第二十四章圓小結(jié)

1、第二十四章圓小結(jié)昆明市實(shí)驗(yàn)中學(xué)初三（）班陳璇、本章知識(shí)結(jié)構(gòu)框圖：、本章知識(shí)點(diǎn)：1、圓的定義：圓有兩種定義方式：（）在一個(gè)平面內(nèi)線(xiàn)段繞它固定的一個(gè)端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一周，另一個(gè)端點(diǎn)隨之旋轉(zhuǎn)所形成的圖形叫做圓，固定的端點(diǎn)叫做圓心，線(xiàn)段叫做半徑。（）圓是所有點(diǎn)到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合。注意：定義（）是描述性定義，定義（）揭示了圓的本質(zhì)，一方面說(shuō)明圓上各點(diǎn)到定點(diǎn)（圓心）的距離等于定長(zhǎng)（半徑的長(zhǎng)），另一方面說(shuō)明到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)都在圓上。確定一個(gè)圓有個(gè)元素，一個(gè)是圓心，一個(gè)是半徑，圓心確定圓的位置，半徑確定圓的大小。、和圓相關(guān)的概念：（）弦：連結(jié)圓上任意兩點(diǎn)的線(xiàn)段；（弦不一定是直徑，直徑一定是弦，直徑

2、是圓中最長(zhǎng)的弦）（）直徑：經(jīng)過(guò)圓心的弦；（）?。簣A上任意兩點(diǎn)間的部分；（弧的度數(shù)等于這條弧所對(duì)的圓心角的度數(shù)，等于這條弧所對(duì)圓周角的兩倍）（）半圓：圓的任意一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)分圓成兩條弧，每一條弧都叫做半圓；（）優(yōu)?。捍笥诎雸A的弧，用三個(gè)大寫(xiě)字母表示；（）劣?。盒∮诎雸A的弧，用兩個(gè)大寫(xiě)字母表示；（）弓形由弦及其所對(duì)的弧組成的圖形；（）等圓：能夠重合的兩個(gè)圓；（）等?。涸谕瑘A或等圓中，能夠互相重合的?。唬ǎ┩膱A：圓心相同，半徑不相等的兩個(gè)圓；（）圓心角：定點(diǎn)是圓心的角；（）圓周角：頂點(diǎn)在圓上，并且兩邊都和圓相交的角；（）弦心距：圓心到弦的距離。注意：（）直徑等于半徑的倍；（）同圓或等圓的半徑相

3、等；（）等弧必須是同圓或等圓中的?。唬ǎ┗￠L(zhǎng)相等的弧不一定是等弧，但等弧的弧長(zhǎng)必相等。、圓心角的定義及性質(zhì)：（）圓心角的定義：定點(diǎn)是圓心的角叫做圓心角。（）圓心角、弦、弧的有關(guān)定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦相等；在同圓或等圓中，如果兩條弧相等，那么這兩條弧所對(duì)的圓心角相等，所對(duì)的弦相等；在同圓或等圓中，如果兩條弦相等，那么這兩條弦所對(duì)的圓心角相等，所對(duì)的弧相等。4、圓周角的定義及性質(zhì)：（）圓周角的定義：頂點(diǎn)在圓上，并且兩邊都和圓相交的角叫做圓周角。注意：（）圓周角必須具備兩個(gè)條件：頂點(diǎn)在圓上；角的兩邊都和圓相交，二者缺一不可；（）圓周角和圓心角的相同點(diǎn)：兩邊都和圓相交

4、；不同點(diǎn)：圓心角的頂點(diǎn)在圓心；圓周角的頂點(diǎn)在圓上。（）圓周角的性質(zhì)：一條弧所對(duì)的圓周角等于該弧所對(duì)的圓心角的一半；在同圓或等圓中，同?。ɑ虻然。┧鶎?duì)的圓周角相等；在同圓或等圓中，相等的圓周角所對(duì)的弧相等；半圓或直徑所對(duì)的圓周角都相等，都等于（直角）；的圓周角所對(duì)的弦是圓的直徑，所對(duì)的弧是半圓；如果三角形一邊上的中線(xiàn)等于這邊的一半，那么這個(gè)三角形是直角三角形。5、垂徑定理與推理：（）垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧。注意：這個(gè)結(jié)論中涉及圓中不是直徑的弦與直徑所在直線(xiàn)的關(guān)系，如果圓的一條非直徑的弦和一條直線(xiàn)滿(mǎn)足以下五個(gè)條件中的任意兩個(gè)，那么它一定滿(mǎn)足其余三個(gè)：（）直線(xiàn)過(guò)圓

