平面幾何中的向量方法

1、2.5.1平面幾何中的向量方法教材分析本節(jié)內(nèi)容是數(shù)學(xué)4 第二章平面向量第5節(jié)平面向量應(yīng)用舉例第1小節(jié)，是在學(xué)習(xí)了平面向量定義運算數(shù)量積的基礎(chǔ)上，展示平面向量在平面幾何和物理中的應(yīng)用.向量作為一種重要的解題方法，滲透于高中數(shù)學(xué)的很多章節(jié)，它是溝通代數(shù)、幾何與三角函數(shù)的橋梁，特別是在解決幾何問題中的工具作用更為突出這種數(shù)學(xué)方法，把幾何從思辨數(shù)學(xué)化成算法數(shù)學(xué)，降低了思考問題的難度，推進了幾何研究的發(fā)展本節(jié)內(nèi)容是中學(xué)數(shù)學(xué)知識網(wǎng)絡(luò)的一個交匯點，因此在中學(xué)數(shù)學(xué)教材中的地位也越來越重要本節(jié)也為學(xué)生以后學(xué)習(xí)向量在三角函數(shù)、立體幾何、復(fù)數(shù)等章節(jié)內(nèi)容中的應(yīng)用奠定了基礎(chǔ)課時分配 本節(jié)內(nèi)容用1課時的時間完成，主要探究

2、用向量方法解決平面幾何問題.教學(xué)目標(biāo)重點: 用向量方法解決平面幾何問題的基本方法和基本步驟難點：如何構(gòu)建向量模型將平面幾何問題化歸為向量問題知識點：運用向量方法解決平面幾何問題三步曲能力點：發(fā)展創(chuàng)新意識,提高轉(zhuǎn)化與化歸能力.教育點：通過對新方法的探求，滲透教學(xué)內(nèi)容中普遍存在的相互聯(lián)系、相互轉(zhuǎn)化的觀點自主探究點：三角形四心的向量表示考試點：利用向量的幾何意義進行向量的線性運算與數(shù)量積運算易錯易混點：向量基底的選擇拓展點：利用向量證明有關(guān)不等式教具準(zhǔn)備 三角板、圓規(guī)、多媒體課堂模式 探究導(dǎo)學(xué)一、 復(fù)習(xí)引入【師生活動】我們學(xué)習(xí)了向量的線性運算與數(shù)量積運算，你能說出它們的幾何意義嗎？這與平面幾何哪些內(nèi)

3、容可以相互聯(lián)系與轉(zhuǎn)化？（）向量加法的法則：三角形法則與平行四邊形法則OABaaabbb OABaBb-bbBa+ (-b)ab（）向量減法的法則：三角形法則與平行四邊形法則（）平面向量基本定理：如果，是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任一向量，有且只有一對實數(shù)使=.（）向量的數(shù)量積及其幾何意義：數(shù)量積等于的長度與在方向上投影的乘積數(shù)量積的作用求模求夾角證垂直(5) 向量的模： ， ， 2、向量的代數(shù)身份是通過什么來實現(xiàn)的？答：坐標(biāo)表示當(dāng)向量與平面坐標(biāo)系結(jié)合以后，向量的運算就可以完全轉(zhuǎn)化為“代數(shù)”的計算【設(shè)計說明】教師設(shè)問，學(xué)生思考畫圖，教師在多媒體實物展示學(xué)生的復(fù)習(xí)成果【設(shè)計意

4、圖】設(shè)置問題，點明主題，讓學(xué)生回顧學(xué)過的知識，明確探究方向，有利于本節(jié)課的探究二、探究新知【情境引入】長方形對角線的長度與兩條鄰邊長度之間有何關(guān)系？答：【師生活動】教師設(shè)問，學(xué)生畫圖， 集體回答，教師教師在多媒體書寫公式結(jié)論【設(shè)計意圖】長方形是特殊的平行四邊形，公式結(jié)論是學(xué)生已知的，為研究平行四邊形這個一般問題奠定了基礎(chǔ)，體現(xiàn)了由特殊到一般的數(shù)學(xué)思想探究.例1平行四邊形是表示向量加法與減法的幾何模型.如圖， 類比長方形對角線的長度與兩條鄰邊長度之間的上述關(guān)系，你能發(fā)現(xiàn)平行四邊形對角線的長度與兩條鄰邊長度之間的關(guān)系嗎？ 思考1：題中的幾何問題可轉(zhuǎn)化為向量問題嗎？【師生活動】分析：不妨設(shè)設(shè)，（選擇

