、B.92x C.11 D.9 二、填空題(本大題共6小題，每小題5分，共30分)11tan300cot765的值是_. 12若2，則sincos的值是_. 13不等式（lg20)2cosx1，(x(0，)的解集為_. 14若滿足cos，則角的取值集合是_.15若cos130a，則tan50_. 16已知f(x)，若(，)，則f(cos)f(cos)可化簡為_. 三、解答題（本大題共5小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17（本小題滿分12分）設(shè)一扇形的周長為C(C0)，當(dāng)扇形中心角為多大時，它有最大面積？最大面積是多少？18(本小題滿分14分）設(shè)90180，角的終邊上一點為

15、P（x，)，且cosx，求sin與tan的值.19(本小題滿分14分)已知，sin，cos，求m的值.20(本小題滿分15分)已知045，且lg(tan)lg(sin)lg(cos)lg(cot)2lg3lg2，求cos3sin3的值.21(本小題滿分15分)已知sin(5)cos()和cos()cos()，且0，0，求和的值. 三角函數(shù)一、選擇題（本大題共10小題，每小題5分，共50分）1下列函數(shù)中，最小正周期為的偶函數(shù)是 （ ）A.ysin2x B.ycosC.ysin2xcos2xD.y 2設(shè)函數(shù)ycos(sinx)，則 （ ）A.它的定義域是1，1 B.它是偶函數(shù)C.它的值域是cos1

16、，cos1 D.它不是周期函數(shù) 3把函數(shù)ycosx的圖象上的所有點的橫坐標(biāo)縮小到原來的一半，縱坐標(biāo)擴(kuò)大到原來的兩倍，然后把圖象向左平移個單位.則所得圖象表示的函數(shù)的解析式為 （ ）A.y2sin2xB.y2sin2xC.y2cos(2x)D.y2cos() 4函數(shù)y2sin(3x)圖象的兩條相鄰對稱軸之間的距離是 （ ）A. B. C. D. 5若sincosm，且m1，則角所在象限是 （ ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限 6函數(shù)y|cotx|sinx（0x且x）的圖象是 （ ）7設(shè)y，則下列結(jié)論中正確的是 （ ）A.y有最大值也有最小值 B.y有最大值但無最小值C.y有最小

17、值但無最大值 D.y既無最大值又無最小值 8函數(shù)ysin（2x)的單調(diào)增區(qū)間是 （ ）A.k，k(kZ) B.k，k(kZ)C.k，k(kZ) D.k，k(kZ) 9已知0x，且a0，那么函數(shù)f(x)cos2x2asinx1的最小值是 （ ）A.2a1 B.2a1 C.2a1 D.2a 10求使函數(shù)ysin(2x)cos(2x)為奇函數(shù)，且在0，上是增函數(shù)的的一個值為 （ ）A. B. C. D. 二、填空題（本大題共6小題，每小題5分，共30分）11函數(shù)y的值域是_. 12函數(shù)y的定義域是_.13如果x，y0，且滿足|sinx|2cosy2，則x_，y_.14已知函數(shù)y2cosx，x0，2和

18、y2，則它們的圖象所圍成的一個封閉的平面圖形的面積是_ 15函數(shù)ysinxcosxsin2x的值域是_. 16關(guān)于函數(shù)f(x)4sin(2x)(xR)有下列命題：由f(x1)f(x2)0可得x1x2必是的整數(shù)倍；yf(x)的表達(dá)式可改為y4cos(2x)；yf(x)的圖象關(guān)于點（，0)對稱；yf(x)的圖象關(guān)于直線x對稱.其中正確的命題的序號是_. 三、解答題（本大題共5小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17（本小題滿分12分）如圖為函數(shù)yAsin(x)(A0，0)的圖象的一部分，試求該函數(shù)的一個解析式.18（本小題滿分14分）已知函數(shù)y(sinxcosx)22cos2x.(xR)(1)當(dāng)y取得最大值時，求自變量x的取值集合.(2)該函數(shù)圖象可由ysinx(xR)的