5、心；（）直線(xiàn)垂直于弦；（）直線(xiàn)平分弦；（）直線(xiàn)平分弦所對(duì)的劣??；（）直線(xiàn)平分弦所對(duì)的優(yōu)弧，也可簡(jiǎn)單地理解為“二推三”。（）垂徑定理的推論：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧。6、圓的對(duì)稱(chēng)性：（）圓既是中心對(duì)稱(chēng)圖形，又是軸對(duì)稱(chēng)圖形。將圓周繞圓心旋轉(zhuǎn)能與自身重合，因此它是中心對(duì)稱(chēng)圖形，它的對(duì)稱(chēng)中心是圓心，將圓周繞圓心旋轉(zhuǎn)任意一角度都能與自身重合，這說(shuō)明圓具有旋轉(zhuǎn)不變性，是旋轉(zhuǎn)對(duì)稱(chēng)的特例。經(jīng)圓心畫(huà)任意一條直線(xiàn)，并沿此直線(xiàn)將圓對(duì)折，直線(xiàn)兩旁的部分能夠完全重合，所以圓是軸對(duì)稱(chēng)圖形，每一條直徑所在的直線(xiàn)都是它的對(duì)稱(chēng)軸，所以圓有無(wú)數(shù)條對(duì)稱(chēng)軸。（）在同圓或等圓中，圓心角、弧、弦、弦心距之

6、間的關(guān)系：在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦、兩弦的弦心距中，有一組量相等，那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量也分別相等。注意：運(yùn)用本知識(shí)時(shí)應(yīng)注意其成立的條件：“在同圓或等圓中”，也可簡(jiǎn)單地理解為“一推三”。、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系：點(diǎn)與圓有三種位置關(guān)系：點(diǎn)在圓外、點(diǎn)在圓上、點(diǎn)在圓內(nèi)。設(shè)的半徑為，點(diǎn)到圓心的距離為，則有：點(diǎn)在圓外；點(diǎn)在圓上；點(diǎn)在圓內(nèi)。注意：可以根據(jù)點(diǎn)到圓心的距離與圓的半徑的大小比較來(lái)確定點(diǎn)與圓的位置關(guān)系。、確定圓的條件：過(guò)一個(gè)點(diǎn)可以作無(wú)數(shù)個(gè)圓；過(guò)兩個(gè)點(diǎn)可以作無(wú)數(shù)個(gè)圓，這些圓的圓心在連接這兩個(gè)點(diǎn)的線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)上；過(guò)在同一條直線(xiàn)上的三個(gè)點(diǎn)不能作圓；過(guò)不在同一直線(xiàn)上的三個(gè)點(diǎn)可確定一

7、個(gè)圓。、三角形的外接圓及外心：經(jīng)過(guò)三角形各頂點(diǎn)的圓叫做三角形的外接圓，外接圓的圓心叫做三角形的外心，這個(gè)三角形叫做這個(gè)圓的內(nèi)接三角形。注意：（）三角形的外心是三角形三邊的垂直平分線(xiàn)的交點(diǎn)；三角形的外心到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，任何三角形有且只有一個(gè)外接圓，任何一個(gè)圓有無(wú)數(shù)個(gè)內(nèi)接三角形；（）銳角三角形的外心在三角形的內(nèi)部；直角三角形的外心是斜邊的中點(diǎn)，外接圓的半徑等于斜邊的一半；鈍角三角形的外心在三角形的外部。、圓的內(nèi)接四邊形：如果一個(gè)四邊形的各個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)圓上，這個(gè)四邊形叫做圓的內(nèi)接四邊形，這個(gè)圓叫做這個(gè)四邊形的外接圓。定理：圓的內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)，并且任何一個(gè)外角都等于它的內(nèi)對(duì)角。注