5、這組基底，其它線段對應(yīng)向量用它們表示）則，涉及長度問題常常考慮向量的數(shù)量積，為此，我們計算解：（）同理（）觀察兩式的特點，我們發(fā)現(xiàn)，得即平行四邊形對角線的平方和等于兩條鄰邊平方和的兩倍【設(shè)計說明】教師引導(dǎo)學(xué)生猜想平行四邊形對角線的長度與兩鄰邊長度之間有什么關(guān)系，利用類比的思想方法,猜想平行四邊形有沒有相似關(guān)系指導(dǎo)學(xué)生猜想出結(jié)論：平行四邊形兩條對角線的平方和等于四條邊的平方和，并運用向量方法進行證明【設(shè)計意圖】借助平行四邊形這個向量加法與減法的幾何模型，引導(dǎo)學(xué)生用向量的數(shù)量級證明與長度有關(guān)的幾何問題，加強向量方法的“三步曲”的應(yīng)用思考2：向量也可以坐標(biāo)運算，那么本題可以如何建立直角坐標(biāo)系，設(shè)點的

6、坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為向量的坐標(biāo)進行運算呢？解:如圖建立平面直角坐標(biāo)系,設(shè),則 | 【師生活動】教師可引導(dǎo)學(xué)生思考探究，利用向量的幾何法簡捷地解決了平面幾何問題，可否利用向量的坐標(biāo)運算呢？這需要建立平面直角坐標(biāo)系，找出所需點的坐標(biāo)，如果能比較方便地建立起平面直角坐標(biāo)系，如本例中圖形,很方便建立平面直角坐標(biāo)系，且圖形中的各個點的坐標(biāo)也容易寫出，是否利用向量的坐標(biāo)運算能更快捷地解決問題呢？教師引導(dǎo)學(xué)生建系、找點的坐標(biāo)，然后讓學(xué)生獨立完成【設(shè)計意圖】進一步調(diào)動學(xué)生的思維，引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用不同的向量方法解決典型問題，有利于培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維能力思考：如果不用向量方法，你能用其他方法證明上述結(jié)論嗎？證明:作于，于，則，

7、由于 .【師生活動】教師可引導(dǎo)學(xué)生思考探究，學(xué)生作輔助線，利用平面幾何勾股定理解決問題【設(shè)計意圖】教師充分讓學(xué)生對以上各種方法進行分析比較，在培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散思維的同時，讓學(xué)生體會向量法解決幾何問題的優(yōu)越性，適時引導(dǎo)學(xué)生歸納用向量方法處理平面幾何問題的一般步驟三、理解新知【師生活動】師：通過以上問題的解決，我們總結(jié)一下運用向量方法解決平面幾何問題可以分哪幾個步驟？生：運用向量方法解決平面幾何問題“三步曲”： (1)建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問題中涉及的幾何元素，將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題；(2)通過向量運算，研究幾何元素之間的關(guān)系，如距離、夾角等問題；(3)把運算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系

8、師生共同簡述：形到向量 向量的運算向量和數(shù)到形【設(shè)計意圖】總結(jié)解題方法，加深對用向量方法處理平面幾何問題的一般步驟的理解，突破重難點四、運用新知探究例如圖，平行四邊形中，點分別是邊的中點，分別與交于兩點，你能發(fā)現(xiàn)之間的關(guān)系嗎？猜想：【師生活動】分析：由于是對角線上的兩點，要判斷之間的關(guān)系，只需分別判斷與的關(guān)系即可解：第一步,建立平面幾何與向量的關(guān)系，用向量表示問題中的幾何元素，將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題：設(shè).第二步,通過向量運算,研究幾何元素之間的關(guān)系:由于與共線,所以我們設(shè) 又因為與共線,所以我們設(shè) 因為 所以 因此 ,即.由于向量不共線,要使上式為,必須. 解得.所以.同理.于是.第三步