8、意：圓的內(nèi)接平行四邊形是矩形；圓的內(nèi)接梯形是等腰梯形。、直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系：直線(xiàn)與圓有三種位置關(guān)系：相交、相切、相離。（）直線(xiàn)和圓有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，叫做直線(xiàn)與圓相交，這時(shí)直線(xiàn)叫做圓的割線(xiàn)；（）直線(xiàn)和圓有唯一公共點(diǎn)時(shí)，叫做直線(xiàn)與圓相切，這時(shí)直線(xiàn)叫做圓的切線(xiàn)，唯一的公共點(diǎn)叫做切點(diǎn)；（）直線(xiàn)和圓沒(méi)有公共點(diǎn)時(shí)，叫做直線(xiàn)與圓相離。若的半徑為，圓心到直線(xiàn)的距離為，則直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系、交點(diǎn)個(gè)數(shù)及與的數(shù)量關(guān)系如下表：直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系相離相切相交交點(diǎn)個(gè)數(shù)與數(shù)量關(guān)系直線(xiàn)名稱(chēng)公共點(diǎn)名稱(chēng)注意：可以根據(jù)圓心到直線(xiàn)的距離與圓的半徑的大小比較來(lái)判定直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系。、切線(xiàn)的判定與性質(zhì)：（）切線(xiàn)的判定定理：經(jīng)過(guò)半徑的外端

9、并且垂直于這條半徑的直線(xiàn)是圓的切線(xiàn)。切線(xiàn)必須滿(mǎn)足兩個(gè)條件：經(jīng)過(guò)半徑的外端；垂直于這條半徑。兩個(gè)條件缺一不可。注意：在判定直線(xiàn)與圓相切時(shí)，若直線(xiàn)與圓的公共點(diǎn)已知，證題方法是“連半徑，證垂直”；若直線(xiàn)與圓的公共點(diǎn)未知，證題方法是作垂線(xiàn)，證半徑。這兩種情況可概括為一句話(huà)：“有點(diǎn)連半徑，無(wú)點(diǎn)作垂線(xiàn)”。（）切線(xiàn)的性質(zhì)定理：圓的切線(xiàn)垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑。推論：經(jīng)過(guò)圓心且垂直于切線(xiàn)的直線(xiàn)必經(jīng)過(guò)切點(diǎn)；經(jīng)過(guò)切點(diǎn)且垂直于切線(xiàn)的直線(xiàn)必經(jīng)過(guò)圓心。注意：圓的切線(xiàn)性質(zhì)定理與它的兩個(gè)推論涉及了一條直線(xiàn)的三條性質(zhì)：垂直于切線(xiàn)；過(guò)圓心；過(guò)切點(diǎn)。如果一條直線(xiàn)滿(mǎn)足以上三個(gè)條件中的任意兩個(gè)，那它一定滿(mǎn)足另外一個(gè)條件，也可以簡(jiǎn)單地理解

10、為“二推一”。、三角形的內(nèi)切圓和內(nèi)心：（）定義：與三角形三邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓，內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的內(nèi)心，這個(gè)三角形叫做圓的外切三角形。（）性質(zhì)：三角形的內(nèi)心是三角形三內(nèi)角的角平分線(xiàn)的交點(diǎn)，三角形的內(nèi)心到三角形三邊的距離相等。注意：任意三角形有且只有一個(gè)內(nèi)切圓，內(nèi)心一定在三角形內(nèi)，任意一個(gè)圓有無(wú)數(shù)個(gè)外切三角形；如果三角形三邊長(zhǎng)分別為、，內(nèi)切圓半徑為r，則三角形的面積（）。、切線(xiàn)長(zhǎng)定理：（）定義：在經(jīng)過(guò)圓外一點(diǎn)的切線(xiàn)上，這點(diǎn)和切點(diǎn)之間的線(xiàn)段的長(zhǎng)，叫做這點(diǎn)到圓的切線(xiàn)長(zhǎng)。（）定理：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線(xiàn)，它們的切線(xiàn)長(zhǎng)相等，圓心和這一點(diǎn)的連線(xiàn)平分兩條切線(xiàn)的夾角。注意：圓的外切四邊形的兩

11、組對(duì)邊的和相等。、圓與圓的位置關(guān)系：在平面內(nèi)，兩圓做相對(duì)運(yùn)動(dòng)，可以得到下面不同的位置關(guān)系：（）兩圓外離：兩個(gè)圓沒(méi)有公共點(diǎn)，并且每個(gè)圓上的點(diǎn)都在另一個(gè)圓的外部；（）兩圓外切：兩圓有唯一的公共點(diǎn)，并且除了這個(gè)公共點(diǎn)以外，每個(gè)圓上的點(diǎn)都在另一個(gè)圓的外部；（）兩圓相交：兩圓有兩個(gè)公共點(diǎn)；（）兩圓內(nèi)切：兩圓有唯一的公共點(diǎn)，并且除了這個(gè)公共點(diǎn)以外，一個(gè)圓上的點(diǎn)都在另一個(gè)圓的內(nèi)部；（）兩圓內(nèi)含：兩圓沒(méi)有公共點(diǎn)，并且一個(gè)圓上的點(diǎn)都在另一個(gè)圓的內(nèi)部；（）同心圓：兩圓同心是兩圓內(nèi)含的一種特例。、兩圓的位置關(guān)系、數(shù)量關(guān)系及識(shí)別方法：設(shè)兩圓的半徑分別為和，圓心距（圓心之間的距離）為。位置關(guān)系公共點(diǎn)個(gè)數(shù)、與的關(guān)系公切線(xiàn)

12、條數(shù)外離外切相交內(nèi)切內(nèi)含注意：（）上表中，兩圓內(nèi)含時(shí)，如果，則來(lái)那個(gè)圓同心，這是內(nèi)含的一種特殊情況；（）上表中的形與數(shù)、數(shù)與數(shù)均可作等價(jià)轉(zhuǎn)換；（）兩圓公共點(diǎn)個(gè)數(shù)為時(shí)要分內(nèi)含與外離兩種情況；兩圓公共點(diǎn)個(gè)數(shù)為時(shí)要分內(nèi)切與外切兩種情況。、兩圓相交的性質(zhì)：相交兩圓的連心線(xiàn)垂直平方兩圓的公共弦。注意：在題目的已知條件中，若有“兩圓相交”的條件時(shí)，常常作兩圓的公共弦，通過(guò)公共弦使之出現(xiàn)同弧上的圓周角或構(gòu)成圓內(nèi)接四邊形進(jìn)而溝通兩圓中角之間的關(guān)系。、兩圓相切的性質(zhì)：如果兩圓相切，那么切點(diǎn)一定在連心線(xiàn)上。注意：在題目已知條件中，若有“兩圓相切”的條件時(shí)，經(jīng)常過(guò)切點(diǎn)作兩圓的公切線(xiàn)，這樣通過(guò)弦切角溝通兩圓中角之間的

13、關(guān)系。、弧長(zhǎng)的計(jì)算：（）圓周長(zhǎng)公式：（為圓的半徑）（）弧長(zhǎng)公式：（為弧所對(duì)的圓心角度數(shù)，不帶單位，為圓的半徑）、扇形面積的計(jì)算：（）扇形的定義：由組成圓心角的兩條半徑和圓心角所對(duì)的弧所圍成的圖形叫做扇形。（）圓的面積公式：（為圓的半徑）（）扇形的面積公式：扇形（為扇形所在圓的半徑，為扇形的弧長(zhǎng)）注意：在運(yùn)用扇形的面積公式時(shí)，應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：（）公式中的與弧長(zhǎng)公式中的一樣，表示的圓心角的倍數(shù)，不帶單位；（）扇形面積公式扇形與內(nèi)切圓中的三角形面積公式十分類(lèi)似；（）根據(jù)扇形面積公式及弧長(zhǎng)公式，已知扇形、四個(gè)量中的任意兩個(gè)量都可以求出另外兩個(gè)量。、圓錐的側(cè)面積與全面積：（）圓錐的有關(guān)概念：圓錐是由一個(gè)