9、,把運算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系.【設(shè)計說明】此題對學(xué)生而言有一定難度，先用幾何畫板動態(tài)演示并展示測量的數(shù)據(jù)，讓學(xué)生觀察猜想出結(jié)論，師生共同分析，指導(dǎo)學(xué)生如何將幾何問題化歸為向量問題，突破本題難點，引導(dǎo)學(xué)生用待定系數(shù)法表示兩平行向量，進而解答出此題 通過“舉一反三”，讓學(xué)生熟練應(yīng)用此題中的數(shù)學(xué)思想和方法【設(shè)計意圖】通過此題進一步熟悉向量法的“三步曲”的應(yīng)用，同樣重要的是此題應(yīng)用到了平行向量基本定理和平面向量基本定理，用向量的數(shù)乘表示其平行向量的重要數(shù)學(xué)思想，和待定系數(shù)法這個重要的數(shù)學(xué)方法通過此題啟發(fā)學(xué)生靈活運用向量工具解幾何問題變式練習(xí)1. 已知為圓的一條直徑，為圓周角.求證：證明：設(shè)，【設(shè)計意

10、圖】讓學(xué)生學(xué)會靈活的利用圓的特性、線段垂直的關(guān)系等知識巧妙地將幾何問題化歸為向量問題.變式練習(xí). 已知在等腰中，是兩腰上的中線,且,求頂角的余弦值解:建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,取則， 因為都是中線，所以 ，,同理 因為，所以,所以【設(shè)計說明】教師可引導(dǎo)學(xué)生思考探究，上例利用向量的幾何法簡捷地解決了平面幾何問題.可否利用向量的坐標(biāo)運算呢？這需要建立平面直角坐標(biāo)系，找出所需點的坐標(biāo).如果能比較方便地建立起平面直角坐標(biāo)系，如本例中圖形，很方便建立平面直角坐標(biāo)系，且圖形中的各個點的坐標(biāo)也容易寫出，是否利用向量的坐標(biāo)運算能更快捷地解決問題呢？教師引導(dǎo)學(xué)生建系、找點的坐標(biāo)，然后讓學(xué)生獨立完成.【設(shè)計意

11、圖】本例利用的方法與探究2有所不同，但其本質(zhì)是一致的，比較兩種解法的異同，找出其內(nèi)在的聯(lián)系，以達融會貫通,靈活運用課堂練習(xí)：1向量且不共線, 則的平分線可表示為（ ）如圖，已知是三條高求證：交于一點ABCDEFH分析：設(shè)與交于，只須證由此可設(shè)，如何證？如何證？利用AHCB，BHCA（解答過程由學(xué)生完成）五、課堂小結(jié)1.用向量法解平面幾何問題的基本思路用向量方法解決平面幾何的“三步曲”：(1)建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問題中涉及的幾何元素，將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題；(2)通過向量運算，研究幾何元素之間的關(guān)系，如距離、夾角等問題；(3)把運算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系.簡述：形到向量 向

12、量的運算向量和數(shù)到形2.本節(jié)課用到了哪些思想方法?平面向量的基本定理如果是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量,那么對這一平面內(nèi)的任一向量，有且只有一對實數(shù) ,使說明：(1)作為基底的兩個向量必須不共線(2)用基底可以表示平面內(nèi)任意一個向量（3）基底給定時,分解形式唯一.當(dāng)要表示同一平面內(nèi)的多個向量時，要想到“向量基底化”思想【設(shè)計意圖】使學(xué)生把解題過程中的思想方法總結(jié)出來，達到思維能力的提升，從而更廣泛的應(yīng)用于以后的學(xué)習(xí)中六、布置作業(yè) 1必做題：課本P113 A組1、2 選做題：ABOPQG設(shè)過的重心的直線與邊分別交于點，設(shè)，與的面積分別是，證明：（1）； （2）【設(shè)計意圖】鞏固基礎(chǔ)知識，設(shè)置分層作業(yè)，滿足每一位學(xué)生，增強學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的愿望和信心. 課后練習(xí) 自主學(xué)習(xí)叢書.七、教后反思 本節(jié)知識容量較大，思維量較高，相比較向量的代數(shù)運算，向量的幾何運算學(xué)生往往感到比較困難，難以把幾何問題化歸為向量問題.教師可讓學(xué)有余力的學(xué)生課下繼續(xù)探討，達到靈活運用由于本節(jié)知識在高考大題中得以