14、底面和一個(gè)側(cè)面組成的。我們把圓錐底面圓周長(zhǎng)上任意一點(diǎn)與圓錐頂點(diǎn)的連線(xiàn)叫做圓錐的母線(xiàn)，連結(jié)頂點(diǎn)與底面圓心的線(xiàn)段叫做圓錐的高。（）圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖：沿著圓錐的母線(xiàn)可把圓錐的側(cè)面展開(kāi)，圓錐的側(cè)面積展開(kāi)圖是扇形，這個(gè)扇形的半徑等于圓錐的母線(xiàn)長(zhǎng)，弧長(zhǎng)等于圓錐底面圓的周長(zhǎng)。（）圓錐的側(cè)面積和全面積公式：圓錐的側(cè)面積就是弧長(zhǎng)為圓錐底面圓的周長(zhǎng)，半徑為圓錐的一條母線(xiàn)長(zhǎng)的扇形面積，其計(jì)算公式為：側(cè)；而圓錐的全面積就是它的側(cè)面積與它的底面積之和，其計(jì)算公式為：全側(cè)底（）。特別提醒：在計(jì)算圓錐的側(cè)面積時(shí)，要注意各字母之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，千萬(wàn)不可錯(cuò)把圓錐底面圓的半徑等同于扇形半徑或把圓錐母線(xiàn)長(zhǎng)當(dāng)做扇形的弧長(zhǎng)。、圓柱的側(cè)面

15、展開(kāi)圖：把圓柱的側(cè)面沿它的一條母線(xiàn)剪開(kāi)，展在一個(gè)平面上，即得到圓柱的側(cè)面展開(kāi)圖，這個(gè)展開(kāi)圖是矩形，矩形的一邊長(zhǎng)等于圓柱的高，即圓柱的母線(xiàn)長(zhǎng)，另一邊是底面圓的周長(zhǎng)。圓柱的側(cè)面積等于底面圓的周長(zhǎng)乘以圓柱的高，圓柱的全面積等于側(cè)面和兩個(gè)底面圓的面積之和，即側(cè)，全側(cè)圓（）。、正多邊形的定義及有關(guān)概念：（）正多邊形的定義：各邊相等，各角也相等的多邊形叫做正多邊形。當(dāng)時(shí)，這個(gè)正多邊形就叫做正邊形。（）正多邊形中的有關(guān)概念：正多邊形的外接圓或內(nèi)切圓的圓心叫做正多邊形的中心；外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑；中心到正多邊形一邊的距離叫做正多邊形的邊心距；正多邊形每一邊所對(duì)的圓心角叫做正多邊形的中心角，每個(gè)中心角

16、等于；任何一個(gè)正多邊形的中心角都等于外角，等于；外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑，用表示；內(nèi)切圓的半徑叫做正多邊形的邊心距，用表示。、正多邊形和圓的關(guān)系：把一個(gè)圓分成相等的一些弧，就可以做出這個(gè)圓的內(nèi)接正多邊形，這個(gè)圓是這個(gè)正多邊形的外接圓。弦相等各邊相等弧相等正多邊形圓周角相等各角相等、正多邊形的有關(guān)計(jì)算公式：任意（正）多邊形的面積公式：（表示內(nèi)切圓的半徑，表示內(nèi)切圓的周長(zhǎng)）任意（正）多邊形的內(nèi)角和公式：（）任意正多邊形的內(nèi)角公式：任意（正）多邊形的對(duì)角線(xiàn)條數(shù)公式：（）任意（正）多邊形的外角和公式：、反證法的定義及步驟：（）反證法的定義：不是直接從原題的已知得出結(jié)論，而是假設(shè)命題的結(jié)論不成立，

17、由此經(jīng)過(guò)推理得出矛盾，由矛盾斷定所做的假設(shè)不成立，從兒童，原命題不成立，這種方法叫做反證法。（）反證法的步驟：假設(shè)命題的結(jié)論不成立；推出矛盾；得出結(jié)論。、探究過(guò)一點(diǎn)、兩點(diǎn)和不在同一直線(xiàn)上的三點(diǎn)作圓：（）過(guò)一點(diǎn)的圓有無(wú)數(shù)個(gè)：分析：作圓的關(guān)鍵是確定圓心的位置和半徑的大小，過(guò)點(diǎn)作圓，只需要使點(diǎn)在圓上，則以異于點(diǎn)的任一點(diǎn)為圓心，以這點(diǎn)到點(diǎn)的距離為半徑所作的圓都可以滿(mǎn)足條件，這樣的圓有無(wú)數(shù)個(gè)。（）作圓，使它經(jīng)過(guò)平面上的、兩點(diǎn)：分析：只要以與點(diǎn)、的距離相等的點(diǎn)為圓心，即以線(xiàn)段的中垂線(xiàn)上任意一點(diǎn)為圓心，以這一點(diǎn)與點(diǎn)或點(diǎn)的距離為半徑作圓即可，這樣的圓有無(wú)數(shù)多個(gè)。注意：經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)能作圖，而且這個(gè)圓的圓心就在連接兩

18、點(diǎn)所成線(xiàn)段的中垂線(xiàn)上。（）作圓，使它經(jīng)過(guò)不在同一直線(xiàn)上的三點(diǎn)、：分析：欲作圓使之過(guò)、三點(diǎn)，不妨設(shè)圓心為，則必有，點(diǎn)既在的中垂線(xiàn)上，亦在的中垂線(xiàn)上，而與不共線(xiàn)，、的中垂線(xiàn)不平行，必相交于一點(diǎn)，由此知點(diǎn)即為交點(diǎn)，且點(diǎn)唯一，當(dāng)、三點(diǎn)位置一定時(shí)，則一定，可知半徑也唯一，故所作圓唯一。、尺規(guī)作圖的步驟：（）已知：寫(xiě)出已知的線(xiàn)段和角，畫(huà)出圖形；（）求作：求作什么圖形，它符合什么條件，一一具體化；（）作法：應(yīng)用“基本作圖”（作一條線(xiàn)段等于已知線(xiàn)段；作一個(gè)角等于已知角；平分已知角；經(jīng)過(guò)一點(diǎn)作已知直線(xiàn)的垂線(xiàn)；做線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)）敘述時(shí)不需重述基本作圖的過(guò)程，但圖中必須保留基本作圖的痕跡；（）證明：為了驗(yàn)證所作圖

19、形的正確性，把圖作出后，必須再根據(jù)已知的定義、公理、定理等，結(jié)合做法來(lái)證明所作出的圖形完全符合題設(shè)條件；（）討論：研究這個(gè)問(wèn)題是不是在任何已知的條件下都能作出圖形來(lái)；在哪些情況下，問(wèn)題有一個(gè)解、多個(gè)解，或者沒(méi)有解；（）結(jié)論：對(duì)所作圖形下結(jié)論。注意：在現(xiàn)階段的學(xué)習(xí)中，證明和討論不作要求。、尺規(guī)作圖的概念：在幾何里，把限定用直尺（無(wú)刻度）和圓規(guī)來(lái)畫(huà)圖，稱(chēng)作尺規(guī)作圖。最基本、最常用的尺規(guī)作圖通常稱(chēng)作基本作圖、基本作圖：（）作一條線(xiàn)段與已知線(xiàn)段相等：已知：線(xiàn)段求作：一條線(xiàn)段長(zhǎng)度等于作法：任作一條射線(xiàn)；以為圓心，以為半徑畫(huà)弧，交于點(diǎn)，則為所求作的線(xiàn)段。（）作一個(gè)角等于已知角：已知：求作：，使作法：作射線(xiàn)；以點(diǎn)為圓心，以任意長(zhǎng)為半徑作弧，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)；以點(diǎn)為圓心，以長(zhǎng)為半徑作弧，交于點(diǎn)；以點(diǎn)為圓心，以長(zhǎng)為半徑作弧，交前弧于點(diǎn)；過(guò)點(diǎn)作射線(xiàn)。就是所求作的角。（）（）（）作已知角的角平分線(xiàn)：已知：求作：射線(xiàn)，使作法：在和上分別截取、，使；分別以點(diǎn)和點(diǎn)為圓心，大于長(zhǎng)為半徑作弧，在內(nèi)，兩弧交于點(diǎn)；作射線(xiàn)，就是所求作的射線(xiàn)。（）經(jīng)過(guò)一點(diǎn)作已知直線(xiàn)的垂線(xiàn)：經(jīng)過(guò)已知直線(xiàn)上的一點(diǎn)作這條直線(xiàn)的垂線(xiàn)：已知：直線(xiàn)和上的一點(diǎn)求作：的垂線(xiàn)，使它經(jīng)過(guò)點(diǎn)作法：作平角的角平分線(xiàn)。直線(xiàn)就是所求作的垂線(xiàn)。經(jīng)過(guò)已知直線(xiàn)外一點(diǎn)作這條直線(xiàn)的